導數計算機

計算各種類型函數的導數（單變量、多變量、隱函數、方向導數）並獲得詳細的分步解決方案！

導數計算機

單變量導數計算機
偏導數計算機
隱導數計算機
方向導數計算機

歡迎使用我們全面的導數計算機套件，旨在處理各種類型的導數並提供詳細的分步解決方案。無論您處理的是單變量函數還是更複雜的多變量情境，我們的工具都能幫助學生、教育工作者和專業人士進行準確高效的微分計算。

單變量導數衡量函數相對於一個自變量的變化率。它是微積分的基礎概念，廣泛應用於物理、工程、經濟學等領域。

計算方法：

導數的定義： \[ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \]
應用微分規則：根據函數類型（多項式、三角函數等），應用相關的微分規則，如冪規則、鏈規則、乘積規則等。
高階導數：通過反覆對一階導數求導，得到二階、三階或更高階的導數。

示例：計算 \( f(x) = \sin(x) \cdot e^x \) 的一階導數。

使用乘積規則： \[ f'(x) = \frac{d}{dx}[\sin(x)] \cdot e^x + \sin(x) \cdot \frac{d}{dx}[e^x] = \cos(x) \cdot e^x + \sin(x) \cdot e^x = e^x (\cos(x) + \sin(x)) \]

偏導數將導數的概念擴展到多變量函數。它衡量函數相對於一個變量的變化率，同時將其他變量視為常數。這在多變量微積分、優化問題以及物理和工程等領域至關重要。

計算方法：

示例：計算 \( f(x, y) = x^2 \cdot y + \sin(z) \) 關於 \( x \) 的二階偏導數。

隱式微分用於函數以隱式方式定義而非顯式定義時。它允許在不將一個變量顯式表示為其他變量的情況下求導，這對於因變量與自變量交織在一起的方程特別有用。

計算方法：

示例：對於隱式方程 \( x^2 + y^2 = 1 \)，求一階導數 \( \frac{dy}{dx} \)。

方向導數衡量函數在給定點沿指定方向的變化率。它被計算為函數的梯度向量與所需方向的單位向量的點積。這個概念在向量微積分中至關重要，尤其在優化和分析多變量函數的梯度時。

計算方法：

確定方向向量：識別需要求導的方向向量 \( \mathbf{v} = (v_1, v_2, \ldots, v_n) \)。
標準化方向向量：通過其大小將 \( \mathbf{v} \) 轉換為單位向量 \( \mathbf{u} \)： \[ \mathbf{u} = \frac{\mathbf{v}}{||\mathbf{v}||} \]
計算梯度向量：計算梯度 \( \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n} \right) \)。
計算方向導數：取梯度向量與單位方向向量的點積： \[ D_{\mathbf{u}}f = \nabla f \cdot \mathbf{u} \]
在指定點上求值：將點的坐標代入梯度和方向向量中，得到方向導數的數值。

示例：計算函數 \( f(x, y) = x^2 + y^2 \) 在點 \( (1, 1) \) 沿向量 \( \mathbf{v} = (1, 0) \) 的方向導數。

標準化方向向量： \[ ||\mathbf{v}|| = \sqrt{1^2 + 0^2} = 1 \] \[ \mathbf{u} = \left( \frac{1}{1}, \frac{0}{1} \right) = (1, 0) \]
計算梯度向量： \[ \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) = (2x, 2y) \] 在點 \( (1, 1) \) 處： \[ \nabla f(1, 1) = (2 \cdot 1, 2 \cdot 1) = (2, 2) \]
計算方向導數： \[ D_{\mathbf{u}}f = \nabla f \cdot \mathbf{u} = (2, 2) \cdot (1, 0) = 2 \cdot 1 + 2 \cdot 0 = 2 \]

因此，函數 \( f(x, y) \) 在點 \( (1, 1) \) 沿向量 \( \mathbf{v} = (1, 0) \) 的方向導數為 2。