เครื่องคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อย

เครื่องคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อย รวบรวมนิยามของคำนี้ทั้งสองรูปแบบไว้ในที่เดียวกัน — ทั้งโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ (โมเมนต์ที่สองของพื้นที่) ซึ่งวิศวกรโครงสร้างใช้ในการคำนวณการดัดตัวของคานเมื่อรับแรงกด และโมเมนต์ความเฉื่อยของมวล ที่วิศวกรเครื่องกลและวิศวกรการบินและอวกาศใช้เพื่อคาดคะเนการตอบสนองของวัตถุต่อทอร์ก เพียงเลือกรูปทรงสำเร็จรูปจากทั้งหมด 15 แบบ กรอกขนาดในหน่วยใดก็ได้ที่คุณคุ้นเคย ดูแผนภาพปรับเปลี่ยนตามแบบสด และอ่านค่าโมเมนต์ความเฉื่อยไปพร้อมกับพื้นที่หน้าตัด, โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว J, มอดูลัสหน้าตัด S, รัศมีไจเรชัน k และการแสดงวิธีทำทีละขั้นตอนอย่างละเอียด นอกจากนี้ยังมีช่องสำหรับทฤษฎีแกนขนานที่ช่วยให้คุณย้ายผลลัพธ์ไปยังแกนใดๆ ที่ขนานกับแกนเซนทรอยด์ได้ด้วยตัวเลขตัวเดียว

วิธีใช้งาน เครื่องคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อย นี้

1. คลิก โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ หากคุณกำลังคำนวณขนาดของคาน หรือกรอก โมเมนต์ความเฉื่อยของมวล หากคุณกำลังศึกษาระบบการหมุน คลังรูปทรงจะกรองตัวเองเพื่อแสดงเฉพาะรูปทรงที่เกี่ยวข้องโดยอัตโนมัติ
2. แตะการ์ดรูปทรง — สี่เหลี่ยมผืนผ้า, วงกลม, ท่อกลวง, สามเหลี่ยม, กล่องกลวง, คานรูปตัวไอ, ครึ่งวงกลม, แท่งวัตถุบาง, ทรงกระบอกตันหรือกลวง, ทรงกลมตันหรือกลวง, แผ่นวัตถุสี่เหลี่ยม ช่องป้อนขนาดที่จำเป็นจะแสดงขึ้นและแผนภาพทางด้านขวาจะปรับตาม
3. พิมพ์ขนาดในหน่วย mm, cm, m, in หรือ ft สำหรับรูปทรงในโหมดมวล ให้พิมพ์มวลรวมในหน่วย kg, g, lb, t หรือ oz ด้วย
4. เลือกหน่วยผลลัพธ์ — mm⁴ / cm⁴ / m⁴ / in⁴ / ft⁴ สำหรับโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ หรือ kg·m² / kg·cm² / g·cm² / lb·ft² / lb·in² สำหรับโมเมนต์ความเฉื่อยของมวล
5. กรอกระยะเยื้องแกนขนานได้ตามต้องการ เครื่องคำนวณจะใช้สูตร \(I' = I + A d^2\) (พื้นที่) หรือ \(I' = I + m d^2\) (มวล) ให้โดยอัตโนมัติ
6. กดปุ่ม คำนวณ เพื่อดูโมเมนต์ความเฉื่อย, โมเมนต์เชิงขั้ว, มอดูลัสหน้าตัด, รัศมีไจเรชัน, แผนภาพ SVG ของหน้าตัดที่แสดงจุดเซนทรอยด์และแกนต่างๆ รวมถึงวิธีทำด้วย LaTeX ทีละขั้นตอน

สิ่งที่ทำให้เครื่องคำนวณนี้แตกต่าง

เปรียบเทียบโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ vs ของมวล

ปริมาณทั้งสองนี้มีชื่อคล้ายกันและใช้สัญลักษณ์ \(I\) ร่วมกัน แต่ใช้งานในบริบทที่ต่างกันโดยสิ้นเชิง โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ \(I_x = \int_A y^2 \,dA\) ขึ้นอยู่กับรูปทรงของหน้าตัดวัตถุเท่านั้น — ไม่เกี่ยวกับประเภทเนื้อวัสดุ มีหน่วยเป็นความยาวกำลังสี่ เช่น mm⁴, cm⁴, m⁴ หรือ in⁴ นำไปใช้กับการดัดของคาน: ค่า \(I_x\) ที่สูงกว่าหมายถึงความสามารถในการต้านทานโมเมนต์ดัดรอบแกนนั้นที่มากกว่า ส่วน โมเมนต์ความเฉื่อยของมวล \(I = \int r^2 \,dm\) ขึ้นอยู่กับทั้งปริมาณของมวลและการกระจายตัวของมวลนั้นออกจากแกนหมุน มีหน่วยเป็น มวล × ความยาว² เช่น kg·m², g·cm², lb·ft² หรือ lb·in² ใช้ในพลศาสตร์การหมุน: สูตร \(\tau = I\alpha\) ซึ่งเป็นรูปแบบการหมุนของกฎข้อที่สองของนิวตัน

สูตรสำหรับรูปทรงทั่วไป

ทุกรูปทรงที่รองรับโดยเครื่องคำนวณนี้จะเป็นไปตามสูตรด้านล่าง ซึ่งเป็นค่ารอบแกนเซนทรอยด์ตามที่แสดงในแผนภาพ โดยทฤษฎีแกนขนานจะช่วยขยายขอบเขตการคำนวณไปยังแกนขนานใดๆ ได้

ทฤษฎีแกนขนาน

สูตรทั้งหมดข้างต้นตั้งอยู่บนข้อสมมติที่ว่าแกนหมุนผ่านจุดเซนทรอยด์ของรูปทรง หากต้องการย้ายไปยังแกนใดๆ ที่ขนานกับแกนเซนทรอยด์ ให้เพิ่มพจน์ปรับแก้ดังนี้:

\[ I_{x'} \;=\; I_x \;+\; A\,d^{2} \qquad \text{(พื้นที่)} \qquad I' \;=\; I \;+\; m\,d^{2} \qquad \text{(มวล)} \]

โดยที่ \(d\) คือระยะห่างระหว่างแกนขนานทั้งสอง, \(A\) คือพื้นที่หน้าตัด และ \(m\) คือมวลรวม เครื่องคำนวณจะนำสูตรนี้ไปใช้โดยอัตโนมัติเมื่อคุณกรอกข้อมูลในช่องระยะเยื้องแกนขนานที่ระบุไว้

ตัวอย่างการคำนวณ: หน้าตัดคานรูปตัวไอ

คานรูปตัวไอหน้ากว้างกว้างพิเศษ W12×40 มีความสูงรวม H = 12 in, ความกว้างปีก B = 8 in, ความหนาปีก t_f = 0.515 in และความหนาเอว t_w = 0.295 in ความสูงของเอวคานคือ \(h_w = H - 2 t_f = 10.97\) in

• \( I_x = B H^{3}/12 - (B - t_w)\,h_w^{3}/12 = 8 \cdot 12^{3}/12 - (8 - 0.295) \cdot 10.97^{3}/12 \approx 1152 - 847 \approx 305 \) in⁴
• ค่านี้ตรงกับค่าในตาราง AISC ที่ระบุไว้ 307 in⁴ ภายใต้ความคลาดเคลื่อนที่ยอมรับได้ทางวิศวกรรม
• สำหรับโมเมนต์ดัด \(M = 50000\) lb·in แรงเค้นดัดสูงสุดคือ \( \sigma = M c / I = 50000 \cdot 6 / 307 \approx 977 \) psi

ตัวอย่างการคำนวณ: ล้อตุนกำลัง

ล้อตุนกำลังเหล็กกล้าตันที่มีมวล 20 kg และรัศมีภายนอก 0.30 m หมุนรอบแกนกลางของตัวเอง:

• \( I = m r^{2}/2 = 20 \cdot 0.30^{2} / 2 = 0.9\) kg·m²
• ทอร์กที่จำเป็นในการหมุนล้อตุนกำลังนี้จากจุดหยุดนิ่งไปจนถึง 60 RPM (\(\omega = 6.28\) rad/s) ภายในเวลา 5 วินาที (\(\alpha = 1.26\) rad/s²) คือ \( \tau = I \alpha = 0.9 \cdot 1.26 \approx 1.13\) N·m
• พลังงานจลน์ของการหมุนที่ความเร็ว 60 RPM คือ \( K = \tfrac{1}{2} I \omega^{2} = 0.5 \cdot 0.9 \cdot 6.28^{2} \approx 17.7\) J

มอดูลัสหน้าตัด, รัศมีไจเรชัน, โมเมนต์เชิงขั้ว

สำหรับรูปทรงในโหมดพื้นที่ทุกแบบ เครื่องคำนวณจะรายงานปริมาณควบคู่กันอีกสามค่าที่นักศึกษาวิศวกรรมจำเป็นต้องใช้:

• มอดูลัสหน้าตัด \(S = I_x / c\) โดยที่ \(c\) คือระยะทางจากเซนทรอยด์ไปยังผิววัตถุที่ได้รับแรงเค้นมากที่สุด นำไปใช้โดยตรงในสูตรแรงเค้นดัด \( \sigma = M / S \)
• รัศมีไจเรชัน \(k = \sqrt{I / A}\) (สำหรับพื้นที่) หรือ \(k = \sqrt{I / m}\) (สำหรับมวล) มันคือรัศมีเสมือนที่สมมติว่าถ้าพื้นที่หรือมวลทั้งหมดถูกรวมไว้ที่จุดเดียวแล้วยังคงทำให้เกิดค่า I เท่าเดิม ปรากฏในสูตรการโก่งเดาะของเสาของออยเลอร์ และในสมการพลังงานจลน์เชิงหมุนเทียบเท่า \(KE = \tfrac{1}{2} m v^{2}\) เมื่อเขียนในรูป \(KE = \tfrac{1}{2} m (k\omega)^{2}\)
• โมเมนต์ความเฉื่อยเชิงขั้ว \(J = I_x + I_y\) คือโมเมนต์ของพื้นที่รอบแกนเซนทรอยด์ที่ตั้งฉากกับหน้าตัด ใช้สำหรับคำนวณแรงเค้นเฉือนบิดในเพลากลม: \(\tau = T r / J\)

คำถามที่พบบ่อย

โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่และโมเมนต์ความเฉื่อยของมวลแตกต่างกันอย่างไร?
โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ขึ้นอยู่กับรูปทรงหน้าตัดเท่านั้นและใช้สำหรับการดัดตัวของคาน — มีหน่วยเป็น ความยาว⁴ (mm⁴, in⁴) ส่วนโมเมนต์ความเฉื่อยของมวลขึ้นอยู่กับทั้งมวลและการกระจายตัวของมวลรอบแกนหมุน และใช้สำหรับพลศาสตร์การหมุน — มีหน่วยเป็น มวล × ความยาว² (kg·m², lb·ft²) ทั้งสองปริมาณใช้สัญลักษณ์ I ร่วมกันแต่ตอบคำถามทางฟิสิกส์คนละข้อ

ฉันจะคำนวณค่า I ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าได้อย่างไร?
รอบแกน x เซนทรอยด์ สูตรคือ \(I_x = b h^{3}/12\) ส่วนรอบแกน y เซนทรอยด์ที่ตั้งฉากกันคือ \(I_y = h b^{3}/12\) สำหรับโมเมนต์เชิงขั้วรอบแกนเซนทรอยด์ที่ตั้งฉากกับระนาบคือ \(J = I_x + I_y\)

ฉันจะคำนวณค่า I ของวงกลมได้อย่างไร?
สำหรับวงกลมตันที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง d ค่า \(I = \pi d^{4}/64\) รอบเส้นผ่านศูนย์กลางใดๆ และ \(J = \pi d^{4}/32\) รอบแกนกลางที่ตั้งฉาก สำหรับท่อกลวงให้ลบค่าภายในออกจากค่าภายนอก: \(I = \pi (D^{4} - d^{4})/64\)

ทฤษฎีแกนขนานคืออะไร?
ทฤษฎีนี้ระบุว่า \(I_{parallel} = I_{centroidal} + A d^{2}\) สำหรับโมเมนต์ของพื้นที่ และ \(I_{parallel} = I_{centroidal} + m d^{2}\) สำหรับโมเมนต์ของมวล โดย d คือระยะห่างระหว่างแกนขนานทั้งสอง เครื่องคำนวณนี้จะคำนวณให้โดยอัตโนมัติเมื่อคุณกรอกช่องระยะเยื้อง

โมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกลมตันคืออะไร?
\(I = \tfrac{2}{5} m r^{2}\) รอบเส้นผ่านศูนย์กลางใดๆ ส่วนเปลือกทรงกลมกลวงบางที่มีมวลและรัศมีเท่ากันคือ \(\tfrac{2}{3} m r^{2}\) — ซึ่งมีค่ามากกว่าเนื่องจากมวลไปรวมกันอยู่ที่ขอบด้านนอก

มอดูลัสหน้าตัดคืออะไรและใช้อย่างไร?
\(S = I_x / c\) โดยที่ c คือระยะทางจากเซนทรอยด์ไปยังผิววัตถุที่ไกลที่สุด แรงเค้นดัดสูงสุดคือ \(\sigma = M / S\) ค่า S ที่มากกว่าหมายความว่าคานสามารถรับโมเมนต์ได้มากกว่าที่ระดับแรงเค้นควบคุมเท่ากัน

ทำไมคานรูปตัวไอจึงทำงานได้ดีกว่ารูปสี่เหลี่ยมตันที่มีพื้นที่เท่ากัน?
เนื่องจากการคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่จะให้น้ำหนักกับเนื้อวัสดุแต่ละชิ้นด้วยค่ากำลังสองของระยะห่างจากเซนทรอยด์ คานรูปตัวไอจะจัดให้เนื้อวัสดุส่วนใหญ่อยู่ที่บริเวณปีกคานซึ่งห่างจากเซนทรอยด์ ดังนั้นเนื้อวัสดุแต่ละกิโลกรัมจึงมีส่วนช่วยเพิ่มค่า I ได้มากกว่าเนื้อวัสดุที่อยู่ใกล้เซนทรอยด์ของแท่งตันเหล็กทั่วไป นี่คือเหตุผลว่าทำไมคานเหล็กจึงมักถูกออกแบบเป็นรูปตัวไอเกือบทั้งหมด