零空間電卓

零空間電卓

零空間計算機は、同次系 Ax = 0 を解くことで、あらゆる行列の零空間（核）を求めます。最大 8×8 までの行列を入力でき、正確な分数演算、RREF（簡約階段形式）へのステップバイステップのガウス消去法、列の分類（ピボット vs 自由）、および次元定理（ランク・ヌリティ定理）の検証を含む完全な零空間の基底を取得できます。

行列の零空間とは？

\(m \times n\) 行列 \(A\) の零空間（核またはカーネルとも呼ばれる）は、次を満たす \(\mathbb{R}^n\) 内のすべてのベクトル \(\mathbf{x}\) の集合です。

$$A\mathbf{x} = \mathbf{0}$$

集合として記述すると: \(\text{Null}(A) = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n : A\mathbf{x} = \mathbf{0} \}\) となります。零空間は常に \(\mathbb{R}^n\) の部分空間であり、ゼロベクトルを含み、加法とスカラー倍について閉じています。

零空間の求め方

ステップ 1. +/- コントロールを使用するか、クイック例をクリックしてプリセット行列をロードし、行列の行数 (m) と列数 (n) を設定します。

ステップ 2. 行列の値をグリッドに入力します。整数、小数、または 1/3 や -5/2 のような分数を入力できます。Tab、Enter、または矢印キーを使用してセル間を移動できます。

ステップ 3. 「零空間を求める」をクリックします。この電卓はガウス消去法を実行し、行列を簡約行階段形 (RREF) に変換します。

ステップ 4. ピボット列と自由列を特定します。各自由列は、任意の値をとり得る自由変数に対応します。

ステップ 5. 各自由変数について、その変数を 1 とし、他のすべての自由変数を 0 と置いてピボット変数を解きます。得られたベクトルが零空間の基底を形成します。

零空間 vs 列空間

次元定理 (ランク・ヌリティ定理)

任意の \(m \times n\) 行列 \(A\) に対して:

$$\text{rank}(A) + \text{nullity}(A) = n$$

ランクは RREF におけるピボット列の数であり、退化次数は自由列の数です。これらを合わせるとすべての列数になります。この定理は、線形写像の次元定理としても知られています。

特殊なケース

零空間の応用

よくある質問

行列の零空間とは何ですか？

行列 A の零空間（または核、カーネル）とは、Ax = 0 を満たすすべてのベクトル x の集合です。これは R^n（n は列数）の部分空間です。零空間は常にゼロベクトルを含み、行列に自由変数がある場合は無限個の非ゼロベクトルを含むこともあります。

零空間はどのように求めますか？

ガウス消去法を使用して行列 A を簡約行階段形 (RREF) に変換します。ピボット列と自由列を特定します。各自由変数について、その変数を 1 とし、他のすべての自由変数を 0 と置いてピボット変数を解きます。得られたベクトルが零空間の基底を形成します。

次元定理（ランク・ヌリティ定理）とは何ですか？

次元定理は、m × n 行列 A に対して、rank(A) + nullity(A) = n（n は列数）が成り立つことを示しています。ランクはピボット列の数であり、退化次数（nullity）は零空間の次元（自由変数の数）です。

零空間が自明であるとはどういう意味ですか？

自明な零空間とは、Ax = 0 の解がゼロベクトル x = 0 のみであることを意味します。これは、すべての列がピボット列である場合（列フルランク）に起こります。これは A の列ベクトルが線形独立であることを意味します。

正方行列でない行列にも零空間はありますか？

はい。どんな行列にも零空間は存在します。m < n の m × n 行列の場合、未知数の数が方程式の数より多いため、必ず自由変数が存在し、零空間は非自明（次元が少なくとも n - m）になります。