慣性矩計算機

這款慣性矩計算機將該術語的兩種含意整合在同一個地方 —— 結構工程師用來預測梁在負載下彎曲程度的面積慣性矩（截面二次矩），以及機械和航空航天工程師用來預測物體對轉矩反應的質量慣性矩。選擇 15 種現成形狀之一，以您熟悉的任何單位輸入尺寸，觀看圖表即時重新繪製，並讀取慣性矩以及橫截面面積、極慣性矩 J、剖面模數 S、迴轉半徑 k 以及完整的逐步推導過程。平行軸定理欄位讓您只需輸入一個數字，即可將結果轉移到與形心軸平行的任何軸上。

如何使用這款慣性矩計算機

1. 如果您正在計算梁的尺寸，請點擊面積慣性矩；如果您正在研究旋轉，請點擊質量慣性矩。形狀庫會自動篩選，僅顯示適用的形狀。
2. 點擊形狀卡片 —— 矩形、圓形、空心圓管、三角形、空心箱形、I形梁、半圓形、薄桿、實心或空心圓柱體、實心或空心球體、矩形平板。所需的尺寸欄位將會顯示，且右側的圖表也會隨之調整。
3. 以 mm、cm、m、in 或 ft 輸入尺寸。對於質量模式的形狀，還要以 kg、g、lb、t 或 oz 輸入總質量。
4. 選擇輸出單位 —— 面積慣性矩可選 mm⁴ / cm⁴ / m⁴ / in⁴ / ft⁴，質量慣性矩可選 kg·m² / kg·cm² / g·cm² / lb·ft² / lb·in²。
5. （可選）輸入平行軸偏移距離。計算機會自動應用 \(I' = I + A d^2\)（面積）或 \(I' = I + m d^2\)（質量）。
6. 按下計算以查看慣性矩、極慣性矩、剖面模數、迴轉半徑、顯示形心和軸線的橫截面 SVG 圖表以及逐步的 LaTeX 推導過程。

是什麼讓這款計算機與眾不同

面積慣性矩 vs 質量慣性矩

這兩個物理量聽起來很相似，並且共享同一個符號 \(I\)，但它們存在於不同的領域。面積慣性矩 \(I_x = \int_A y^2 \,dA\) 僅取決於橫截面的形狀 —— 與材料無關。其單位是長度的四次方，即 mm⁴、cm⁴、m⁴ 或 in⁴。您可以在梁的彎曲中使用它：較高的 \(I_x\) 意味著對圍繞相同軸的彎曲力矩有更大的抵抗力。質量慣性矩 \(I = \int r^2 \,dm\) 取決於質量的多少以及該質量遠離旋轉軸的分布方式。其單位是質量 × 長度²，即 kg·m²、g·cm²、lb·ft² 或 lb·in²。您可以在旋轉動力學中使用它：\(\tau = I\alpha\) 是牛頓第二運動定律的旋轉形式。

常見形狀的公式

此計算機支援的每種形狀都遵循以下公式之一。它們都是關於圖表所示的形心軸；平行軸定理可將它們擴展到任何平行軸。

平行軸定理

上述公式均假設軸線通過形狀的形心。要轉移到平行於形心軸的任何軸線，只需加上一個修正項：

\[ I_{x'} \;=\; I_x \;+\; A\,d^{2} \qquad \text{（面積）} \qquad I' \;=\; I \;+\; m\,d^{2} \qquad \text{（質量）} \]

其中 \(d\) 是兩個平行軸之間的距離，\(A\) 是橫截面面積，而 \(m\) 是總質量。當您填寫選填的偏移欄位時，計算機將自動應用此公式。

計算範例：I形梁截面

一個 W12×40 寬翼緣 I形梁的總高度 H = 12 in，翼緣寬度 B = 8 in，翼緣厚度 t_f = 0.515 in，腹板厚度 t_w = 0.295 in。腹板高度為 \(h_w = H - 2 t_f = 10.97\) in。

• \( I_x = B H^{3}/12 - (B - t_w)\,h_w^{3}/12 = 8 \cdot 12^{3}/12 - (8 - 0.295) \cdot 10.97^{3}/12 \approx 1152 - 847 \approx 305 \) in⁴。
• 這在工程容許誤差範圍內符合 AISC 表格中的數值 307 in⁴。
• 對於彎曲力矩 \(M = 50000\) lb·in，最大彎曲應力為 \( \sigma = M c / I = 50000 \cdot 6 / 307 \approx 977 \) psi。

計算範例：飛輪

一個質量為 20 kg、外半徑為 0.30 m 的實心鋼製飛輪，繞其自身的中心軸旋轉：

• \( I = m r^{2}/2 = 20 \cdot 0.30^{2} / 2 = 0.9\) kg·m²。
• 在 5 秒內（\(\alpha = 1.26\) rad/s²）將其從靜止加速到 60 RPM（\(\omega = 6.28\) rad/s）所需的轉矩為 \( \tau = I \alpha = 0.9 \cdot 1.26 \approx 1.13\) N·m。
• 在 60 RPM 時的旋轉動能為 \( K = \tfrac{1}{2} I \omega^{2} = 0.5 \cdot 0.9 \cdot 6.28^{2} \approx 17.7\) J。

剖面模數、迴轉半徑、極慣性矩

對於每個面積模式的形狀，計算機還會報告三個每位工程系學生最終都會需要的隨附物理量：

• 剖面模數 \(S = I_x / c\)，其中 \(c\) 是從形心到受力最大纖維的距離。直接用於彎曲應力公式 \( \sigma = M / S \)。
• 迴轉半徑 \(k = \sqrt{I / A}\)（面積）或 \(k = \sqrt{I / m}\)（質量）。它是指如果將所有的面積或質量集中在單個點上，仍能產生相同 I 的半徑。出現在歐拉柱屈曲公式中，以及寫為 \(KE = \tfrac{1}{2} m (k\omega)^{2}\) 時的旋轉等效公式 \(KE = \tfrac{1}{2} m v^{2}\) 中。
• 極慣性矩 \(J = I_x + I_y\)，即繞垂直於橫截面的形心軸的面積力矩。驅動圓形軸中的扭轉剪應力：\(\tau = T r / J\)。

常見問題解答

面積慣性矩和質量慣性矩有什麼區別？
面積慣性矩僅取決於橫截面形狀，用於梁的彎曲 —— 單位是長度⁴（mm⁴、in⁴）。質量慣性矩取決於質量以及它圍繞旋轉軸的分布方式，用於旋轉動力學 —— 單位是質量 × 長度²（kg·m²、lb·ft²）。它們共享符號 I，但回答的是不同的物理問題。

如何計算矩形的 I？
關於形心 x 軸，\(I_x = b h^{3}/12\)。關於垂直的形心 y 軸，它是 Copied \(I_y = h b^{3}/12\)。關於垂直於平面的形心軸的極慣性矩為 \(J = I_x + I_y\)。

如何計算圓形的 I？
對於直徑為 d 的實心圓，繞任何直徑的 \(I = \pi d^{4}/64\)，繞中心垂直軸的 \(J = \pi d^{4}/32\)。對於空心管，用外值減去內值：\(I = \pi (D^{4} - d^{4})/64\)。

什麼是平行軸定理？
它指出面積力矩的 \(I_{parallel} = I_{centroidal} + A d^{2}\)，質量力矩的 \(I_{parallel} = I_{centroidal} + m d^{2}\)，其中 d 是兩個平行軸之間的距離。當您填寫偏移欄位時，此計算機將自動應用它。

實心球體的慣性矩是多少？
繞任何直徑的 \(I = \tfrac{2}{5} m r^{2}\)。相同質量和半徑的薄空心球體是 \(\tfrac{2}{3} m r^{2}\) —— 數值更大，因為更多的質量分布在外緣。

什麼是剖面模數，我該如何使用它？
\(S = I_x / c\)，其中 c 是從形心到最外側纖維的距離。最大彎曲應力為 \(\sigma = M / S\)。較大的 S 意味著梁在相同的允許應力下可以承受更大的力矩。

為什麼 I形梁的效能優於相同面積的實心矩形？
因為面積慣性矩是根據每塊材料到形心距離的平方來計算權重的。I形梁將其大部分材料放在翼緣上（遠離形心），因此與實心桿中靠近形心的相同重量材料相比，每公斤材料對 I 的貢獻要大得多。這就是為什麼鋼梁幾乎總是形狀像一個 I 的原因。