債券凸性計算機

債券凸性計算機

債券凸性計算機衡量債券價格對其殖利率變化的二階敏感性。雖然修正存續期間可以告訴您價格-殖利率曲線在單一點上的斜率，但凸性可以告訴您該曲線的彎曲程度——一旦殖利率變動較大，這個數值就顯得極其重要。本計算機完成了大多數線上工具忽略的功能：它讓您並排查看僅存續期間的價格預測、存續期間加凸性的預測以及精確重估後的債券價格，從而使曲率修正的大小和方向一目了然。

本計算機的獨特之處

如何使用債券凸性計算機

1. 點擊快速啟動預設值（2年期國債、10年期國債、30年期公司債或5年期零息債券）以立即填寫所有欄位，或者自行輸入債券詳情。
2. 輸入債券的面值 (Par)、年票息率、當前到期殖利率和到期年限。
3. 選擇票息頻率。美國債券預設為每半年一次；歐洲債券或零息債券請選擇年度；某些結構性票據請選擇每季度或每月。
4. 拖動殖利率衝擊滑桿，選擇您感興趣的基點變化。100 bp 是常見的壓力測試幅度；選擇 300+ bp 可以更明顯地看到凸性的影響。
5. 點擊「計算」並閱讀結論卡片、三向對比條、衝擊曲線圖、現金流瀑布圖以及逐期歸因表。

核心數學原理

所有結果均始於標準的債券定價現值公式，其中每筆票息和最終本金償還均以每期殖利率 \(y = y_{annual}/m\) 進行折現，其中 \(m\) 為每年期數，總期數為 \(n = y_{maturity} \cdot m\)：

\( P = \displaystyle\sum_{t=1}^{n} \dfrac{\text{CF}_t}{(1+y)^t} \)

Macaulay 存續期間是現金流的現值加權平均時間，通過除以 \(m\) 以年表示：

\( D_{Mac} = \dfrac{1}{P \cdot m} \displaystyle\sum_{t=1}^{n} \dfrac{t \cdot \text{CF}_t}{(1+y)^t} \)

修正存續期間根據週期利率調整 Macaulay 存續期間，並給出每 1% 殖利率變動時的價格變動百分比：

\( D_{mod} = \dfrac{D_{Mac}}{1 + y/m} \ )

凸性是二階時間權重的價格加權總和，通過除以 \(m^2\) 縮放回年平方單位：

\( C = \dfrac{1}{P \cdot m^2} \displaystyle\sum_{t=1}^{n} \dfrac{t(t+1) \cdot \text{CF}_t}{(1+y)^{t+2}} \)

這兩個指標結合為殖利率變動 \(\Delta y\) 時價格變動百分比的二階泰勒近似值：

\( \dfrac{\Delta P}{P} \approx -D_{mod} \cdot \Delta y + \tfrac{1}{2} \cdot C \cdot (\Delta y)^2 \)

由於殖利率變動是平方項，凸性項始終是非負的。這就是為什麼高凸性債券被稱為享有「凸性利益」——在殖利率下降時，其上漲幅度大於存續期間預測的幅度；在殖利率上升時，其下跌幅度小於預測幅度。

解讀您的結果

閱讀輸出結果時請記住以下幾條經驗法則：

• 凸性大約隨到期時間的平方而增加。 在相似的存續期間比例下，30年期債券的凸性可能是5年期債券的10倍。
• 較低的票息意味著較高的凸性。 零息債券在其到期年限內具有最高的凸性，因為所有現金流都位於最遠的一點。
• 較高的殖利率意味著較低的凸性。 當殖利率上升時，分母中的折現因子 \((1+y)^{t+2}\) 會縮小遠期現金流的貢獻。
• 凸性修正的正負號是對稱的。 無論殖利率上升還是下降 100 bp，凸性項都會為價格預測增加相同的正百分比——這就是曲率利益。

常見問題解答

什麼是債券凸性？

凸性是債券價格對殖利率的二階導數，並除以債券價格。由於價格與殖利率的關係是曲線而非直線，存續期間（一階導數）僅能提供價格隨殖利率變動的線性估計。凸性則是捕捉這種曲率的二階修正，對於不含期權的債券，凸性始終為正值。

為什麼凸性對投資者很重要？

對於微小的殖利率變化，存續期間就足夠了。但對於較大的殖利率變化（例如 100 個基點或更多），僅靠存續期間會低估殖利率下降時的價格漲幅，並高估殖利率上升時的價格跌幅。凸性量化了這種不對稱性，有時被稱為凸性利益：在存續期間相同的兩張債券中，凸性較高的一張在波動較大時表現更好。

凸性的公式是什麼？

以年平方為單位的凸性為：

\( C = \dfrac{1}{P \cdot m^2} \displaystyle\sum_{t=1}^{n} \dfrac{t(t+1) \cdot \text{CF}_t}{(1+y)^{t+2}} \)

其中 \(P\) 是債券價格，\(m\) 是每年的票息次數，\(y\) 是每期殖利率，\(\text{CF}_t\) 是第 \(t\) 期的現金流。\(m^2\) 因子將期平方單位轉換為年平方單位。

如何使用凸性來預測價格變化？

結合修正存續期間，價格變動百分比大約等於：

\( \dfrac{\Delta P}{P} \approx -D_{mod} \cdot \Delta y + \tfrac{1}{2} \cdot C \cdot (\Delta y)^2 \)

由於凸性項是平方值，無論殖利率上升還是下降，它都會增加一個正向修正，這就是凸性利益的來源。

哪些債券的凸性最高？

低票息、長到期日的債券具有最高的凸性。由於 \(t(t+1)\) 的因子，未來較遠的現金流在公式中所佔權重更大。對於給定的到期日，零息債券通常具有最高的凸性，因為其所有現金流都集中在最後。

凸性越高總是越好嗎？

在其他條件相同的情況下，是的——更高的凸性意味著在殖利率波動時表現更好。在實務中，高凸性債券的價格往往較貴（殖利率較低），因為投資者為凸性支付了溢價。這種權衡是否具有吸引力取決於您對波動性與持倉收益的看法。

凸性與存續期間有何不同？

存續期間是一階度量——是當前殖利率下價格-殖利率曲線的斜率。它假設曲線局部是直線。凸性是二階度量——是該曲線的曲率。僅存續期間預測僅對非常小的殖利率變化準確；殖利率變動越大，凸性就越重要，因為曲線會偏離切線。

凸性可以是負的嗎？

對於普通債券（不含嵌入式期權），凸性始終為正。含有嵌入式期權的債券（特別是可贖回債券和抵押貸款證券）在某些殖利率區間可能表現出負凸性，因為發行人的贖回權限制了價格上漲空間。本計算機模擬的是不含期權的情況。

Macaulay 存續期間與修正存續期間有什麼區別？

Macaulay 存續期間是債券持有者收到現金流的現值加權平均時間，以年為單位。修正存續期間則是將 Macaulay 存續期間除以 \(1 + y/m\) 進行調整，它直接回答了「殖利率變動 1% 時，我的債券價格變動百分之幾？」這個問題。當殖利率較小時，兩者幾乎相同，隨著殖利率增加，兩者的差異會略微擴大。

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