외접원 계산기

세 변 길이 또는 꼭짓점 좌표로 외접원 반지름과 외심을 구합니다. 넓이와 각도, 단계별 공식과 도형을 함께 보여줍니다.

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외접원 계산기 정보

외접원 계산기(Circumscribed Circle Calculator)는 모든 삼각형의 외접원을 찾아줍니다. 외접원(circumcircle)은 삼각형의 세 꼭짓점을 모두 지나는 유일한 원입니다. 세 변의 길이 또는 세 꼭짓점의 좌표를 입력하면 대화형 SVG 다이어그램 및 단계별 공식과 함께 외접반지름, 외심의 위치, 삼각형 넓이, 내각 등을 즉시 계산할 수 있습니다.

외접원의 핵심 개념

⊙

외접원

삼각형의 세 꼭짓점을 모두 지나는 유일한 원

⊕

외심

세 꼭짓점으로부터 같은 거리에 있는 원의 중심

⊥

수직이등분선

외심에서 만나는 세 변의 수직이등분선

↔

외접반지름

R = abc / (4K), 여기서 K는 삼각형의 넓이

외접원 관련 공식

세 변의 길이가 a, b, c이고 반둘레가 s = (a + b + c) / 2인 삼각형의 경우:

속성	공식	설명
삼각형 넓이 (헤론의 공식)	\(K = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)	반둘레를 사용하여 세 변으로부터 구한 넓이
외접반지름	\(R = \frac{abc}{4K}\)	외접원의 반지름
외접원 넓이	\(A = \pi R^2\)	외접원이 차지하는 넓이
외접원 둘레	\(C = 2\pi R\)	외접원의 둘레 길이
내접반지름	\(r = \frac{K}{s}\)	내접원의 반지름
오일러 거리	\(d = \sqrt{R(R-2r)}\)	외심과 내심 사이의 거리

삼각형 종류에 따른 외심의 위치

외심의 위치는 삼각형의 종류에 따라 달라집니다:

예각삼각형: 외심이 삼각형 내부에 위치합니다. 모든 각이 90° 미만이므로 수직이등분선이 삼각형 내부에서 교차합니다.
직각삼각형: 외심이 정확히 빗변의 중점에 위치합니다. 이때 외접반지름은 빗변 길이의 절반과 같습니다.
둔각삼각형: 외심이 삼각형 외부, 즉 둔각의 반대편에 위치합니다. 이는 수직이등분선이 바깥쪽으로 벌어지기 때문입니다.

외접원 찾는 방법

입력 방식 선택: 세 변의 길이 a, b, c를 아는 경우 "세 변"을, 각 꼭짓점의 좌표를 아는 경우 "세 꼭짓점"을 선택합니다.
값 입력: 세 변의 길이 또는 꼭짓점 A, B, C의 (x, y) 좌표를 입력합니다. 퀵 예제 버튼을 클릭하여 샘플 값을 자동으로 채울 수도 있습니다.
계산하기 클릭: "외접원 계산하기" 버튼을 누릅니다.
결과 검토: 외접반지름 R, 외심 좌표, 외접원 넓이 및 둘레, 삼각형 넓이, 각도, 내접반지름, R/r 비율을 확인합니다.
다이어그램 탐색: 외접원, 수직이등분선, 반지름, 내접원 및 레이블 오버레이를 토글하여 기하학적 구조를 시각화합니다.

실무 응용 분야

외접원은 여러 분야에서 중요하게 응용됩니다. 측량 및 항해에서 외접원은 삼각 측량을 사용하여 위치를 결정하는 데 도움이 됩니다. 컴퓨터 그래픽에서 들로네 삼각분할(Delaunay triangulation)은 어떤 꼭짓점도 다른 삼각형의 외접원 내부에 위치하지 않도록 하여 최소 각도를 최대화합니다. 공학에서는 삼각형 부품의 최소 포괄 경계를 정의할 때 외접원을 사용합니다. 또한 외접원은 메시 생성 및 보로노이 다이어그램을 위한 계산 기하학 알고리즘의 기초가 됩니다.

오일러의 정리와 외접원

오일러의 부등식에 따르면 모든 삼각형에서 외접반지름 R은 내접반지름 r의 최소 두 배(R ≥ 2r)입니다. 등호는 정삼각형일 때만 성립합니다. 또한 오일러 공식은 외심 O와 내심 I 사이의 거리 d를 \(d^2 = R(R - 2r)\)로 연결합니다. 이 우아한 결과는 삼각형과 관련된 가장 기본적인 두 원을 연결하며 삼각형 기하학의 깊은 특성을 드러냅니다.

자주 묻는 질문 (FAQ)

외접원(circumcircle)이란 무엇인가요?

외접원(circumcircle)은 삼각형의 세 꼭짓점을 모두 지나는 유일한 원입니다. 이 원의 중심을 외심, 반지름을 외접반지름이라고 합니다. 모든 비퇴화 삼각형은 정확히 하나의 외접원을 가집니다.

삼각형의 외접반지름은 어떻게 구하나요?

세 변의 길이가 a, b, c이고 넓이가 K인 삼각형의 외접반지름 R은 R = abc / (4K)입니다. 먼저 헤론의 공식 K = √(s(s−a)(s−b)(s−c)) (단, s = (a+b+c)/2)를 사용하여 넓이를 구한 뒤, 세 변의 곱을 넓이의 4배로 나눕니다.

삼각형의 외심은 어디에 위치하나요?

외심은 삼각형 세 변의 수직이등분선이 만나는 점입니다. 예각삼각형은 내부, 직각삼각형은 빗변의 중점, 둔각삼각형은 삼각형 외부(가장 긴 변 너머)에 위치합니다.

모든 삼각형에는 외접원이 있나요?

네, 일직선상에 있지 않은 세 점으로 이루어진 모든 비퇴화 삼각형은 정확히 하나의 외접원을 가집니다. 이는 유클리드 기하학의 기본 정리인 '일직선상에 있지 않은 세 점은 하나의 원을 유일하게 결정한다'는 원리에 기초합니다.

외접반지름과 내접반지름의 관계는 무엇인가요?

오일러의 부등식에 의해 모든 삼각형에서 R ≥ 2r이 성립합니다. 정삼각형일 때만 R = 2r이 됩니다. 오일러 공식 d² = R(R − 2r)은 두 중심 사이의 거리 d를 반지름들을 통해 계산할 수 있게 해줍니다.

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miniwebtool 팀 작성. 업데이트 날짜: 2026-04-03

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