기하 분포 계산기

기하 분포 계산기 정보

기하 분포 계산기는 첫 번째 성공을 거두는 데 필요한 독립적인 베르누이 시행 횟수에 대한 정확한 확률을 계산합니다. 시행당 성공 확률과 시행 번호(또는 실패 횟수)를 입력하면 점 확률 및 누적 확률, 단계별 풀이, 애니메이션 시행 시퀀스 시각화, PMF/CDF 차트 및 전체 분포표를 즉시 얻을 수 있습니다. 시행 번호와 성공 전 실패 횟수라는 두 가지 매개변수화 방식이 모두 지원됩니다.

기하 분포란 무엇인가요?

기하 분포는 일련의 베르누이 시행에서 첫 번째 성공을 얻기 위해 필요한 독립적인 시행 횟수를 모델링하는 이산 확률 분포입니다. 각 시행은 동일한 성공 확률 p와 실패 확률 q = 1 − p를 가집니다. 이는 지수 분포의 이산형 버전이며, 무기억성(memoryless property)을 가진 유일한 이산 분포입니다.

두 가지 일반적인 매개변수화

기하 분포에는 종종 혼동을 일으키는 두 가지 표준 형식이 있습니다. 이 계산기는 두 형식을 모두 지원합니다.

• 시행 횟수 매개변수화 (X): X는 첫 번째 성공이 발생하는 시행 번호를 나타냅니다. X는 1, 2, 3, …의 값을 가지며 P(X = k) = (1 − p)^k−1 × p입니다. 평균은 1/p입니다.
• 실패 횟수 매개변수화 (Y): Y는 첫 번째 성공이 나타나기 전까지의 실패 횟수를 나타냅니다. Y는 0, 1, 2, …의 값을 가지며 P(Y = k) = (1 − p)^k × p입니다. 평균은 (1 − p)/p입니다. Y = X − 1의 관계가 성립합니다.

기하 PMF 공식

시행 횟수 매개변수화(이 계산기의 기본값)의 경우:

P(X = k) = (1 − p)^k−1 × p (단, k = 1, 2, 3, …)

원리는 간단합니다. 처음 (k − 1)번의 시행은 모두 실패해야 하며(각 확률 1 − p), k번째 시행은 반드시 성공해야 합니다(확률 p). 시행이 독립적이므로 이 확률들을 모두 곱합니다.

CDF (누적 분포 함수)

CDF는 명확한 폐쇄형 표현식을 갖습니다.

P(X ≤ k) = 1 − (1 − p)^k

이는 첫 번째 성공이 처음 k번의 시행 이내에 발생할 확률을 나타냅니다. 이는 1에서 k번의 시행이 모두 실패할 확률을 뺀 것과 같습니다.

평균, 분산 및 기타 통계치

• 평균 (기댓값): E[X] = 1/p — 평균적으로 첫 성공을 위해 1/p번의 시행이 필요합니다.
• 분산: Var(X) = (1 − p) / p² — p가 작을수록(성공이 드물수록) 분산이 커집니다.
• 표준 편차: σ = √((1 − p) / p²)
• 중앙값: ⌈−1 / log₂(1 − p)⌉ — P(X ≤ k) ≥ 0.5를 만족하는 가장 작은 k값입니다.
• 최빈값: 항상 1 — 가장 발생 가능성이 높은 결과는 첫 번째 시행에서의 성공입니다.
• 왜도: (2 − p) / √(1 − p) — 항상 양수(오른쪽으로 치우친 분포)입니다.

무기억성 (Memoryless Property)

기하 분포는 무기억성을 가진 유일한 이산 분포입니다.

P(X > s + t | X > s) = P(X > t)

이는 이미 s번 실패했더라도, 적어도 t번의 추가 시행이 더 필요할 확률은 처음부터 시작할 때와 동일함을 의미합니다. 과거의 실패가 미래의 확률을 바꾸지 않습니다. 이는 각 시행이 독립적이기 때문에 타당합니다.

일반적인 응용 분야

• 동전 던지기 — 첫 앞면이 나올 때까지 몇 번 던져야 할까요? p = 0.5일 때 기댓값은 2번입니다.
• 영업 및 마케팅 — 첫 판매가 성사될 때까지 몇 번의 콜드 콜을 해야 할까요? 전환율이 5%라면 평균 약 20번의 전화를 예상할 수 있습니다.
• 품질 관리 — 첫 불량품을 발견하기 전까지 몇 개의 제품을 검사해야 할까요? 희귀 이벤트의 대기 시간을 모델링합니다.
• 도박 및 게임 — 주사위를 던져 6이 나올 때까지 몇 번 던져야 할까요? p = 1/6일 때 기댓값은 6번입니다.
• 네트워크 신뢰성 — 패킷 전송이 성공할 때까지 몇 번 시도해야 할까요? 컴퓨터 네트워크의 재전송 프로토콜을 모델링합니다.
• 유전학 — 특정 형질을 가진 자손이 나타날 때까지 몇 명의 자손이 필요할까요? 멘델의 법칙을 따르는 형질 유전에 적용됩니다.

다른 분포와의 관계

• 음이항 분포: 기하 분포는 r = 1(정확히 1번의 성공을 기다림)인 음이항 분포의 특수한 경우입니다.
• 지수 분포: 기하 분포는 연속형 지수 분포의 이산형 버전입니다. 둘 다 무기억성을 가집니다.
• 베르누이 시행: 각 시행은 베르누이 분포를 따릅니다. 기하 분포는 첫 성공까지의 베르누이 시행 횟수를 셉니다.

본 계산기 사용 방법

1. 시행당 성공 확률(p)을 입력합니다. 이 값은 0 초과 1 이하이어야 합니다.
2. 매개변수화 방식을 선택합니다: 시행 번호 (k = 1, 2, 3, …) 또는 성공 전 실패 횟수 (k = 0, 1, 2, …).
3. k 값을 입력합니다.
4. "확률 계산하기"를 클릭하여 점 확률 및 누적 확률, 단계별 풀이, 애니메이션 시행 시퀀스, PMF/CDF 차트 및 전체 분포표를 확인합니다.
5. 빠른 시나리오 버튼을 사용하여 일반적인 실생활 예시를 즉시 탐색해 보세요.

자주 묻는 질문

기하 분포는 어디에 사용되나요?

기하 분포는 첫 번째 성공을 얻기 위해 필요한 독립 시행 횟수를 모델링합니다. 각 시도가 동일한 성공 확률을 가진다고 가정할 때 "성공하기 전까지 몇 번이나 시도해야 하는가?"라는 질문에 답하고 싶을 때마다 사용됩니다. 일반적인 응용 분야로는 영업 통화 분석, 품질 검사, 도박, 네트워크 재전송, 유전학 등이 있습니다.

두 매개변수화 방식의 차이점은 무엇인가요?

시행 횟수 방식은 첫 성공이 일어난 시행의 번호(1부터 시작)를 세는 반면, 실패 횟수 방식은 첫 성공 전까지 발생한 실패의 수(0부터 시작)를 셉니다. 이 둘은 정확히 1만큼 차이가 납니다. X가 시행 번호라면 Y = X − 1이 실패 횟수입니다. 두 방식 모두 해당 k에 대해 동일한 확률 값을 제공합니다.

무기억성이란 무엇인가요?

무기억성은 과거의 실패가 미래의 성공 확률에 영향을 주지 않음을 의미합니다. 공정한 동전을 앞면 없이 이미 10번 던졌더라도, 정확히 1번 더 던져야 할 확률은 여전히 0.5입니다. 동전은 과거의 결과를 "기억"하지 않습니다. 기하 분포는 이 성질을 가진 유일한 이산 분포입니다.

기하 분포와 음이항 분포는 어떤 관계가 있나요?

기하 분포는 정확히 r = 1번의 성공을 기다리는 음이항 분포의 특수한 사례입니다. 음이항 분포는 이를 일반화하여 r번의 성공을 기다리는 시행 횟수를 모델링하며, 여기서 r은 임의의 양의 정수가 될 수 있습니다.

왜 최빈값은 항상 1인가요?

최빈값이 항상 1(실패 횟수 방식에서는 0)인 이유는 단일 결과 중 가장 가능성이 높은 것이 바로 첫 번째 시행에서의 성공이기 때문입니다. 이 확률은 p이며 PMF에서 가질 수 있는 가장 높은 값입니다. 이후의 모든 시행은 먼저 실패가 선행되어야 하므로 확률이 엄격하게 낮아집니다.