シンプソン則電卓
シンプソン1/3則、3/8則、および合成シンプソン則を使用して定積分を近似計算します。対話型の放物線可視化、誤差推定、収束分析、手法の比較、およびMathJaxによる詳細なステップ別解説が特徴です。
広告ブロッカーにより広告が表示できません
MiniWebtool は広告収益で無料提供しています。このツールが役に立ったら、Premium（広告なし＋高速）をご利用いただくか、MiniWebtool.com を許可リストに追加して再読み込みしてください。
- または Premium（広告なし）にアップグレード
- MiniWebtool.com の広告を許可してから再読み込みしてください
シンプソン則電卓
シンプソン則計算機は、サンプル点を通して放物線曲線（1/3則）または3次曲線（3/8則）を当てはめることにより、定積分を近似する強力な数値積分ツールです。点の間を直線で結ぶ台形公式とは異なり、シンプソン則は関数の曲率を捉えることで O(h⁴) の精度を実現します。これは微分積分学、工学、科学計算において最も広く使用されている手法の一つです。
主な機能
シンプソン則電卓の使い方
- 関数を入力する —
x^2、sin(x)、exp(-x^2)、またはサポートされている関数の組み合わせなど、数学的な式 f(x) を入力します。 - 積分範囲を設定する — 下限 (a) と上限 (b) を入力し、部分区間の数 (n) を選択します。
- 公式を選択する — シンプソンの1/3則（nが偶数である必要があり、奇数の場合は自動調整されます）または3/8則（nが3の倍数である必要があり、自動調整されます）を選択します。
- 計算をクリックする — ツールが MathJax でレンダリングされた完全なステップバイステップの解答とともに近似値を計算します。
- 結果を確認する — 放物線の可視化を操作したり、セグメントごとの面積を確認したり、手法を比較したり、収束解析を学習したりします。
シンプソンの1/3則の解説
複合シンプソンの1/3則は、[a, b] を n 個の等しい部分区間（n は偶数である必要があります）に分割し、連続する3つの点ごとに放物線を当てはめます。
$$S_n = \frac{\Delta x}{3} \left[ f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + 2f(x_4) + \cdots + 4f(x_{n-1}) + f(x_n) \right]$$
ここで \( \Delta x = \frac{b - a}{n} \) です。係数は 1, 4, 2, 4, 2, ..., 4, 1 というパターンに従います。各部分区間のペアは、3つの点を通る2次多項式を使用するため、線形補間よりもはるかに関数の曲率を適切に捉えることができます。
シンプソンの3/8則の解説
3/8則は、3つの部分区間のグループに対して3次補間を使用します（n は3の倍数である必要があります）。
$$S_{3/8} = \frac{3\Delta x}{8} \left[ f(x_0) + 3f(x_1) + 3f(x_2) + 2f(x_3) + 3f(x_4) + \cdots + f(x_n) \right]$$
係数は 1, 3, 3, 2, 3, 3, 2, ..., 3, 3, 1 というパターンに従います。どちらの公式も O(h⁴) の精度を実現しますが、3/8則は n が偶数でない場合に有用です。
誤差の比較
| 手法 | 誤差のオーダー | 誤差の限界 | 厳密に一致する対象 |
|---|---|---|---|
| 台形公式 | \( O(h^2) \) | \( \frac{(b-a)^3}{12n^2} \max|f''| \) | 1次関数 |
| シンプソンの1/3則 | \( O(h^4) \) | \( \frac{(b-a)^5}{180n^4} \max|f^{(4)}| \) | 3次関数以下 |
| シンプソンの3/8則 | \( O(h^4) \) | \( \frac{(b-a)^5}{80n^4} \max|f^{(4)}| \) | 3次関数以下 |
n を2倍にすると、台形公式では誤差が約4分の1になるのに対し、シンプソン則では誤差が約16分の1に減少します。これにより、滑らかな関数においてシンプソン則ははるかに速く収束します。
各公式の使い分け
- シンプソンの1/3則 — ほとんどの用途に最適です。n が偶数である（または偶数にできる）場合に使用します。3つの基本的なニュートン・コーツの公式の中で、関数評価あたりの精度が最も高いです。
- シンプソンの3/8則 — n が3の倍数であるが偶数でない場合に使用します。また、奇数個の部分区間を処理するために 1/3則と組み合わせた複合公式でも有用です。
- 台形公式 — データの間隔が不均等な場合、n が小さく奇数の場合、または精度よりも単純さが重要な場合に適しています。また、高階導関数に不連続点がある関数にも適しています。
対応している関数
この電卓は、幅広い数学関数をサポートしています。
- 多項式:
x^2,x^3 + 2x - 1,x^5 - 3x^3 + 2 - 三角関数:
sin(x),cos(x),tan(x),asin(x),acos(x) - 指数・対数関数:
exp(x),ln(x),log(x) - 根号:
sqrt(x) - 定数:
pi,e - 組み合わせ:
sin(x)*exp(-x),x^2/(1+x^2),sqrt(1+x^3)
よくある質問
このコンテンツ、ページ、またはツールを引用する場合は、次のようにしてください：
"シンプソン則電卓"（https://MiniWebtool.com/ja/シンプソン則計算機/） MiniWebtool からの引用、https://MiniWebtool.com/
miniwebtool チームによる提供。更新日: 2026-04-05
また、AI 数学ソルバー GPT を使って、自然言語による質問と回答で数学の問題を解決することもできます。