慣性モーメント計算機

慣性モーメント計算機は、この用語が持つ2つの意味を1箇所でカバーしています。構造エンジニアが荷重下での梁の曲がり具合を予測するために使用する「断面二次モーメント」（Second moment of area）と、機械・航空宇宙エンジニアがトルクに対する物体の反応を予測するために使用する「質量慣性モーメント」（Mass moment of inertia）の両方に対応しています。15種類の用意された形状から1つを選び、使い慣れた単位で寸法を入力すると、図面がリアルタイムで再描画され、断面積、極モーメントJ、断面係数S、回転半径k、および詳細なステップ・バイ・ステップの誘導とともに慣性モーメントが読み取れます。平行軸の定理の入力欄を使用すれば、数値を1つ入力するだけで、形心軸まわりの結果を任意の平行軸にシフトできます。

この慣性モーメント計算機の使い方

1. 梁の設計を行う場合は断面二次モーメントを、回転運動を研究する場合は質量慣性モーメントをクリックします。形状ギャラリーが自動的にフィルタリングされ、適用可能な形状のみが表示されます。
2. 長方形、円、中空管、三角形、中空ボックス、Iビーム、半円、細いロッド、詰まった円柱または中空円柱、詰まった球または中空球、長方形板などの形状カードをタップします。必要な寸法欄が表示され、右側の図面が調整されます。
3. 寸法を mm、cm、m、in、または ft で入力します。質量モードの形状の場合は、全質量を kg、g、lb、t、または oz で入力します。
4. 出力単位を選択します。断面二次モーメントの場合は mm⁴ / cm⁴ / m⁴ / in⁴ / ft⁴ を、質量慣性モーメントの場合は kg·m² / kg·cm² / g·cm² / lb·ft² / lb·in² を選択します。
5. 必要に応じて、平行軸のオフセット距離を入力します。電卓は自動的に \(I' = I + A d^2\) (面積) または \(I' = I + m d^2\) (質量) を適用します。
6. 計算ボタンを押すと、慣性モーメント、極モーメント、断面係数、回転半径、形心と軸を示す断面のSVG図面、および詳細なLaTeX誘導が順を追って表示されます。

この電卓が他と違う理由

断面二次モーメント vs 質量慣性モーメント

2つの値は名前が似ており、同じ記号 \(I\) を共有していますが、全く異なる概念です。断面二次モーメント \(I_x = \int_A y^2 \,dA\) は断面の形状のみに依存し、材質は関係ありません。単位は長さの4乗（mm⁴、cm⁴、m⁴、in⁴）です。これは梁の曲げに使用され、\(I_x\) が大きいほど、同じ軸まわりの曲げモーメントに対する抵抗力が高くなります。質量慣性モーメント \(I = \int r^2 \,dm\) は、質量がどれだけあるかと、その質量が回転軸からどのように離れて分布しているかの両方に依存します。単位は質量×長さ²（kg·m²、g·cm²、lb·ft²、lb·in²）です。これは回転運動学で使用され、\(\tau = I\alpha\) はニュートンの第二法則の回転形式です。

一般的な形状の公式

この電卓でサポートされているすべての形状は、以下の公式のいずれかに従います。これらはすべて、図面で示されている形心軸まわりのものです。平行軸の定理を使用することで、これらを任意の平行軸に拡張できます。

平行軸の定理

上記の公式はすべて、軸が形状の形心を通ることを前提としています。形心軸に平行な別の軸にシフトするには、単一の補正項を追加します。

\[ I_{x'} \;=\; I_x \;+\; A\,d^{2} \qquad \text{(断面二次モーメント)} \qquad I' \;=\; I \;+\; m\,d^{2} \qquad \text{(質量慣性モーメント)} \]

ここで、\(d\) は2つの平行軸間の距離、\(A\) は断面積、\(m\) は全質量です。電卓は、任意のオフセット欄に入力した際にこれを自動的に適用します。

計算例: Iビーム断面

全高 H = 12 in、フランジ幅 B = 8 in、フランジ厚 t_f = 0.515 in、ウェブ厚 t_w = 0.295 in を持つ W12×40 ワイドフランジIビームを考えます。ウェブの高さは \(h_w = H - 2 t_f = 10.97\) in となります。

• \( I_x = B H^{3}/12 - (B - t_w)\,h_w^{3}/12 = 8 \cdot 12^{3}/12 - (8 - 0.295) \cdot 10.97^{3}/12 \approx 1152 - 847 \approx 305 \) in⁴。
• これは、工学的な許容誤差の範囲内で、AISCテーブルの値である 307 in⁴ と一致します。
• 曲げモーメント \(M = 50000\) lb·in の場合、最大曲げ応力は \( \sigma = M c / I = 50000 \cdot 6 / 307 \approx 977 \) psi となります。

計算例: フライホイール

質量 20 kg、外半径 0.30 m の詰まった鋼鉄製フライホイールが、自身の中心軸まわりに回転する場合:

• \( I = m r^{2}/2 = 20 \cdot 0.30^{2} / 2 = 0.9\) kg·m²。
• これを静止状態から 5 秒間で 60 RPM (\(\omega = 6.28\) rad/s) まで回転させるために必要なトルク (\(\alpha = 1.26\) rad/s²) は、\( \tau = I \alpha = 0.9 \cdot 1.26 \approx 1.13\) N·m となります。
• 60 RPM での回転運動エネルギーは、\( K = \tfrac{1}{2} I \omega^{2} = 0.5 \cdot 0.9 \cdot 6.28^{2} \approx 17.7\) J となります。

断面係数、回転半径、極モーメント

すべての断面二次モーメントモードの形状について、電卓は工学部の学生がいずれ必要とする3つの関連する値も報告します。

• 断面係数 \(S = I_x / c\)、ここで \(c\) は形心から最も応力がかかる縁までの距離です。曲げ応力の公式 \( \sigma = M / S \) に直接使用されます。
• 回転半径 \(k = \sqrt{I / A}\) (面積) または \(k = \sqrt{I / m}\) (質量)。これは、すべての面積または質量が単一の点に集中したと仮定しても、同じIを生み出すことができる半径のことです。オイラーの柱座屈公式や、回転運動エネルギーを \(KE = \tfrac{1}{2} m (k\omega)^{2}\) と記述する際の回転等価式に登場します。
• 極断面二次モーメント \(J = I_x + I_y\)、これは断面に垂直な形心軸まわりの断面二次モーメントです。円形シャフトのねじり剪断応力を決定します: \(\tau = T r / J\)。

よくある質問

断面二次モーメントと質量慣性モーメントの違いは何ですか？
断面二次モーメントは断面の形状のみに依存し、梁の曲げに使用されます。単位は長さ⁴ (mm⁴, in⁴) です。質量慣性モーメントは、質量とその質量が回転軸のまわりにどのように分布しているかに依存し、回転力学に使用されます。単位は質量 × 長さ² (kg·m², lb·ft²) です。これらは同じ記号 I を共有しますが、異なる物理的な問いに答えるものです。

長方形の I はどのように計算しますか？
形心 x 軸まわりでは \(I_x = b h^{3}/12\) です。垂直な形心 y 軸まわりでは \(I_y = h b^{3}/12\) です。平面に垂直な形心軸まわりの極モーメントは \(J = I_x + I_y\) となります。

円の I はどのように計算しますか？
直径 d の詰まった円の場合、任意の直径まわりに \(I = \pi d^{4}/64\)、中心の垂直軸まわりに \(J = \pi d^{4}/32\) となります。中空管の場合は、外側から内側を差し引きます: \(I = \pi (D^{4} - d^{4})/64\)。

平行軸の定理とは何ですか？
断面二次モーメントでは \(I_{\text{平行}} = I_{\text{形心}} + A d^{2}\)、質量慣性モーメントでは \(I_{\text{平行}} = I_{\text{形心}} + m d^{2}\) となる定理です。ここで d は2つの平行軸間の距離です。この電卓は、オフセット欄に入力すると自動的にこれを適用します。

詰まった球体の慣性モーメントは何ですか？
任意の直径まわりに \(I = \tfrac{2}{5} m r^{2}\) です。同じ質量と半径を持つ薄い中空球体の場合は \(\tfrac{2}{3} m r^{2}\) となり、より多くの質量が外縁に位置するため大きくなります。

断面係数とは何ですか、またどのように使用しますか？
\(S = I_x / c\) であり、c は形心から最も外側の縁までの距離です。最大曲げ応力は \(\sigma = M / S\) になります。S が大きいほど、梁は同じ許容応力でより大きなモーメントに耐えることができます。

なぜ I ビームの形状は、同じ面積の詰まった長方形よりも優れた性能を発揮するのですか？
断面二次モーメントは、各材料の要素に形心からの距離の「2乗」を掛け合わせて重み付けするためです。Iビームは、材料の大部分を形心から遠く離れたフランジに配置しているため、詰まった棒鋼において形心付近にある同じ質量の材料よりも、I に対してはるかに大きく貢献します。そのため、鋼製の梁はほぼ常に I のような形状をしています。