黃金矩形計算機

黃金矩形計算機

歡迎使用 黃金矩形計算機，這是一個優雅的幾何工具，可以根據任何已知測量值計算黃金矩形尺寸。無論您已知長邊、短邊、對角線、面積還是周長，此計算機都能計算出所有尺寸，同時視覺化由黃金比例 (φ ≈ 1.618) 定義的優美數學關係。

什麼是黃金矩形？

黃金矩形是指其邊長符合 黃金比例 的矩形，比例約為 1:1.618。這個特殊的比例由希臘字母 phi (φ) 表示，因其極具美感且廣泛存在於自然界中，數千年來一直令數學家、藝術家和建築師著迷。

黃金矩形具有顯著的自相似性質：當您從黃金矩形中切掉一個正方形（以較短邊作為正方形的邊長）時，剩下的矩形也是一個黃金矩形。這個過程可以無限持續下去，形成一個嵌套的、越來越小的黃金矩形序列。

黃金比例 (φ)

黃金比例具有獨特的數學性質：

• $\\\varphi^2 = \varphi + 1$（約等於 2.618）
• $\\\frac{1}{\varphi} = \varphi - 1$（約等於 0.618）
• $\\\varphi$ 是一個具有無限不循環小數的無理數

黃金矩形公式

基本關係

在長邊為 a、短邊為 b 的黃金矩形中：

計算尺寸

• 根據長邊 (a)： $b = \frac{a}{\\\varphi}$
• 根據短邊 (b)： $a = b \times \varphi$
• 根據面積 (A)： $a = \sqrt{A \times \varphi}$，然後 $b = \frac{a}{\\\varphi}$
• 根據周長 (P)： $a = \frac{P \cdot \varphi}{2(\\\varphi + 1)}$
• 根據對角線 (d)： $a = \frac{d \cdot \varphi}{\\\sqrt{\\\varphi^2 + 1}}$

內部和外部黃金矩形

黃金矩形的一個迷人屬性是它們如何相互嵌套：

• 內部黃金矩形： 尺寸為 a（長）× b（短）
• 正方形： 當一個邊長為 a 的正方形與內部矩形相鄰放置時
• 外部黃金矩形： 組合後的形狀尺寸為 (a + b) × a

兩個矩形都保持精確相同的黃金比例，展示了這種數學形式的自相似性。

如何使用此計算機

1. 選擇輸入類型： 選擇您已知的測量值（長邊、短邊、對角線、面積或周長）
2. 輸入數值： 輸入已知測量值的正數
3. 設置精度： 為您的結果選擇小數位數 (2-12)
4. 計算： 點擊按鈕以查看完整尺寸、視覺化圖表和分步公式

自然界和藝術中的黃金矩形

黃金矩形和黃金比例出現在自然界和人類創造的各個角落：

自然界

• 鸚鵡螺殼： 螺旋圖案遵循黃金矩形比例
• 向日葵種子： 按照遵循斐波那契數列（與 φ 密切相關）的螺旋排列
• 星系螺旋： 許多螺旋星系呈現出黃金比例
• 人體： 各種比例都接近黃金比例

藝術與建築

• 帕德嫩神廟： 正面契合黃金矩形
• 李奧納多·達·芬奇： 在《維特魯威人》和其他作品中使用了黃金比例
• 現代設計： 蘋果公司的徽標、信用卡和許多公司的徽標都使用了黃金比例
• 攝影： 黃金比例指導了「三分法」構圖

相關數學概念

斐波那契數列

隨著數字變大，連續兩個斐波那契數（1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21...）的比值趨近於黃金比例：

$$\\\lim_{n \to \infty} \frac{F_{n+1}}{F_n} = \varphi$$

黃金螺旋

一種對數螺旋，每旋轉四分之 round 圈，其半徑就增加 φ 倍。它可以透過在嵌套的黃金矩形中連接四分之一圓弧來近似得到。

常見問題解答

什麼是黃金矩形？

黃金矩形是指其邊長符合黃金比例的矩形，比例約為 1:1.618。這個比例由希臘字母 phi (φ) 表示，廣泛存在於自然、藝術和建築中。當您從黃金矩形中切掉一個正方形時，剩下的矩形也是一個黃金矩形，從而形成無限的自相似形狀序列。

什麼是黃金比例 (phi)？

黃金比例由希臘字母 phi (φ) 表示，約等於 1.6180339887。它的定義是 (1 + √5) / 2。這個無理數具有獨特的性質：φ² = φ + 1，且 1/φ = φ - 1。黃金比例出現在斐波那契數列、自然界中的螺旋圖案以及像帕德嫩神廟這樣的古典建築中。

如何計算黃金矩形的尺寸？

要根據長邊 (a) 求短邊 (b)：b = a / φ = a / 1.618。要根據短邊 (b) 求長邊 (a)：a = b × φ = b × 1.618。您還可以利用黃金比例關係，根據對角線、面積或周長進行計算。

內部和外部黃金矩形之間有什麼關係？

當您將一個長邊為 'a'、短邊為 'b' 的黃金矩形（內部）與一個邊長為 'a' 的正方形相鄰放置時，您就創建了一個更大的黃金矩形（外部），其長邊為 'a + b'，短邊為 'a'。兩個矩形都保持精確相同的約 1.618 的黃金比例。

自然界和藝術中哪裡可以找到黃金矩形？

黃金矩形出現在鸚鵡螺殼、向日葵種子圖案、星系螺旋和人體比例中。在藝術和建築中，它被用於帕德嫩神廟、李奧納多·達·芬奇的作品中，並且在現代設計、攝影構圖和徽標設計中仍然很受歡迎，因為它的比例極具美感。

更多資源

• 黃金矩形 - 維基百科
• 黃金比例 - 維基百科
• 斐波那契數列 - 維基百科

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