拋物線計算機
尋找任何拋物線的頂點、焦點、準線、對稱軸和正焦弦。支援一般式 (y=ax²+bx+c)、頂點式 (y=a(x-h)²+k) 和標準式 ((x-h)²=4p(y-k))。包含帶有逐步解題過程的互動式圖形。
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拋物線計算機
拋物線計算機可找出任何拋物線的所有關鍵屬性：頂點、焦點、準線、對稱軸、正焦弦長度和開口方向。它支援垂直和水平拋物線的三種等式形式——一般式、頂點式和圓錐曲線式。結果包括逐步解題過程和顯示每個組件的互動式圖表。
如何使用拋物線計算機
- 選擇等式形式：選擇一般式 (\(y = ax^2 + bx + c\))、頂點式 (\(y = a(x-h)^2 + k\)) 或圓錐曲線式 (\((x-h)^2 = 4p(y-k)\))。
- 選擇開口方向：選擇垂直（向上/向下開口）或水平（向左/向右開口）。
- 輸入係數：填寫所選形式的數值。使用表單上方的快速範例來嘗試預設等式。
- 點擊「計算拋物線」以查看包括頂點、焦點、準線等在內的結果。
- 探索互動式圖表：顏色標記的圖表顯示拋物線曲線、頂點（紅色）、焦點（琥珀色）、準線（綠色虛線）和正焦弦（青色）。
什麼是拋物線？
拋物線是一條 U 形曲線，定義為到一個固定點（焦點）和一條固定直線（準線）距離相等的點的集合。它是四種圓錐曲線之一，由平行於圓錐母線的平面切割圓錐面而成。每條拋物線的離心率剛好為 1。
拋物線方程式的形式
有三種常見的方式來表示拋物線方程式，每種對於不同用途都很有用：
- 一般式： \(y = ax^2 + bx + c\) — 對於尋找 y 截距和進行多項式運算很有用。\(a\) 的正負號決定開口方向。
- 頂點式： \(y = a(x - h)^2 + k\) — 直接顯示頂點 \((h, k)\)。最適合繪圖和幾何變換。
- 圓錐曲線式： \((x - h)^2 = 4p(y - k)\) — 直接顯示焦距 \(p\)。最適合快速尋找焦點和準線。
拋物線的關鍵組件
- 頂點：拋物線的轉折點。對於 \(y = ax^2 + bx + c\)，頂點位於 \(\left(-\frac{b}{2a},\ c - \frac{b^2}{4a}\right)\)。
- 焦點：位於拋物線內部，沿著對稱軸與頂點相距 \(|p|\) 的點。反射特性會將信號導向此點。
- 準線：與對稱軸垂直的直線，位於焦點另一側，與頂點相距 \(|p|\)。
- 對稱軸：通過頂點和焦點的直線，將拋物線平分為兩個鏡像部分。
- 正焦弦：通過焦點且與對稱軸垂直的弦。其長度為 \(|4p|\)，代表拋物線在焦點處的寬度。
垂直拋物線與水平拋物線
垂直拋物線 (\(y = ax^2 + bx + c\)) 當 \(a > 0\) 時向上開口，當 \(a < 0\) 時向下開口。水平拋物線 (\(x = ay^2 + by + c\)) 當 \(a > 0\) 時向右開口，當 \(a < 0\) 時向左開口。計算機可透過切換開關處理這兩種方向。
現實世界的應用
- 衛星天線與望遠鏡：拋物面反射器將射入的平行信號集中到焦點。
- 拋體運動：被拋出物體的軌跡（忽略空氣阻力）遵循拋物線路徑。
- 汽車大燈：位於拋物面反射器焦點的燈泡會產生平行光束。
- 拱橋與懸索橋：許多結構設計使用拋物線曲線以實現最佳載重分佈。
- 太陽能灶：拋物面鏡將陽光集中到焦點以產生熱能。
常見問題
什麼是拋物線？
拋物線是一條 U 形曲線，其中每一點到固定點（焦點）與固定直線（準線）的距離相等。它是四種圓錐曲線之一，離心率剛好為 1。
如何找到拋物線的頂點？
對於一般式 y = ax² + bx + c，頂點位於 x = -b/(2a) 且 y = c - b²/(4a)。對於頂點式 y = a(x-h)² + k，頂點即為點 (h, k)。
什麼是拋物線的焦點？
焦點是拋物線內部的一個固定點。對於頂點為 (h, k) 的垂直拋物線，焦點位於 (h, k + p)，其中 p = 1/(4a)。拋物線上的每一點到焦點和準線的距離都相等。
什麼是拋物線的準線？
準線是垂直於對稱軸的一條直線。對於頂點為 (h, k) 的垂直拋物線，準線是直線 y = k - p。拋物線是到焦點和準線等距離的所有點的集合。
什麼是正焦弦？
正焦弦是通過焦點且垂直於對稱軸的弦。其長度為 |4p|，其中 p 是頂點到焦點的距離。它有助於確定拋物線在焦點處的寬度。
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最後更新日期： 2026-04-01
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