都卜勒效應計算機

這款都卜勒效應計算機可以計算當聲源或光源移動 — 或觀察者自身移動時，觀察者所偵測到的頻率、波長與音調。選擇波傳播介質，輸入波源頻率與速度，選擇方向，即可查看結果、波前動畫，並針對聽覺範圍內的頻率進行實際的頻移音訊播放。

如何使用這款都卜勒效應計算機

1. 選擇都卜勒模式。聲波、水波或任何機械波請選擇經典模式。光、無線電和雷達請選擇相對論性模式。
2. 選擇波傳播介質 — 20 °C 的空氣、氦氣、淡水或海水、鋼或真空。您也可以輸入自定義波速。
3. 輸入波源頻率，單位為赫茲（Hz）。結果會根據需要自動切換為 kHz、MHz、GHz 或 THz。
4. 設置波源速度，然後點選方向按鈕：→ 趨近觀察者，← 遠離，或 ● 靜止。對觀察者執行相同操作。
5. 點擊計算查看觀測頻率、頻率偏移、波長變化、波前動畫，並針對聽覺範圍內的音調播放實際的音調差異。

這款計算機有何不同之處

都卜勒效應公式

對於經典波（聲波、水波、超音波或任何機械波），觀測頻率 \(f_o\) 為：

\[ f_o \;=\; f_s \cdot \dfrac{c + v_o}{c - v_s} \]

其中 \(f_s\) 為波源頻率，\(c\) 為介質中的波速，\(v_o\) 為觀察者速度（趨近波源時為正），\(v_s\) 為波源速度（趨近觀察者時為正）。對於光或任何電磁波，則使用相對論性都卜勒公式：

\[ f_o \;=\; f_s \cdot \sqrt{\dfrac{1 + \beta}{1 - \beta}} \quad\text{其中}\quad \beta = \dfrac{v_{rel}}{c} \]

這裡 \(v_{rel}\) 是視線相對速度（當波源與觀察者趨近時為正），而 \(c\) 為光速，299,792,458 m/s。相對論性公式對於波源和觀察者的運動是對稱的，但經典公式則不然 — 在相同速度下，移動的波源產生的頻移與移動的觀察者不同。

本計算機使用的波速

計算範例：警笛聲

救護車警笛發出 700 Hz 的聲音，並以 90 km/h ≈ 25 m/s 的速度在 20 °C 的空氣中（c = 343 m/s）趨近靜止的聽者。

• 波源趨近觀察者的速度：\(v_s = +25\) m/s。觀察者靜止：\(v_o = 0\)。
• \(f_o = 700 \cdot \dfrac{343 + 0}{343 - 25} = 700 \cdot \dfrac{343}{318} \approx 755.0\) Hz。
• 頻率偏移 \(\Delta f \approx +55\) Hz (+7.9%)。在音樂術語中，音調升高了約 1.3 個半音。
• 當它經過並開始遠離時，公式變為：\(v_s = -25\) m/s，得出 \(f_o \approx 652\) Hz。當它駛過時，您聽到的總降頻約為 103 Hz（約 2.5 個半音），這正是警笛聲極具辨識度的「嗚—喔」聲。

為什麼行駛中的汽車聲音音調會下降

當汽車靠近時，後續發出的每個波峰都比前一個更靠近您 — 因此波峰會擠壓在一起，到達您耳朵的頻率高於發出時的頻率。經過之後，每個波峰發出的位置都比前一個離您更遠，因此它們會展開並以較低的頻率到達。當汽車正好在您身邊時，表觀頻率變化最快 — 這就是為什麼即使波源發出穩定的音調，警笛聲也會產生劇烈的「嗚—喔」音調俯衝感。

藍移、紅移與宇宙學

在天文學中，都卜勒效應讓我們能夠測量恆星和星系趨近或遠離我們的速度。遠離我們的星系發出的光會產生「紅移」 — 它的光譜線向較長波長（較低頻率）偏移。趨近我們的星系則產生「藍移」。愛德華·哈伯在 1929 年觀察到遙遠星系系統性地呈現紅移，且偏移量與距離成正比，這是宇宙膨脹說的基石之一。

都卜勒雷達與警察測速槍

測速槍發射固定頻率（通常約為 10 GHz、24 GHz 或 35 GHz）的微波。微波從移動車輛反射並帶著兩次都卜勒頻移返回 — 一次在發射路徑，一次在反射路徑。測速槍測量來回行程的頻率偏移，並將其轉換為車速。雖然車速相對於光速極小，經典低速近似值已足夠精確，但專業系統仍會使用相對論性公式以確保精準。

常見問題解答

簡單來說什麼是都卜勒效應？
它是觀察者聽到或測量到的波頻率或音調的變化，由波源或觀察者之間的相對運動引起。趨近運動會提高音調（縮短波長）；遠離運動則降低音調（拉長波長）。

為什麼警報器經過時音調會改變？
當警報器向您靠近時，每個後續波峰發出的位置都更靠近您。波峰每秒到達您耳朵的次數更多，聽起來音調較高。經過並遠離後，波峰被拉開，音調隨之降低。

什麼是藍移與紅移？
藍移代表觀測頻率高於、波長短於波源發出的原始波，發生在波源與觀察者趨近時。紅移則相反。天文學家利用遙遠星系的紅移作為宇宙膨脹的證據。

何時應該使用相對論性模式？
處理光、無線電和雷達，以及相對速度超過光速百分之幾的任何情況。對於日常的聲音場景，經典模式已足夠準確。

為什麼計算機顯示音爆（Sonic Boom）區域？
在經典公式中，當波源達到或超過波速時，分母會變為零或負值。此時所有波前會堆疊成衝擊波錐 — 即音爆 — 單一的觀測頻率在物理上不再具有意義。

我可以聽到音調的變化嗎？
可以。當波源頻率與觀測頻率都落在人類聽覺範圍（約 20 Hz 到 20 kHz）內時，結果區域會顯示播放按鈕，利用瀏覽器的 Web Audio API 合成真實的純音以及平滑的頻滑音。

這款計算機適用於水和氦氣嗎？
是的。選擇對應的介質，計算機就會使用該介質中正確的聲速。聲納系統、海豚通訊，甚至是「氦氣音」實驗都遵循相同的都卜勒公式，只是波速不同。