多普勒效应计算器

多普勒效应计算器用于计算当声源或光源移动时，或者观察者自身移动时，观察者检测到的频率、波长和音调。选择波介质，输入波源频率和速度，选择方向，即可查看结果、波前动画，以及（对于听觉频率）频移后音调的实际音频播放。

如何使用此多普勒效应计算器

1. 选择多普勒模式。对于声音、水或任何机械波，请选择经典模式。对于光、无线电和雷达，请选择相对论模式。
2. 选择波介质 — 20 °C 的空气、氦气、淡水或海水、钢或真空。您也可以输入自定义波速。
3. 以赫兹为单位输入波源频率。结果会根据需要自动切换到 kHz、MHz、GHz 或 THz。
4. 设置波源速度，然后点击方向选项卡：→ 靠近观察者、← 背离或 ● 静止。对观察者执行相同操作。
5. 按下计算，读取观察频率、频率偏移、波长变化、动画波前，并且（对于听觉范围内的音调）播放实际的音调差异。

本计算器的独特之处

多普勒效应公式

对于经典波（声音、水、超声波或任何机械波），观察频率 \(f_o\) 为

\[ f_o \;=\; f_s \cdot \dfrac{c + v_o}{c - v_s} \]

其中 \(f_s\) 是波源频率，\(c\) 是介质中的波速，\(v_o\) 是观察者速度（当观察者向波源移动时为正），\(v_s\) 是波源速度（当波源向观察者移动时为正）。对于光或任何电磁波，使用相对论多普勒公式：

\[ f_o \;=\; f_s \cdot \sqrt{\dfrac{1 + \beta}{1 - \beta}} \quad\text{其中}\quad \beta = \dfrac{v_{rel}}{c} \]

这里 \(v_{rel}\) 是视线相对速度（当波源和观察者靠近时为正），\(c\) 是光速，299,792,458 m/s。相对论公式在波源和观察者运动上是对称的，但经典公式则不然 — 相同速度下，移动的波源产生的频移与移动的观察者不同。

本计算器使用的波速

计算实例：警笛

一辆救护车警笛发出 700 Hz 的声音，并以 90 km/h ≈ 25 m/s 的速度在 20 °C 的空气中 (c = 343 m/s) 靠近静止的听者。

• 波源靠近观察者的速度：\(v_s = +25\) m/s。观察者静止：\(v_o = 0\)。
• \(f_o = 700 \cdot \dfrac{343 + 0}{343 - 25} = 700 \cdot \dfrac{343}{318} \approx 755.0\) Hz。
• 频率偏移 \(\Delta f \approx +55\) Hz (+7.9%)。在音乐术语中，这大约提高了 1.3 个半音。
• 当它通过并开始背离时，公式反转：\(v_s = -25\) m/s 得到 \(f_o \approx 652\) Hz。警笛通过时你听到的总降频约 103 Hz（约 2.5 个半音），这正是让警笛声如此具有辨识度的“滑音”。

为什么驶过的汽车音调会下降

当汽车靠近时，每个连续的波峰发出的位置都比前一个稍近 — 因此波峰聚集，到达你耳朵的频率比发射时更高。通过后，每个波峰产生的位置都比上一个更远，因此它们散开，到达频率降低。峰值（当汽车就在你身边时）是表观频率变化最快的时候 — 这赋予了警笛戏剧性的“呜—呜”滑音感，即使波源一直发射的是稳定的单音。

蓝移、红移与宇宙学

在天文学中，多普勒效应让我们能够测量恒星和星系靠近或背离我们的速度。来自远离我们的星系的光会发生“红移” — 其光谱线向更长的波长（更低的频率）移动。来自靠近我们的星系的光会发生“蓝移”。爱德温·哈勃在 1929 年观察到，遥远星系呈现出系统性的红移，且红移量与距离成正比，这是宇宙膨胀的核心证据之一。

多普勒雷达与警察测速仪

测速雷达发射固定频率的微波（通常在 10 GHz、24 GHz 或 35 GHz 左右）。波从移动的车辆上反弹并产生两次多普勒频移 — 一次在发射途中，一次在返回途中。雷达测速仪测量往返的频率偏移，并将其转换为车辆速度。这里经典的低速近似效果很好，因为车辆速度与光速相比微乎其微，但专业的系统会使用相对论公式以保持精确。

常见问题

简单来说，什么是多普勒效应？
它是观察者听到或测量到的波的频率或音调的变化，由波源或观察者相对运动引起。靠近运动会提高音调（或缩短波长）；背离运动会降低音调（延长波长）。

为什么警笛通过时音调会改变？
当警笛靠近你时，每个连续的波峰发出的位置都离你更近。波峰每秒到达你耳朵的次数更多，听起来音调更高。通过并远离后，波峰散开，你会听到较低的音调。

什么是蓝移和红移？
蓝移意味着观察频率高于且波长短于波源发射的频率，这发生在波源和观察者靠近时。红移则相反。天文学家利用遥远星系的红移作为宇宙膨胀的证据。

什么时候应该使用相对论模式？
对于光、无线电和雷达，以及相对速度超过光速几个百分点的任何情况，请使用相对论模式。对于日常的声音情况，经典模式是准确的。

为什么计算器显示音爆状态？
在经典公式中，当波源速度达到或超过波速时，分母变为零或负值。在等于及高于波速时，所有波前都会堆积成一个激波锥 — 音爆 — 单个观察频率不再具有物理意义。

我可以听到音调变化吗？
可以。当波源频率和观察频率都落在人类听觉范围（约 20 Hz 到 20 kHz）内时，结果部分会显示播放按钮，使用浏览器的 Web Audio API 合成实际的纯音，以及从一个频率到另一个频率的平滑滑音。

这个计算器适用于水和氦气吗？
是的。选择匹配的介质，计算器就会使用该介质中正确的声速。声呐系统、海豚通信，甚至“氦气嗓音”实验都遵循相同的多普勒公式，只是波速不同。