行列式計算機

行列式計算機

歡迎使用行列式計算機，這是一個專業級工具，用於計算矩陣行列式並提供完整的逐步解決方案。無論您是在研究線性代數、解方程組還是分析矩陣特性，此計算機都提供詳細的餘子式展開分解和矩陣見解。

什麼是行列式？

行列式是從方陣元素計算得出的純量值。它編碼矩陣及其代表的線性變換的基本資訊。行列式在數學中具有深遠的幾何和代數意義。

2x2行列式公式

對於2x2矩陣，直接計算行列式：

3x3行列式公式

對於3x3矩陣，沿任何列或行使用餘子式展開：

其中每個餘子式$C_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}$，$M_{ij}$是子式（移除第i列和第j行的子矩陣的行列式）。

如何使用此計算機

1. 選擇矩陣大小: 使用大小按鈕從2x2到6x6進行選擇，或在文字區域輸入任何方陣。
2. 輸入數值: 填入互動式網格或直接輸入數值。用空格或逗號分隔元素，用新行分隔列。
3. 計算: 點擊計算按鈕計算行列式。
4. 檢查解決方案: 檢查逐步餘子式展開，顯示所有中間計算。
5. 檢查特性: 檢查矩陣特性面板以了解可逆性和其他特性。

行列式的應用

理解矩陣特性

奇異矩陣與可逆矩陣

• 可逆矩陣 (det ≠ 0)： 矩陣有唯一逆矩陣，列/行線性獨立，方程組 Ax = b 有唯一解。
• 奇異矩陣 (det = 0)： 矩陣無逆矩陣，列/行線性相依，方程組可能無解或有無限多解。

跡數與行列式的關係

跡數（對角線元素之和）與行列式通過特徵值相關。對於具有特徵值λ₁、λ₂、...、λₙ的矩陣：

• 跡數 = λ₁ + λ₂ + ... + λₙ
• 行列式 = λ₁ × λ₂ × ... × λₙ

常見問題

什麼是矩陣的行列式？

行列式是從方陣計算得出的純量值，編碼重要特性。它指示矩陣是否可逆（非零行列式），代表線性變換的縮放因子，並等於由列/行向量形成的平行體的帶符號體積。

如何計算2x2行列式？

對於2x2矩陣[[a,b],[c,d]]，行列式計算為det = ad - bc。將主對角線元素相乘(a×d)，減去副對角線元素的乘積(b×c)。

如何計算3x3行列式？

對於3x3矩陣，沿任何列或行使用餘子式展開。沿第一列展開：det(A) = a₁₁·C₁₁ + a₁₂·C₁₂ + a₁₃·C₁₃，其中每個餘子式Cᵢⱼ是2x2子矩陣行列式的(-1)^(i+j)倍。

零行列式代表什麼？

零行列式表示矩陣為奇異矩陣（不可逆）。這意味著列/行線性相依，矩陣將某些非零向量映射到零，方程組Ax=b要麼無解，要麼有無限多解。

能否計算非方陣的行列式？

不能，行列式僅針對方陣（列數與行數相同）定義。對於非方陣，可以計算偽行列式或奇異值等相關概念，但古典行列式不存在。

什麼是餘子式展開？

餘子式展開（拉普拉斯展開）沿任何列或行展開計算行列式。對於每個元素aᵢⱼ，將其乘以其餘子式Cᵢⱼ = (-1)^(i+j) × Mᵢⱼ，其中Mᵢⱼ是子式（移除第i列和第j行的子矩陣的行列式）。將所有乘積相加得到行列式。

額外資源

• 行列式 - 維基百科
• 行列式 - 可汗學院

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