Đơn giản hóa quy trình làm việc của bạn: Tìm kiếm miniwebtool.
Thêm
> Máy tính Vết Ma trận
 

Máy tính Vết Ma trận

Tính vết của một ma trận vuông (tổng các phần tử trên đường chéo chính), xác minh tính bằng nhau với tổng các trị riêng, khám phá các thuộc tính của vết và trực quan hóa đường chéo bằng biểu đồ nhiệt tương tác. Hỗ trợ ma trận lên đến 10×10.

Máy tính Vết Ma trận

Thử các ma trận ví dụ:

3×3 Cơ bản (tr=15) 3×3 Đơn vị (tr=3) 2×2 Vết bằng 0 3×3 Phân số (tr=5/2) 4×4 Tổng quát (tr=14)
Lưu ý: Vết chỉ được xác định cho ma trận vuông. Nhập mỗi hàng trên một dòng, phân tách các giá trị bằng dấu phẩy hoặc khoảng trắng. Hỗ trợ tối đa 10×10.

Embed Máy tính Vết Ma trận Widget

Giới thiệu về Máy tính Vết Ma trận

Chào mừng bạn đến với Máy tính vết ma trận, một công cụ tương tác để tính vết của bất kỳ ma trận vuông nào — chính là tổng các phần tử trên đường chéo chính. Vết ma trận tuy đơn giản nhưng lại cực kỳ quan trọng: nó bằng tổng các giá trị riêng, không thay đổi qua các phép biến đổi đồng dạng và xuất hiện ở mọi nơi từ cơ học lượng tử đến học máy. Máy tính này cung cấp các bước tính toán chi tiết, xác minh giá trị riêng, vết của các lũy thừa ma trận, phát hiện thuộc tính và bản đồ nhiệt trực quan làm nổi bật đường chéo chính.

Vết của ma trận là gì?

Vết của một ma trận vuông A kích thước n×n, ký hiệu là tr(A), được định nghĩa là tổng các phần tử trên đường chéo chính:

Định nghĩa vết
$$\text{tr}(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ii} = a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn}$$

Chỉ các ma trận vuông (số hàng và số cột bằng nhau) mới có vết. Đây là một trong hai hàm giá trị vô hướng cơ bản nhất của ma trận — hàm còn lại là định thức.

Vết và giá trị riêng

Một trong những thuộc tính đáng chú ý nhất của vết là mối liên hệ của nó với các giá trị riêng:

Mối quan hệ Vết - Giá trị riêng
$$\text{tr}(A) = \lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n$$

Điều này vẫn đúng ngay cả khi các giá trị riêng là số phức — các phần ảo luôn triệt tiêu lẫn nhau đối với ma trận thực, đảm bảo kết quả vết là số thực. Đồng nhất thức này bắt nguồn từ việc cả vết và tổng các giá trị riêng đều bằng giá trị đối của hệ số của \(x^{n-1}\) trong đa thức đặc trưng \(\det(A - xI)\).

Các thuộc tính chính của vết

Tính tuyến tính

Vết là một toán tử tuyến tính trên không gian các ma trận:

  • \(\text{tr}(A + B) = \text{tr}(A) + \text{tr}(B)\)
  • \(\text{tr}(cA) = c \cdot \text{tr}(A)\) với mọi vô hướng c

Thuộc tính hoán vị vòng quanh

Vết không thay đổi dưới các phép hoán vị vòng quanh của tích ma trận:

Thuộc tính hoán vị vòng quanh
$$\text{tr}(ABC) = \text{tr}(BCA) = \text{tr}(CAB)$$

Lưu ý: điều này không có nghĩa là tr(ABC) = tr(BAC) trong trường hợp tổng quát. Chỉ các phép hoán vị vòng quanh mới được phép.

Bất biến đồng dạng

Nếu B = P-1AP với một ma trận khả nghịch P nào đó, thì tr(B) = tr(A). Điều này làm cho vết trở thành một bất biến đồng dạng, nghĩa là nó không phụ thuộc vào việc lựa chọn cơ sở.

Bất biến chuyển vị

tr(A) = tr(AT), vì phép chuyển vị ma trận không làm thay đổi các phần tử trên đường chéo chính.

Liên hệ với chuẩn Frobenius

Chuẩn Frobenius thông qua vết
$$\|A\|_F^2 = \text{tr}(A^T A) = \sum_{i,j} a_{ij}^2$$

Ứng dụng của vết ma trận

⚗
Cơ học lượng tử
Giá trị kỳ vọng của một quan sát được là \(\langle A \rangle = \text{tr}(\rho A)\) trong đó ρ là ma trận mật độ. Vết đóng vai trò trung tâm trong tính toán giá trị kỳ vọng, entropy vướng víu và độ trung thực (fidelity).
🌐
Tương đối tổng quát
Vô hướng Ricci R = gμνRμν là vết của tensor Ricci đối với metric. Nó đo lường độ cong của không-thời gian.
📊
Học máy
Điều chuẩn vết tr(WTW) phạt các trọng số lớn, và chuẩn hạt nhân (vết của giá trị suy biến) được sử dụng để hoàn thiện ma trận và tối ưu hóa hạng thấp.
🎯
Thống kê
Trong thống kê đa biến, tổng phương sai của một vectơ ngẫu nhiên bằng vết của ma trận hiệp phương sai của nó: tổng phương sai = tr(Σ).

Các loại ma trận đặc biệt và vết của chúng

Loại ma trậnThuộc tính vếtVí dụ
Đơn vị Intr(I) = ntr(I3) = 3
Ma trận khôngtr(0) = 0Tất cả phần tử bằng 0
Ma trận chéotr = tổng đường chéotr(diag(2,5,3)) = 10
Vết bằng không (sl(n))tr(A) = 0Ma trận Pauli, các phần tử sinh SU(n)
Đối xứngtr = tổng các giá trị riêng thựcTất cả giá trị riêng là số thực
Trực giao|tr(A)| ≤ nMa trận quay
Lũy đẳngtr(A) = hạng(A)Ma trận hình chiếu
Lũy linhtr(Ak) = 0 với mọi kTất cả giá trị riêng bằng 0

Vết của lũy thừa ma trận và Đồng nhất thức Newton

Vết của các lũy thừa của một ma trận, tr(A), tr(A²), tr(A³), ..., chứa thông tin đầy đủ về phổ giá trị riêng. Thông qua đồng nhất thức Newton, các vết lũy thừa này có thể tái cấu trúc toàn bộ đa thức đặc trưng:

Mối quan hệ vết lũy thừa
$$\text{tr}(A^k) = \lambda_1^k + \lambda_2^k + \cdots + \lambda_n^k$$

Điều này có nghĩa là dãy các vết {tr(A), tr(A²), ..., tr(An)} xác định hoàn toàn các giá trị riêng của A.

Câu hỏi thường gặp

Vết của ma trận là gì?

Vết của một ma trận vuông A, ký hiệu là tr(A), là tổng các phần tử trên đường chéo chính: tr(A) = a11 + a22 + ... + ann. Nó chỉ được xác định cho các ma trận vuông (n×n). Vết là một trong những bất biến ma trận cơ bản nhất trong đại số tuyến tính.

Vết có liên quan như thế nào đến giá trị riêng?

Vết của một ma trận bằng tổng các giá trị riêng của nó (tính cả bội đại số): tr(A) = λ1 + λ2 + ... + λn. Điều này là do vết và tổng các giá trị riêng đều là giá trị đối của hệ số xn-1 trong đa thức đặc trưng.

Các thuộc tính chính của vết là gì?

Các thuộc tính chính: (1) Tính tuyến tính: tr(aA + bB) = a·tr(A) + b·tr(B). (2) Bất biến chuyển vị: tr(A) = tr(AT). (3) Thuộc tính hoán vị vòng quanh: tr(ABC) = tr(BCA) = tr(CAB). (4) Bất biến đồng dạng: tr(P-1AP) = tr(A). (5) tr(ATA) = tổng bình phương tất cả phần tử = ‖A‖²F (bình phương chuẩn Frobenius).

Tại sao vết lại quan trọng trong đại số tuyến tính?

Vết là một bất biến đồng dạng — nó không thay đổi khi thay đổi cơ sở. Cùng với định thức, vết đặc trưng cho hành vi của các phép biến đổi tuyến tính. Trong vật lý, vết xuất hiện trong cơ học lượng tử (giá trị kỳ vọng), tương đối tổng quát (vô hướng Ricci) và cơ học thống kê (hàm phân bổ).

Ma trận có vết bằng không là gì?

Ma trận có vết bằng không có tr(A) = 0, nghĩa là tổng các phần tử đường chéo bằng không. Các ma trận này tạo thành đại số Lie sl(n), đóng vai trò trung tâm trong vật lý lý thuyết và hình học vi phân. Mọi ma trận đều có thể được phân tách thành A = (tr(A)/n)I + B, với B có vết bằng không.

Làm thế nào để tính vết của một ma trận?

Để tính vết: (1) Xác định các phần tử trên đường chéo chính a11, a22, ..., ann — đây là các vị trí mà chỉ số hàng bằng chỉ số cột. (2) Cộng chúng lại: tr(A) = a11 + a22 + ... + ann. Ví dụ, với [[1,2],[3,4]], vết là 1 + 4 = 5.

Tài nguyên bổ sung

Tham khảo nội dung, trang hoặc công cụ này như sau:

"Máy tính Vết Ma trận" tại https://MiniWebtool.com/vi// từ MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

bởi đội ngũ miniwebtool. Cập nhật: 21 tháng 2, 2026

Bạn cũng có thể thử AI Giải Toán GPT của chúng tôi để giải quyết các vấn đề toán học của bạn thông qua câu hỏi và trả lời bằng ngôn ngữ tự nhiên.

Công cụ nổi bật:

Máy tính tuổiTrình Trích Xuất Ảnh từ VideoCông cụ Mã hóa CaesarCông cụ đổi Pound sang KilogramMáy tính giảm giá phần trămTrình Tạo Mã MorseCông cụ chuyển đổi kg sang lbsTrình tạo số nguyên ngẫu nhiênCông cụ chuyển đổi chữ số La MãĐảo ngược văn bảnMáy tính thương và số dưCông cụ chuyển đổi nhị phân sang thập phânMáy tính phân số tối giảnCông cụ đếm hàngMáy tính thập phân sang phân sốXóa dấu cáchTrình tạo tên ngẫu nhiênTrình tạo chuỗi ngẫu nhiênCon số may mắn của tôi là gì?Máy tính HEXBộ chuyển đổi Feet và Inch sang CmCông cụ chia ảnhmáy-tính-số-mũ-độ-chính-xác-caoMáy tính Phân tích Thừa số Nguyên tốBộ chuyển đổi FPSTrình Tạo Màu Ngẫu NhiênMáy tính Cạnh huyềnBộ chuyển đổi thập phân sang nhị phânCông cụ tạo Sự thật hay Thách đốMáy tính căn bậc haiMáy tính So sánh Phân sốTrình tạo số xổ sốMáy phát động vật ngẫu nhiênMáy tính nhị phânMáy tính thời gianSắp xếp sốTrình tạo mê cungCông cụ chuyển đổi kPa sang psiMáy tính ngày trong năm - Hôm nay là ngày thứ mấy trong nămCông cụ chuyển đổi cm sang feet và inchMáy tính giai thừaTrình tạo đồ vật ngẫu nhiênMáy tính Ước số chung lớn nhấtTrình tạo ngày sinh ngẫu nhiênTung đồng xuCông cụ chuyển đổi inch sang centimetMáy tính xác suấtBộ lặp MP3Trình tạo Hash MD5Chọn tên ngẫu nhiênTrình chuyển đổi SRT sang TXTBộ chuyển đổi Nhị phân sang HexTrình trích xuất âm thanhTrình tạo bài tây ngẫu nhiênCông cụ chuyển đổi hệ thập lục phân sang nhị phânMáy tính giá trị tương laiSắp xếp theo thứ tự bảng chữ cáiCông cụ chuyển đổi gam sang poundDanh sách các số nguyên tốGhép VideoMáy tính One Rep Max (1RM)Máy tính tương hợp tình yêuTrình tạo anagramBộ chuyển đổi hex sang thập phân📅 Máy tính ngàyn chữ số đầu tiên của piCông cụ chuyển đổi thập phân sang bát phânTrình tạo tên miền ngẫu nhiênBộ giải mã Base64Bộ Giải Mã Mã MorseMáy tính Kiểm tra Chia hếttrình-tạo-nonogram-picrossTrình tạo PIN ngẫu nhiênchuyển đổi từ sang số điện thoạiCông cụ chuyển đổi bát phân sang thập phânCông cụ chuyển đổi centimet sang inchMáy tính độ lệch chuẩn - Độ chính xác caoBộ chọn số ngẫu nhiênMáy tính chuyển đổi hệ bát phân sang hệ thập lục phânTra cứu ID người dùng InstagramĐây có phải là Số Nguyên Tố?Trình nén VideoBộ chuyển đổi hệ cơ sốBộ chuyển đổi HEXMáy Tính Chu Vi Hình ElipMáy Tính Giờ Làm ViệcMáy tính ModuloMáy tính rượu tiệc cướiBộ Chuyển Đổi Mã Nhị Phân Sang Mã XámBộ Chuyển Đổi Nhị PhânBộ chọn màu hình ảnhCông cụ chuyển đổi pound sang gamDanh sách năm nhuậnMáy tính BitwiseMáy tính Log Base 10Bộ Chuyển Đổi Thời Gian Sang Thập PhânCông cụ tạo nhóm ngẫu nhiênGiải và luyện trò chơi 24Máy tính Cung Mặt trời, Mặt trăng & Cung mọc 🌞🌙✨Máy tính Hệ số Chuỗi FourierMáy tính Phương pháp Runge-Kutta (RK4)Máy tính WronskianMáy tính Vết Ma trậnMáy tính Hạng Ma trậnTrình tạo tần số âm thanh ngẫu nhiênTrình tạo hợp âm ngẫu nhiênTrình tạo loadout ngẫu nhiênTrình tạo bài Poker ngẫu nhiênTrình tạo khai cuộc cờ vua ngẫu nhiênTrình tạo nhân vật RPG ngẫu nhiênMáy tính Phân tích Giá trị Kỳ dị (SVD)Máy tính Hệ số GiniMáy tính Phân phối Dừng Chuỗi MarkovMáy tính Nguyên lý Chuồng bồ câuMáy tính số StirlingMáy tính Hoán vị lệch (Giai thừa phụ)Trình tạo Số CatalanTrình xác thực dãy bậc đồ thịMáy tính Cây khung nhỏ nhấtMáy tính Đường đi Ngắn nhất DijkstraTrình tạo Ma phươngMáy tính Số Hạnh phúcMáy tính Phỏng đoán CollatzMáy tính Độ congMáy tính Bán kính Hội tụMáy tính Phân tích LU Ma trậnMáy tính Phép chiếu VectorMáy tính Gram-SchmidtMáy tính Phương trình Hình cầuMáy tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳngMáy tính Trực tâm Tam giácMáy tính Trọng tâm Tam giácMáy tính Công thức Dây giàyMáy tính Phân số liên tụcMáy tính Nghịch đảo Nhân theo Mô-đunMáy tính Thuật toán Euclid Mở rộngMáy tính Hàm Phi EulerMáy tính Định lý Số dư Trung QuốcCông cụ tạo Biểu đồ Venn (3 Tập hợp)Máy tính lý thuyết tập hợpCông cụ tạo bảng chân trịCông cụ chuyển đổi cân nặng người sang kiếnMáy tính Calo cho MèoMáy tính tiết kiệm bóng đènMáy tính Chi phí TắmMáy tính chi phí điện đào BitcoinMáy tính Giá trị Giấy vệ sinhMáy tính Quãng đường Bàn phímTrình tạo Bingo từ thông dụngMáy tính Xác suất Ngày nghỉ ốmMáy tính lương thực tế theo giờMáy tính Cà phê vs. Giấc ngủMáy tính thời gian trả lời emailMáy tính FIRE - Tự do Tài chính, Nghỉ hưu sớmMáy tính thời gian lãng phí đi làmBộ đếm Chi phí Cuộc họpMáy tính lương trong nhà vệ sinhTrình tạo KakuroTrình tạo KenKen (Calcudoku)Tạo và giải SudokuMáy tính khay phô maiMáy tính đài phun sô cô laMáy tính ABV CocktailMáy tính khẩu phần mì SpaghettiMáy tính thời gian làm lạnh biaMáy tính Taco BarMáy tính BBQMáy tính quá liều CaffeineCông cụ lập kế hoạch tiệc pizzaMáy tính Nhà gạch LegoMáy tính Lấp đầy Phòng Bỏng ngôMáy tính va chạm đồng xu rơiMáy tính rơi xuyên Trái đấtMáy tính bức xạ chuốiMáy tính năng lượng Chuột HamsterMáy tính Tỷ lệ Lỗi Dịch chuyển Tức thờiMáy tính nấu gà bằng năng lượng động năngMáy tính lực nâng bóng bay HeliMáy tính Thời gian Sống sót ZombieTrình Kiểm Tra Kích Thước Thu Thập GooglebotMáy tính tỷ lệ bãi đỗ xeMáy tính Cây thông NoelMáy Tính Ngày Tận Thế Ma Cà RồngMáy tính giá trị PizzaMáy tính Quầy nước chanhTrình tạo tiểu bang Mỹ ngẫu nhiênTrình tạo lý do ngẫu nhiênTrình tạo hoạt động ngẫu nhiênTrình tạo công thức cocktail ngẫu nhiênCông cụ chọn phim ngẫu nhiênTrình tạo siêu năng lực ngẫu nhiênTrình tạo Haiku ngẫu nhiênTrình tạo lời nhắc viết ngẫu nhiênTrình tạo IMEI Ngẫu nhiênTrình tạo chân dung người dùng ngẫu nhiênTrình tạo địa chỉ giả ngẫu nhiênTrình tạo số cổng ngẫu nhiênTrình tạo NanoID ngẫu nhiênMáy tính tuổi thọ pinMáy tính độ rộng đường mạch PCBMáy tính sụt ápMáy tính định luật OhmMáy tính mã màu điện trởTrình tạo chuyển hướng HtaccessCông cụ tối ưu SVGCông cụ tạo faviconCông cụ tạo biểu thức CrontabTrình định dạng SQLCông cụ chuyển đổi cURL sang JSONBộ giải mã JWTCông cụ chuyển đổi JSON sang YAMLMáy tính Chuyển đổi MenCông cụ chuyển đổi kích thước khuôn bánhMáy tính độ ẩm bột nhàomáy-tính-tỷ-lệ-bánh-mìMáy tính kích thước thêu chữ thậpMáy tính vảiMáy tính sợi lenMáy tính nước muối và độ mặnMáy tính tỷ lệ pha cà phêMáy tính ABV bia thủ côngMáy tính sáp và tinh dầu thơm nếnMáy tính xút làm xà phòng (SAP)Máy tính kích thước in và độ phân giải (DPI/PPI)Máy tính Golden Hour và Blue HourMáy tính độ sâu trường ảnh (DoF)Máy tính xác suất xúc xắcMáy tính khoảng cách trồng câyMáy tính Chuyển đổi Tỷ lệ Mô hìnhMáy tính vật liệu nền bể cáMáy tính thể tích và mật độ cá bểQuay vòng quayĐổ xúc xắcTrình tạo oẳn tù tìQuả cầu Thần kỳ 8Công cụ tạo địa chỉ IP ngẫu nhiênTrình tạo thời gian ngẫu nhiênTrình tạo ngày ngẫu nhiênCông cụ tạo tọa độ ngẫu nhiênCông cụ tạo User-Agent ngẫu nhiênTrình tạo thẻ tín dụng ngẫu nhiênTrình tạo JSON ngẫu nhiênTrình tạo quốc gia ngẫu nhiênCông cụ tạo bảng màu ngẫu nhiênCông cụ tạo Emoji ngẫu nhiênCông cụ tạo bữa ăn ngẫu nhiênTrình tạo nhánh giải đấu ngẫu nhiênCông Cụ Tạo Phân Phối GaussMáy tính Giá trị PipMáy tính Lãi kép Hàng ngàyMáy tính Chiến lược MartingaleMáy tính Tiêu chí KellyMáy tính Stop Loss & Take ProfitMáy tính mở rộng Fibonaccimáy-tính-điểm-xoayMáy tính đòn bẩy tiền điện tửBộ chuyển đổi Satoshi sang Đô laMáy Tính Chênh Lệch Giá Tiền Điện TửMáy tính tổn thất tạm thờiMáy Tính Lợi Nhuận Quyền ChọnMáy Tính Biến Động Ngầm ĐịnhMáy tính Greek Quyền chọnMáy tính Định giá Quyền chọn Black-ScholesMáy tính rủi ro phá sảnMáy tính lợi nhuận bán khốngMáy tính Margin CallMáy Tính Kích Thước Vị Thếmáy tính giá trung bình cổ phiếuCông cụ xóa ký tự vô hìnhCông cụ Chuyển đổi Văn bản sang Danh sách SQLCông cụ trích xuất cột văn bảnMáy tính sự khác biệt danh sáchCông cụ tạo văn bản ZalgoCông cụ tạo nghệ thuật ASCIICông cụ tạo văn bản vô hình