Máy tính Hạng Ma trận

Chào mừng bạn đến với Máy tính hạng ma trận, một công cụ đại số tuyến tính toàn diện giúp xác định hạng của bất kỳ ma trận nào bằng phép khử Gauss. Hạng của một ma trận là số lượng tối đa các vectơ hàng hoặc cột độc lập tuyến tính — một khái niệm cơ bản chi phối việc liệu hệ phương trình có nghiệm hay không, các phép biến đổi có khả năng nghịch đảo hay không và cách dữ liệu có thể được nén. Máy tính này cung cấp phép khử hàng từng bước, phân tích phần tử chốt, tính toán không gian hạt nhân, bản đồ nhiệt trực quan và xác minh qua Định lý Hạng-Độ vô hiệu.

Hạng ma trận là gì?

Hạng của ma trận A được định nghĩa là:

Tương đương, hạng là:

• Số lượng vị trí chốt trong dạng bậc thang theo hàng của A
• Số chiều của không gian cột (ảnh) của A
• Số chiều của không gian hàng của A
• Số lượng giá trị suy biến khác không của A
• Kích thước của định thức con vuông khác không lớn nhất

Đối với ma trận m×n, hạng thỏa mãn \(0 \leq \text{rank}(A) \leq \min(m, n)\).

Phép khử Gauss xác định hạng như thế nào

Phép khử Gauss (còn gọi là khử hàng) biến đổi một ma trận thành dạng bậc thang theo hàng (REF) bằng ba phép biến đổi hàng sơ cấp:

1. Hoán đổi hàng: Trao đổi hai hàng (\(R_i \leftrightarrow R_j\))
2. Nhân hàng: Nhân một hàng với một số vô hướng khác không (\(R_i \leftarrow c \cdot R_i\))
3. Cộng hàng: Cộng một bội số của một hàng vào hàng khác (\(R_i \leftarrow R_i + c \cdot R_j\))

Trong dạng bậc thang theo hàng:

• Tất cả các hàng bằng không nằm ở dưới cùng
• Phần tử dẫn đầu (chốt) của mỗi hàng khác không nằm bên phải phần tử chốt ở hàng trên nó
• Hạng bằng số lượng các hàng khác không (các phần tử chốt) trong REF

Máy tính này sử dụng chốt một phần (partial pivoting) — chọn giá trị tuyệt đối lớn nhất trong mỗi cột làm chốt — để cải thiện độ ổn định số học.

Định lý Hạng-Độ vô hiệu

Trong đó n là số cột của A. Độ vô hiệu (nullity) là số chiều của không gian hạt nhân (kernel) — tập hợp tất cả các nghiệm của Ax = 0. Định lý này có nghĩa là các cột hoặc là cột chốt (đóng góp vào hạng) hoặc là cột tự do (đóng góp vào độ vô hiệu), và mỗi cột chỉ thuộc một trong hai loại.

Hạng và Hệ phương trình tuyến tính

Hạng của ma trận trực tiếp quyết định khả năng giải của hệ tuyến tính Ax = b:

Các trường hợp đặc biệt và Tính chất

Hạng đầy đủ

Một ma trận có hạng đầy đủ khi hạng(A) = min(m, n):

• Đối với ma trận vuông n×n: hạng đầy đủ nghĩa là có thể nghịch đảo (det ≠ 0), không gian hạt nhân tầm thường
• Đối với ma trận "gầy" (m > n): hạng cột đầy đủ nghĩa là phép biến đổi là đơn ánh (one-to-one)
• Đối với ma trận "béo" (m < n): hạng hàng đầy đủ nghĩa là phép biến đổi là toàn ánh (onto)

Ma trận thiếu hạng

Nếu hạng(A) < min(m, n), ma trận bị thiếu hạng (suy biến đối với ma trận vuông). Điều này xảy ra khi các hàng hoặc cột phụ thuộc tuyến tính — một số hàng có thể được biểu diễn dưới dạng tổ hợp của các hàng khác.

Các đồng nhất thức quan trọng

• hạng(A) = hạng(A^T) — hạng hàng bằng hạng cột
• hạng(AB) ≤ min(hạng(A), hạng(B)) — chặn trên hạng của tích
• hạng(A + B) ≤ hạng(A) + hạng(B) — tính dưới cộng
• hạng(A^TA) = hạng(AA^T) = hạng(A)

Hạng ma trận trong các lĩnh vực khác nhau

Câu hỏi thường gặp

Hạng của ma trận là gì?

Hạng của một ma trận là số lượng tối đa các vectơ hàng độc lập tuyến tính (hoặc tương đương là các vectơ cột) trong ma trận đó. Nó cho biết số chiều của không gian cột (hoặc không gian hàng). Đối với ma trận m×n, hạng tối đa là min(m, n). Một ma trận có hạng bằng min(m, n) được gọi là hạng đầy đủ.

Cách tính hạng ma trận bằng phép khử Gauss?

Phép khử Gauss biến đổi một ma trận thành dạng bậc thang theo hàng (REF) bằng cách thực hiện các phép biến đổi hàng sơ cấp: hoán đổi hàng, nhân một hàng với một số vô hướng khác không, và cộng một bội số của một hàng vào hàng khác. Hạng bằng số lượng các hàng khác không (tương đương với số lượng vị trí chốt) trong dạng REF. Đây là phương pháp thuật toán tiêu chuẩn được dạy trong các khóa học đại số tuyến tính.

Định lý Hạng-Độ vô hiệu là gì?

Định lý Hạng-Độ vô hiệu phát biểu rằng đối với bất kỳ ma trận A kích thước m×n nào, hạng(A) + độ vô hiệu(A) = n, trong đó n là số cột. Độ vô hiệu là số chiều của không gian hạt nhân (tập hợp tất cả các vectơ x sao cho Ax = 0). Định lý cơ bản này kết nối kích thước của không gian cột và không gian hạt nhân.

Khi nào một ma trận có hạng đầy đủ?

Một ma trận có hạng đầy đủ khi hạng của nó bằng min(m, n), giá trị nhỏ hơn giữa số hàng và số cột. Đối với ma trận vuông n×n, hạng đầy đủ có nghĩa là hạng = n, điều này ngụ ý ma trận có thể nghịch đảo (không suy biến) với định thức khác không. Các ma trận hạng đầy đủ có không gian hạt nhân tầm thường (chỉ gồm vectơ không) và các cột của chúng độc lập tuyến tính.

Sự khác biệt giữa hạng hàng và hạng cột là gì?

Một định lý cơ bản trong đại số tuyến tính chứng minh rằng hạng hàng (số chiều của không gian hàng) luôn bằng hạng cột (số chiều của không gian cột) cho bất kỳ ma trận nào. Giá trị chung này đơn giản được gọi là hạng của ma trận. Phép khử Gauss tiết lộ hạng hàng trực tiếp bằng cách đếm các hàng chốt, nhưng con số tương tự cũng chính là hạng cột.

Hạng ma trận liên quan thế nào đến hệ phương trình tuyến tính?

Đối với hệ Ax = b, hạng quyết định khả năng giải: nếu hạng(A) = hạng([A|b]), hệ nhất quán (có nghiệm). Nếu thêm điều kiện hạng(A) = n (số ẩn), nghiệm là duy nhất. Nếu hạng(A) < n, có vô số nghiệm được tham số hóa bởi n - hạng(A) biến tự do. Định lý Rouché-Capelli chính thức hóa các điều kiện này.

Tài nguyên bổ sung

• Hạng (Đại số tuyến tính) - Wikipedia
• Phép khử Gauss - Wikipedia
• Định lý Hạng-Độ vô hiệu - Wikipedia