เครื่องคำนวณเคิร์ล

คำนวณหาค่าเคิร์ล ∇×F ของสนามเวกเตอร์ 2D หรือ 3D ใดๆ พร้อมการขยายดีเทอร์มิแนนต์ของผลคูณไขว้ทีละขั้นตอน ป้อนฟังก์ชันส่วนประกอบ P, Q (และ R สำหรับ 3D) เพื่อรับค่าเคิร์ลเชิงสัญลักษณ์ ประเมินค่า ณ จุดที่กำหนด ระบุสนามที่ไม่มีการหมุน และดูการจำลองสนามเวกเตอร์แบบโต้ตอบพร้อมการแสดงเลเยอร์ความหมุน (vorticity)

เครื่องคำนวณเคิร์ล

ตัวอย่าง:

P = F₁(x,y,z)

Q = F₂(x,y,z)

R = F₃(x,y,z)

จุดที่ต้องการหาค่า (ไม่บังคับ)

ระบุพิกัดโดยใช้จุลภาคคั่นให้ตรงกับมิติที่เลือก

ตัวอย่างเคิร์ล

ป้อนส่วนประกอบเพื่อดูการพรีวิวผลคูณไขว้

Embed เครื่องคำนวณเคิร์ล Widget

เกี่ยวกับ เครื่องคำนวณเคิร์ล

เครื่องคำนวณเคิร์ล นี้จะคำนวณเคิร์ล ∇×F ของสนามเวกเตอร์ 2D หรือ 3D ใดๆ พร้อมแสดงการขยายค่าดีเทอร์มิแนนต์ของผลคูณไขว้แบบละเอียดทีละขั้นตอน เพียงป้อนส่วนประกอบของสนามเวกเตอร์ P, Q (และ R สำหรับสนาม 3D) และเลือกหาค่า ณ จุดที่ต้องการเพื่อรับผลลัพธ์ในรูปแบบสัญลักษณ์ การจำแนกประเภทการหมุน และสำหรับสนาม 2D ยังมีภาพจำลองแบบโต้ตอบพร้อมแผนที่ความร้อนของ Vorticity และการไหลของอนุภาคที่แสดงลักษณะการหมุนของสนาม

เคิร์ล (Curl) คืออะไร?

เคิร์ล ของสนามเวกเตอร์ $\mathbf{F}$ คือการวัดการหมุนในระดับจุลภาคของสนาม ณ แต่ละจุด สำหรับสนาม 3D $\mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle$ เคิร์ลจะคำนวณได้จากผลคูณไขว้ (Cross Product):

$$\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix}$$

การขยายดีเทอร์มิแนนต์จะได้เวกเตอร์เคิร์ลดังนี้:

$$\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right\rangle$$

สำหรับสนาม 2D $\mathbf{F} = \langle P, Q \rangle$ เคิร์ลจะลดรูปเหลือเพียงค่าสเกลาร์ $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$ ซึ่งแสดงถึงการหมุนในระนาบ xy

ความหมายทางกายภาพของเคิร์ล

↺

หมุนทวนเข็ม (curl > 0)

หากวางกังหันขนาดเล็กไว้ที่นี่ มันจะหมุนทวนเข็มนาฬิกา สนามไหลเวียนในทิศทางที่เป็นบวก

↻

หมุนตามเข็ม (curl < 0)

หากวางกังหันขนาดเล็กไว้ที่นี่ มันจะหมุนตามเข็มนาฬิกา สนามไหลเวียนในทิศทางที่เป็นลบ

⊘

ไร้การหมุน (curl = 0)

ไม่มีการหมุนสุทธิ — สนามเป็นแบบอนุรักษ์ มีฟังก์ชันศักย์ φ ที่ทำให้ F = ∇φ

♻

ทฤษฎีบทของสโตคส์

ปริพันธ์ตามพื้นผิวของเคิร์ลเท่ากับปริพันธ์ตามเส้นรอบขอบเขต: การไหลเวียน = การหมุนทั้งหมด

สูตรเคิร์ลในระบบพิกัดต่างๆ

ระบบพิกัด	สูตรเคิร์ล
คาร์ทีเซียน 2D	$\text{curl}\,\mathbf{F} = \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$ (สเกลาร์)
คาร์ทีเซียน 3D	$\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right\rangle$
ทรงกระบอก	$\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{1}{r}\frac{\partial F_z}{\partial \theta} - \frac{\partial F_\theta}{\partial z},\; \frac{\partial F_r}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial r},\; \frac{1}{r}\frac{\partial(rF_\theta)}{\partial r} - \frac{1}{r}\frac{\partial F_r}{\partial \theta} \right\rangle$
ทรงกลม	ดูการขยายตัวเต็มรูปแบบโดยใช้ตัวคูณสเกล $h_r=1, h_\theta=r, h_\phi=r\sin\theta$

เอกลักษณ์ที่สำคัญเกี่ยวกับเคิร์ล

เอกลักษณ์	สูตร
เคิร์ลของเกรเดียนต์	$\nabla \times (\nabla f) = \mathbf{0}$ (เป็นศูนย์เสมอ — เกรเดียนต์ไม่มีการหมุน)
ไดเวอร์เจนซ์ของเคิร์ล	$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0$ (เป็นศูนย์เสมอ)
ความเป็นเชิงเส้น	$\nabla \times (a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a(\nabla \times \mathbf{F}) + b(\nabla \times \mathbf{G})$
กฎผลคูณ	$\nabla \times (f\mathbf{F}) = f(\nabla \times \mathbf{F}) + (\nabla f) \times \mathbf{F}$
ทฤษฎีบทของสโตคส์	$\displaystyle\iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S} = \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$

การประยุกต์ใช้งานของเคิร์ล

สาขา	การประยุกต์ใช้	สิ่งที่เคิร์ลแสดงแทน
แม่เหล็กไฟฟ้า	กฎของฟาราเดย์	$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$ — สนามแม่เหล็กที่เปลี่ยนแปลงทำให้เกิดสนามไฟฟ้าแบบไหลเวียน
แม่เหล็กไฟฟ้า	กฎของแอมแปร์	$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}$ — กระแสไฟฟ้าทำให้เกิดสนามแม่เหล็กแบบไหลเวียน
พลศาสตร์ของไหล	Vorticity (ความหมุนวน)	$\boldsymbol{\omega} = \nabla \times \mathbf{v}$ — วัดว่าของไหลหมุนอย่างไรในระดับท้องถิ่น
กลศาสตร์	ความเร็วเชิงมุม	สำหรับการหมุนของวัตถุเกร็ง $\mathbf{v} = \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}$ เคิร์ลจะให้ค่า $2\boldsymbol{\omega}$
สนามอนุรักษ์	ความเป็นอิสระจากเส้นทาง	ถ้า $\nabla \times \mathbf{F} = 0$ ปริพันธ์ตามเส้นจะเป็นอิสระจากเส้นทางและมีฟังก์ชันศักย์อยู่จริง

วิธีใช้งาน เครื่องคำนวณเคิร์ล

เลือกมิติ: เลือก 2D สำหรับสนาม F = ⟨P, Q⟩ (สเกลาร์เคิร์ล) หรือ 3D สำหรับสนาม F = ⟨P, Q, R⟩ (เวกเตอร์เคิร์ล) โดยใช้ปุ่มสลับ
ป้อนฟังก์ชันส่วนประกอบ: พิมพ์ฟังก์ชันแต่ละส่วนประกอบ (P, Q และ R หากเป็น 3D) โดยใช้รูปแบบมาตรฐาน ใช้ ^ สำหรับเลขยกกำลัง, * สำหรับการคูณ และฟังก์ชัน เช่น sin(x), cos(y), exp(x), ln(x), sqrt(x) รองรับการคูณแบบละเครื่องหมาย (เช่น 2x = 2*x)
ป้อนจุดที่หาค่า (ไม่บังคับ): ระบุพิกัดโดยคั่นด้วยจุลภาคเพื่อคำนวณหาค่าเคิร์ลเชิงตัวเลขและจำแนกทิศทางการหมุน
คลิก คำนวณเคิร์ล: ดูผลลัพธ์ในรูปแบบสัญลักษณ์ การขยายดีเทอร์มิแนนต์ทีละขั้นตอน การหาค่าเชิงตัวเลข และการจำแนกประเภทการหมุน
สำรวจภาพจำลอง: สำหรับสนาม 2D คุณสามารถดูลูกศรสนามเวกเตอร์พร้อมแผนที่ความร้อนของ Vorticity (สีส้ม = ทวนเข็มนาฬิกา, สีม่วง = ตามเข็มนาฬิกา) และการไหลของอนุภาคแบบเคลื่อนไหว

ตัวอย่างวิธีทำ

จงหาเคิร์ลของ $\mathbf{F}(x, y, z) = \langle y z,\; x z,\; x y \rangle$ ณ จุด $(1, 2, 3)$:

ขั้นตอนที่ 1: เขียนดีเทอร์มิแนนต์: $\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\ yz & xz & xy \end{vmatrix}$

ขั้นตอนที่ 2: ขยายผล: $\mathbf{i}(x - x) - \mathbf{j}(y - y) + \mathbf{k}(z - z) = \langle 0, 0, 0 \rangle$

ขั้นตอนที่ 3: เคิร์ลเป็นศูนย์ในทุกจุด — สนามนี้คือ สนามไร้การหมุน (สนามอนุรักษ์) ในความเป็นจริง $\mathbf{F} = \nabla(xyz)$ ซึ่งยืนยันว่ามีฟังก์ชันศักย์อยู่จริง

Curl เทียบกับ Divergence

คุณสมบัติ	Curl (∇×F)	Divergence (∇·F)
ประเภทตัวดำเนินการ	ผลคูณไขว้กับ ∇	ผลคูณจุดกับ ∇
ผลลัพธ์	เวกเตอร์ (3D) / สเกลาร์ (2D)	สเกลาร์
สิ่งที่วัด	การหมุน / การไหลเวียน	การขยายตัว / การหดตัว
เมื่อเป็นศูนย์หมายถึง	ไร้การหมุน / สนามอนุรักษ์	Solenoidal / ของไหลที่บีบอัดไม่ได้
ทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้อง	ทฤษฎีบทของสโตคส์	ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์ (เกาส์)

คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

เคิร์ล (Curl) ของสนามเวกเตอร์คืออะไร?

เคิร์ลของสนามเวกเตอร์คือค่าที่วัดแนวโน้มการหมุนหรือการไหลเวียน ณ แต่ละจุด สำหรับสนาม 3D F = (P, Q, R) เคิร์ลคือเวกเตอร์ที่คำนวณผ่านผลคูณไขว้ของตัวดำเนินการ Nabla กับ F: ∇×F = (∂R/∂y − ∂Q/∂z, ∂P/∂z − ∂R/∂x, ∂Q/∂x − ∂P/∂y) ค่าเคิร์ลที่เป็นบวกบ่งบอกถึงการหมุนทวนเข็มนาฬิกา และค่าลบบ่งบอกถึงการหมุนตามเข็มนาฬิกา

คุณคำนวณเคิร์ลได้อย่างไร?

ในการคำนวณเคิร์ลของสนามเวกเตอร์ 3D ให้ตั้งค่าดีเทอร์มิแนนต์ขนาด 3×3 โดยมีเวกเตอร์หน่วย i, j, k ในแถวแรก ตัวดำเนินการอนุพันธ์ย่อย ∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z ในแถวที่สอง และส่วนประกอบของสนาม P, Q, R ในแถวที่สาม จากนั้นขยายดีเทอร์มิแนนต์โดยใช้การขยายโคแฟกเตอร์ตามแถวแรกเพื่อหาแต่ละส่วนประกอบของเวกเตอร์เคิร์ล

หมายความว่าอย่างไรเมื่อเคิร์ลเป็นศูนย์?

เมื่อเคิร์ลเป็นศูนย์ในทุกจุด สนามเวกเตอร์นั้นจะเรียกว่า ไร้การหมุน (Irrotational) หรือ สนามอนุรักษ์ (Conservative) ซึ่งหมายความว่ามีฟังก์ชันศักย์สเกลาร์ φ ที่ทำให้ F = ∇φ และปริพันธ์ตามเส้นของ F รอบวงปิดใดๆ จะเป็นศูนย์ สนามโน้มถ่วงและสนามไฟฟ้าสถิตเป็นตัวอย่างของสนามที่ไร้การหมุน

ความแตกต่างระหว่าง Curl และ Divergence คืออะไร?

Curl วัดการหมุนและให้ผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์ (ใน 3D) ในขณะที่ Divergence วัดการขยายตัวหรือการหดตัวและให้ผลลัพธ์เป็นสเกลาร์ Curl ใช้ผลคูณไขว้ของ Nabla กับ F (∇×F) ส่วน Divergence ใช้ผลคูณจุด (∇·F) สนามหนึ่งอาจมีเคิร์ลที่ไม่เป็นศูนย์แต่มีไดเวอร์เจนซ์เป็นศูนย์ (เช่น F = (−y, x, 0)) หรือมีเคิร์ลเป็นศูนย์แต่มีไดเวอร์เจนซ์ที่ไม่เป็นศูนย์ (เช่น F = (x, y, z))

ความหมายทางกายภาพของเคิร์ลคืออะไร?

ในทางกายภาพ เคิร์ลจะวัดแนวโน้มของสนามเวกเตอร์ที่จะไหลเวียนหรือหมุนรอบจุดหนึ่งๆ จินตนาการว่าวางกังหันขนาดเล็กในกระแสของไหล เคิร์ลจะบอกคุณว่ากังหันนั้นจะหมุนเร็วแค่ไหนและไปในทิศทางใด ในวิชาแม่เหล็กไฟฟ้า เคิร์ลปรากฏในกฎของฟาราเดย์ (สนามแม่เหล็กที่เปลี่ยนแปลงทำให้เกิดสนามไฟฟ้าไหลเวียน) และกฎของแอมแปร์ (กระแสไฟฟ้าทำให้เกิดสนามแม่เหล็กไหลเวียน) ในพลศาสตร์ของไหล เคิร์ลของความเร็วเรียกว่า Vorticity

อ้างอิงเนื้อหา หน้าหรือเครื่องมือนี้ว่า:

"เครื่องคำนวณเคิร์ล" ที่ https://MiniWebtool.com/th// จาก MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

โดยทีมงาน miniwebtool อัปเดตเมื่อ: 2026-04-08

คุณสามารถลองใช้ AI แก้ปัญหาคณิตศาสตร์ GPT ของเรา เพื่อแก้ไขปัญหาทางคณิตศาสตร์ของคุณผ่านคำถามและคำตอบด้วยภาษาธรรมชาติ.

ระบบพิกัด	สูตรเคิร์ล
คาร์ทีเซียน 2D	\(\text{curl}\,\mathbf{F} = \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\) (สเกลาร์)
คาร์ทีเซียน 3D	\(\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right\rangle\)
ทรงกระบอก	\(\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{1}{r}\frac{\partial F_z}{\partial \theta} - \frac{\partial F_\theta}{\partial z},\; \frac{\partial F_r}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial r},\; \frac{1}{r}\frac{\partial(rF_\theta)}{\partial r} - \frac{1}{r}\frac{\partial F_r}{\partial \theta} \right\rangle\)
ทรงกลม	ดูการขยายตัวเต็มรูปแบบโดยใช้ตัวคูณสเกล \(h_r=1, h_\theta=r, h_\phi=r\sin\theta\)

เอกลักษณ์	สูตร
เคิร์ลของเกรเดียนต์	\(\nabla \times (\nabla f) = \mathbf{0}\) (เป็นศูนย์เสมอ — เกรเดียนต์ไม่มีการหมุน)
ไดเวอร์เจนซ์ของเคิร์ล	\(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0\) (เป็นศูนย์เสมอ)
ความเป็นเชิงเส้น	\(\nabla \times (a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a(\nabla \times \mathbf{F}) + b(\nabla \times \mathbf{G})\)
กฎผลคูณ	\(\nabla \times (f\mathbf{F}) = f(\nabla \times \mathbf{F}) + (\nabla f) \times \mathbf{F}\)
ทฤษฎีบทของสโตคส์	\(\displaystyle\iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S} = \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\)

สาขา	การประยุกต์ใช้	สิ่งที่เคิร์ลแสดงแทน
แม่เหล็กไฟฟ้า	กฎของฟาราเดย์	\(\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\) — สนามแม่เหล็กที่เปลี่ยนแปลงทำให้เกิดสนามไฟฟ้าแบบไหลเวียน
แม่เหล็กไฟฟ้า	กฎของแอมแปร์	\(\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}\) — กระแสไฟฟ้าทำให้เกิดสนามแม่เหล็กแบบไหลเวียน
พลศาสตร์ของไหล	Vorticity (ความหมุนวน)	\(\boldsymbol{\omega} = \nabla \times \mathbf{v}\) — วัดว่าของไหลหมุนอย่างไรในระดับท้องถิ่น
กลศาสตร์	ความเร็วเชิงมุม	สำหรับการหมุนของวัตถุเกร็ง \(\mathbf{v} = \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}\) เคิร์ลจะให้ค่า \(2\boldsymbol{\omega}\)
สนามอนุรักษ์	ความเป็นอิสระจากเส้นทาง	ถ้า \(\nabla \times \mathbf{F} = 0\) ปริพันธ์ตามเส้นจะเป็นอิสระจากเส้นทางและมีฟังก์ชันศักย์อยู่จริง

เครื่องคำนวณเคิร์ล

เกี่ยวกับ เครื่องคำนวณเคิร์ล

เคิร์ล (Curl) คืออะไร?

ความหมายทางกายภาพของเคิร์ล

สูตรเคิร์ลในระบบพิกัดต่างๆ

เอกลักษณ์ที่สำคัญเกี่ยวกับเคิร์ล

การประยุกต์ใช้งานของเคิร์ล

วิธีใช้งาน เครื่องคำนวณเคิร์ล

ตัวอย่างวิธีทำ

Curl เทียบกับ Divergence

คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

เครื่องมือเด่น: