เครื่องคำนวณเส้นทแยงมุมรูปหลายเหลี่ยม

เส้นทแยงมุมของรูปหลายเหลี่ยมคืออะไร?

เส้นทแยงมุม ของรูปหลายเหลี่ยมคือส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมต่อจุดยอดสองจุดที่ไม่อยู่ติดกัน กล่าวอีกนัยหนึ่งคือเส้นที่ลากภายในรูปหลายเหลี่ยมจากมุมหนึ่งไปยังอีกมุมหนึ่งซึ่งไม่ใช่ด้านของรูปหลายเหลี่ยม รูปสามเหลี่ยม (3 ด้าน) ไม่มีเส้นทแยงมุม ในขณะที่รูปสี่เหลี่ยม (4 ด้าน) มีเส้นทแยงมุม 2 เส้น

วิธีคำนวณจำนวนเส้นทแยงมุม

จำนวนเส้นทแยงมุมในรูปหลายเหลี่ยมที่มี n ด้าน ให้ไว้โดยสูตร:

ทำไมสูตรนี้ถึงใช้ได้?

• จุดยอดแต่ละจุดสามารถเชื่อมต่อกับจุดยอดอื่นๆ อีก \(n - 3\) จุดผ่านเส้นทแยงมุม (ไม่รวมตัวมันเองและจุดยอดที่อยู่ติดกัน 2 จุด)
• มีจุดยอดทั้งหมด \(n\) จุด ทำให้มีการเชื่อมต่อทั้งหมด \(n(n-3)\) ครั้ง
• เส้นทแยงมุมแต่ละเส้นจะถูกนับซ้ำสองครั้ง (หนึ่งครั้งจากแต่ละปลายทาง) ดังนั้นเราจึงต้องหารด้วย 2

ผลรวมของมุมภายใน

ผลรวมของมุมภายในทั้งหมดของรูปหลายเหลี่ยม n ด้าน คือ:

สิ่งนี้มาจากข้อเท็จจริงที่ว่ารูปหลายเหลี่ยมใดๆ สามารถแบ่งออกเป็นรูปสามเหลี่ยมได้ \(n - 2\) รูป โดยการลากเส้นทแยงมุมจากจุดยอดหนึ่ง และรูปสามเหลี่ยมแต่ละรูปมีผลรวมของมุมภายในเท่ากับ 180°

มุมภายในแต่ละมุมของรูปหลายเหลี่ยมปกติ

หากด้านและมุมทุกด้านเท่ากัน (รูปหลายเหลี่ยมปกติ) มุมภายในแต่ละมุมคือ:

ตารางอ้างอิงเส้นทแยงมุมของรูปหลายเหลี่ยมที่พบบ่อย

วิธีใช้งานเครื่องคำนวณนี้

1. กรอกจำนวนด้าน (n) ของรูปหลายเหลี่ยมของคุณ ตั้งแต่ 3 ถึง 1,000
2. คลิก คำนวณเส้นทแยงมุม เพื่อดูผลลัพธ์
3. ดูแผนภาพรูปหลายเหลี่ยมแบบโต้ตอบที่แสดงจุดยอด ด้าน และเส้นทแยงมุมทั้งหมด
4. อ่านรายละเอียดการคำนวณทีละขั้นตอนพร้อมสูตร
5. สำรวจตารางคุณสมบัติสำหรับการวัดรูปหลายเหลี่ยมโดยละเอียด

การประยุกต์ใช้ในโลกแห่งความเป็นจริง

• สถาปัตยกรรม: การทำความเข้าใจการค้ำยันแนวทแยงในโครงสร้างรูปหลายเหลี่ยมเพื่อความแข็งแรงของโครงสร้าง
• คอมพิวเตอร์กราฟิก: การแบ่งรูปหลายเหลี่ยมเป็นรูปสามเหลี่ยม (polygon triangulation) อาศัยเส้นทแยงมุม
• การออกแบบเครือข่าย: การคำนวณจำนวนการเชื่อมต่อโดยตรงในเครือข่ายที่มีโทโพโลยีแบบรูปหลายเหลี่ยม
• การพัฒนาเกม: การตรวจจับการชนและการสร้างตาข่าย (mesh) ใช้การสลายรูปหลายเหลี่ยมตามแนวทแยง
• คณิตศาสตรศึกษา: การสอนเรื่องวิธีจัดหมู่และเหตุผลทางเรขาคณิต

คำถามที่พบบ่อย

สูตรคำนวณจำนวนเส้นทแยงมุมของรูปหลายเหลี่ยมคืออะไร?

สูตรคือ \(D = \frac{n(n-3)}{2}\) เมื่อ \(n\) คือจำนวนด้าน เนื่องจากจุดยอดแต่ละจุดเชื่อมต่อกับจุดยอดที่ไม่อยู่ติดกัน \(n-3\) จุด และการหารด้วย 2 จะช่วยไม่ให้นับซ้ำ

รูปหกเหลี่ยมมีเส้นทแยงมุมกี่เส้น?

รูปหกเหลี่ยม (6 ด้าน) มี \(\frac{6(6-3)}{2} = \frac{6 \times 3}{2} = 9\) เส้นทแยงมุม

รูปสามเหลี่ยมมีเส้นทแยงมุมหรือไม่?

ไม่มี รูปสามเหลี่ยมมีเส้นทแยงมุม 0 เส้น เนื่องจากจุดยอดทุกจุดอยู่ติดกับจุดยอดอื่นๆ ทั้งหมด จึงไม่มีคู่จุดยอดที่ไม่ติดกันให้เชื่อมต่อ

ผลรวมของมุมภายในของรูปหลายเหลี่ยมคืออะไร?

ผลรวมคือ \((n-2) \times 180°\) ตัวอย่างเช่น รูปห้าเหลี่ยม (5 ด้าน) มี \((5-2) \times 180° = 540°\)

รูปหลายเหลี่ยมใดมีเส้นทแยงมุมมากที่สุด?

ไม่มีค่าสูงสุด — จำนวนเส้นทแยงมุมจะเพิ่มขึ้นเป็นทวีคูณ รูป 100 เหลี่ยมมีเส้นทแยงมุม 4,850 เส้น ในขณะที่รูป 1,000 เหลี่ยมมีเส้นทแยงมุม 498,500 เส้น