จะตรวจสอบได้อย่างไรว่าฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันคู่ คี่ หรือไม่เป็นทั้งสองอย่าง?

การตรวจสอบความสมมาตรของฟังก์ชัน: (1) แทนที่ x ด้วย -x ในฟังก์ชันเพื่อหา f(-x) (2) ทำ f(-x) ให้อยู่ในรูปอย่างง่าย (3) เปรียบเทียบ: ถ้า f(-x) = f(x) ฟังก์ชันจะเป็นฟังก์ชันคู่ ถ้า f(-x) = -f(x) ฟังก์ชันจะเป็นฟังก์ชันคี่ หากไม่เป็นไปตามเงื่อนไขใดเลย ฟังก์ชันจะไม่เป็นทั้งคู่และคี่ ตัวอย่างเช่น f(x) = x² + x จะได้ f(-x) = x² - x ซึ่งไม่เท่ากับทั้ง f(x) และ -f(x) ดังนั้นจึงไม่เป็นทั้งสองอย่าง

ฟังก์ชันสามารถเป็นทั้งฟังก์ชันคู่และคี่ได้หรือไม่?

ได้ แต่มีเพียงฟังก์ชันศูนย์ f(x) = 0 เท่านั้นที่เป็นทั้งฟังก์ชันคู่และฟังก์ชันคี่ เนื่องจากฟังก์ชันคู่ต้องการ f(-x) = f(x) และฟังก์ชันคี่ต้องการ f(-x) = -f(x) เมื่อรวมเงื่อนไขทั้งสองเข้าด้วยกัน: f(x) = -f(x) ซึ่งหมายความว่า 2f(x) = 0 ดังนั้น f(x) = 0 สำหรับทุกค่า x

เครื่องตรวจสอบฟังก์ชันคู่คี่

Q: ฟังก์ชันคู่คืออะไร?

ฟังก์ชันคู่คือฟังก์ชันที่เป็นไปตามเงื่อนไข f(-x) = f(x) สำหรับทุกค่า x ในโดเมน ในทางกราฟิก ฟังก์ชันคู่จะมีความสมมาตรรอบแกน y หมายความว่าครึ่งซ้ายของกราฟจะเป็นภาพสะท้อนของครึ่งขวา ตัวอย่างทั่วไป ได้แก่ f(x) = x², f(x) = cos(x), f(x) = |x| และ f(x) = x⁴

Q: ฟังก์ชันคี่คืออะไร?

ฟังก์ชันคี่คือฟังก์ชันที่เป็นไปตามเงื่อนไข f(-x) = -f(x) สำหรับทุกค่า x ในโดเมน ในทางกราฟิก ฟังก์ชันคี่จะมีความสมมาตรแบบหมุน 180° รอบจุดกำเนิด หมายความว่าหากคุณหมุนกราฟไป 180° รอบจุดกำเนิด กราฟจะยังคงมีลักษณะเดิม ตัวอย่างทั่วไป ได้แก่ f(x) = x³, f(x) = sin(x), f(x) = tan(x) และ f(x) = x

Q: การแยกส่วนประกอบคู่-คี่ คืออะไร?

ฟังก์ชันใดๆ สามารถเขียนให้อยู่ในรูปผลบวกของส่วนที่เป็นฟังก์ชันคู่และส่วนที่เป็นฟังก์ชันคี่ได้: f(x) = fₑ(x) + fₒ(x) โดยที่ fₑ(x) = [f(x) + f(-x)]/2 คือส่วนประกอบคู่ และ fₒ(x) = [f(x) - f(-x)]/2 คือส่วนประกอบคี่ ตัวอย่างเช่น eˣ = cosh(x) + sinh(x) โดยที่ cosh เป็นฟังก์ชันคู่ และ sinh เป็นฟังก์ชันคี่

Q: เครื่องมือนี้รองรับฟังก์ชันประเภทใดบ้าง?

เครื่องมือนี้รองรับพหุนาม (x^2, x^3+x), ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (sin, cos, tan, sec, csc, cot), ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม (e^x, ln(x), log(x)), ค่าสัมบูรณ์ (|x| หรือ abs(x)), ฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิก (sinh, cosh, tanh), รากที่สอง (sqrt(x)) และการผสมผสานของฟังก์ชันเหล่านี้โดยใช้ตัวดำเนินการทางคณิตศาสตร์มาตรฐาน (+, -, *, /, ^)

ตรวจสอบว่าฟังก์ชันเป็นคู่ คี่ หรือไม่ใช่ทั้งสอง พร้อมการพิสูจน์เชิงพีชคณิตทีละขั้นตอน กราฟความสมมาตร ตารางตรวจสอบเชิงตัวเลข และการแยกส่วนคู่-คี่ รองรับฟังก์ชันพหุนาม ตรีโกณมิติ เอกซ์โพเนนเชียล ลอการิทึม และค่าสัมบูรณ์

ใช้งานฟรีไม่ต้องสมัครสมาชิกอัปเดต ก.พ. 2026

เครื่องตรวจสอบฟังก์ชันคู่คี่ลองใช้เลย — ฟรี ▼

Embed เครื่องตรวจสอบฟังก์ชันคู่คี่ Widget

เกี่ยวกับ เครื่องตรวจสอบฟังก์ชันคู่คี่

ยินดีต้อนรับสู่ เครื่องตรวจสอบฟังก์ชันคู่คี่ เครื่องมือที่ครอบคลุมสำหรับกำหนดทางพีชคณิตว่าฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ $f(x)$ เป็นฟังก์ชันคู่ คี่ หรือไม่เป็นทั้งสองอย่าง เครื่องมือนี้จะแสดงบทพิสูจน์แบบทีละขั้นตอน, กราฟความสมมาตร, การยืนยันเชิงตัวเลข และการแยกส่วนประกอบคู่-คี่ เพื่อช่วยให้คุณเข้าใจความสมมาตรของฟังก์ชันได้อย่างลึกซึ้ง

ฟังก์ชันคู่และฟังก์ชันคี่คืออะไร?

ฟังก์ชันคู่และฟังก์ชันคี่คือการจัดหมวดหมู่ตามความสมมาตรที่ฟังก์ชันแสดงออกมา การเข้าใจเรื่องความสมมาตรถือเป็นพื้นฐานสำคัญในวิชาแคลคูลัส, การวิเคราะห์ฟูเรียร์, การประมวลผลสัญญาณ และฟิสิกส์

ฟังก์ชันคู่

ฟังก์ชัน $f(x)$ จะเป็น ฟังก์ชันคู่ ถ้า $f(-x) = f(x)$ สำหรับทุกค่า $x$ ในโดเมน ในทางกราฟิก ฟังก์ชันคู่จะ สมมาตรรอบแกน y หมายความว่ากราฟจะมีลักษณะเดิมเมื่อสะท้อนผ่านแกนแนวตั้ง ตัวอย่าง: $f(x) = x^2$ เพราะว่า $(-x)^2 = x^2$

ฟังก์ชันคี่

ฟังก์ชัน $f(x)$ จะเป็น ฟังก์ชันคี่ ถ้า $f(-x) = -f(x)$ สำหรับทุกค่า $x$ ในโดเมน ในทางกราฟิก ฟังก์ชันคี่จะมี ความสมมาตรแบบหมุน 180° รอบจุดกำเนิด หมายความว่ากราฟจะมีลักษณะเดิมเมื่อหมุนไปครึ่งรอบรอบจุดกำเนิด ตัวอย่าง: $f(x) = x^3$ เพราะว่า $(-x)^3 = -x^3$

วิธีตรวจสอบความสมมาตรของฟังก์ชัน

การทดสอบทางพีชคณิตนั้นทำได้ง่ายๆ ดังนี้:

คำนวณ $f(-x)$: แทนที่ทุกๆ $x$ ด้วย $-x$ ในนิพจน์ของฟังก์ชัน
ทำให้อยู่ในรูปอย่างง่าย: ใช้กฎทางพีชคณิต, เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ หรือคุณสมบัติของฟังก์ชันพิเศษเพื่อทำให้นิพจน์สั้นลง
เปรียบเทียบ:
- ถ้า $f(-x) = f(x)$ ฟังก์ชันจะเป็น ฟังก์ชันคู่
- ถ้า $f(-x) = -f(x)$ ฟังก์ชันจะเป็น ฟังก์ชันคี่
- หากไม่เป็นไปตามเงื่อนไขทั้งสองอย่าง ฟังก์ชันจะ ไม่เป็นทั้งฟังก์ชันคู่และฟังก์ชันคี่

ฟังก์ชันคู่และคี่ที่พบบ่อย

ฟังก์ชัน	ประเภท	เหตุผล
$x^2, x^4, x^{2n}$	คู่	$(-x)^{2n} = x^{2n}$
$x^3, x^5, x^{2n+1}$	คี่	$(-x)^{2n+1} = -x^{2n+1}$
$\cos(x),\; \sec(x)$	คู่	$\cos(-x) = \cos(x)$
$\sin(x),\; \tan(x),\; \csc(x),\; \cot(x)$	คี่	$\sin(-x) = -\sin(x)$
$\|x\|,\; x^2 + 1$	คู่	$\|-x\| = \|x\|$
$e^x,\; \ln(x),\; x^2 + x$	ไม่ใช่ทั้งสอง	$e^{-x} \neq e^x$ และ $e^{-x} \neq -e^x$

คุณสมบัติของฟังก์ชันคู่และฟังก์ชันคี่

คุณสมบัติของฟังก์ชันคู่

ผลบวกของฟังก์ชันคู่สองฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันคู่
ผลคูณของฟังก์ชันคู่สองฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันคู่
ผลคูณของฟังก์ชันคู่และฟังก์ชันคี่เป็นฟังก์ชันคี่
ปริพัทธ์ (Integral) ของฟังก์ชันคู่ในช่วง $[-a, a]$ เท่ากับ $2\int_0^a f(x)\,dx$
พหุนามดีกรีคู่ที่ไม่มีเทอมดีกรีคี่จะเป็นฟังก์ชันคู่

คุณสมบัติของฟังก์ชันคี่

ผลบวกของฟังก์ชันคี่สองฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันคี่
ผลคูณของฟังก์ชันคี่สองฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันคู่
ถ้าฟังก์ชันคี่ถูกกำหนดค่าที่ $x = 0$ แล้ว $f(0) = 0$
ปริพัทธ์ของฟังก์ชันคี่ในช่วง $[-a, a]$ เท่ากับศูนย์
อนุพันธ์ของฟังก์ชันคู่เป็นฟังก์ชันคี่ และอนุพันธ์ของฟังก์ชันคี่เป็นฟังก์ชันคู่

ทฤษฎีบทการแยกส่วนประกอบคู่-คี่

ความจริงที่น่าทึ่งคือ: ฟังก์ชันใดๆ สามารถแยกออกเป็นผลบวกของฟังก์ชันคู่หนึ่งฟังก์ชันและฟังก์ชันคี่หนึ่งฟังก์ชันได้เพียงชุดเดียว:

สูตรการแยกส่วนประกอบ

$$f(x) = \underbrace{\frac{f(x) + f(-x)}{2}}_{\text{ส่วนคู่}} + \underbrace{\frac{f(x) - f(-x)}{2}}_{\text{ส่วนคี่}}$$ ตัวอย่างเช่น $e^x = \cosh(x) + \sinh(x)$ โดยที่ $\cosh$ เป็นฟังก์ชันคู่ และ $\sinh$ เป็นฟังก์ชันคี่

การแยกส่วนประกอบนี้ถูกนำไปใช้อย่างกว้างขวางในการวิเคราะห์ฟูเรียร์และการประมวลผลสัญญาณ ซึ่งสัญญาณจะถูกแบ่งออกเป็นส่วนประกอบที่สมมาตรและส่วนประกอบที่ไม่สมมาตร

วิธีใช้เครื่องมือนี้

ใส่ฟังก์ชัน: พิมพ์ฟังก์ชัน $f(x)$ ของคุณในช่องป้อนข้อมูล ใช้ ^ สำหรับยกกำลัง และชื่อฟังก์ชันมาตรฐาน (sin, cos, tan, exp, ln, sqrt, abs) พร้อมวงเล็บสำหรับการจัดกลุ่ม
คลิก ตรวจสอบความสมมาตร: เครื่องมือจะคำนวณ $f(-x)$ เชิงสัญลักษณ์ ทำให้อยู่ในรูปอย่างง่าย และเปรียบเทียบกับ $f(x)$ และ $-f(x)$
ดูผลลัพธ์: ดูผลสรุปที่ระบุด้วยสี (คู่, คี่ หรือไม่ใช่ทั้งสอง) พร้อมกราฟความสมมาตรที่แสดง $f(x)$ และ $f(-x)$ ซ้อนทับกัน
ศึกษาบทพิสูจน์: ขยายส่วนวิธีแก้ปัญหาแบบทีละขั้นตอนเพื่อดูขั้นตอนทางพีชคณิต
ตรวจสอบความถูกต้อง: ดูตารางเชิงตัวเลขที่ประเมินค่าฟังก์ชันทั้งสองที่จุดต่างๆ เพื่อยืนยันผลลัพธ์

คำแนะนำไวยากรณ์การป้อนข้อมูล

ยกกำลัง: x^2, x^3, x^(1/2)
ตรีโกณมิติ: sin(x), cos(x), tan(x), sec(x), csc(x), cot(x)
เอกซ์โพเนนเชียล/ลอการิทึม: exp(x) หรือ e^x, ln(x), log(x)
ค่าสัมบูรณ์: abs(x) หรือ |x|
ไฮเพอร์โบลิก: sinh(x), cosh(x), tanh(x)
รากที่สอง: sqrt(x)
การคูณ: x*sin(x) หรือ 2*x^2
ค่าคงที่: pi, e

คำถามที่พบบ่อย

ฟังก์ชันคู่คืออะไร?

ฟังก์ชันคู่คือฟังก์ชันที่เป็นไปตาม $f(-x) = f(x)$ สำหรับทุกค่า $x$ ในโดเมน ในทางกราฟิก กราฟจะสมมาตรรอบแกน y ตัวอย่างทั่วไป ได้แก่ $f(x) = x^2$, $f(x) = \cos(x)$, $f(x) = |x|$ และ $f(x) = x^4$

ฟังก์ชันคี่คืออะไร?

ฟังก์ชันคี่คือฟังก์ชันที่เป็นไปตาม $f(-x) = -f(x)$ สำหรับทุกค่า $x$ ในโดเมน ในทางกราฟิก กราฟจะมีความสมมาตรแบบหมุน 180° รอบจุดกำเนิด ตัวอย่างทั่วไป ได้แก่ $f(x) = x^3$, $f(x) = \sin(x)$, $f(x) = \tan(x)$ และ $f(x) = x$

จะตรวจสอบได้อย่างไรว่าฟังก์ชันเป็นคู่ คี่ หรือไม่เป็นทั้งสองอย่าง?

แทนที่ $x$ ด้วย $-x$ เพื่อหา $f(-x)$ จากนั้นทำให้อยู่ในรูปอย่างง่ายและเปรียบเทียบ: ถ้า $f(-x) = f(x)$ แสดงว่าเป็นฟังก์ชันคู่ ถ้า $f(-x) = -f(x)$ แสดงว่าเป็นฟังก์ชันคี่ หากไม่เป็นไปตามเงื่อนไขใดเลย แสดงว่าไม่ใช่ทั้งสองอย่าง ตัวอย่างเช่น $f(x) = x^2 + x$ จะได้ $f(-x) = x^2 - x$ ซึ่งไม่เท่ากับทั้ง $f(x)$ และ $-f(x)$

ฟังก์ชันสามารถเป็นทั้งคู่และคี่ได้หรือไม่?

ได้ แต่มีเพียง $f(x) = 0$ เท่านั้นที่เป็นทั้งฟังก์ชันคู่และคี่ เงื่อนไขของฟังก์ชันคู่คือ $f(-x) = f(x)$ และฟังก์ชันคี่คือ $f(-x) = -f(x)$ เมื่อรวมกันจะหมายความว่า $f(x) = -f(x)$ ดังนั้น $2f(x) = 0$ และ $f(x) = 0$

การแยกส่วนประกอบคู่-คี่ คืออะไร?

ฟังก์ชันใดๆ สามารถเขียนในรูปผลบวกของส่วนคู่และส่วนคี่ได้: $f(x) = f_e(x) + f_o(x)$ โดยที่ $f_e(x) = [f(x) + f(-x)]/2$ และ $f_o(x) = [f(x) - f(-x)]/2$ ตัวอย่างเช่น $e^x = \cosh(x) + \sinh(x)$

เครื่องมือนี้รองรับฟังก์ชันประเภทใดบ้าง?

เครื่องมือนี้รองรับพหุนาม, ฟังก์ชันตรีโกณมิติ, ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม, ค่าสัมบูรณ์, ฟังก์ชันไฮเพอร์โบลิก, รากที่สอง และการผสมผสานตามต้องการโดยใช้ตัวดำเนินการทางคณิตศาสตร์มาตรฐาน

อ้างอิง

อ้างอิงเนื้อหา หน้าหรือเครื่องมือนี้ว่า:

"เครื่องตรวจสอบฟังก์ชันคู่คี่" ที่ https://MiniWebtool.com/th/เครื่องตรวจสอบฟังก์ชันคู่คี่/ จาก MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

โดยทีม miniwebtool อัปเดตเมื่อ: 22 ก.พ. 2026

มี Developer API ให้ใช้งาน: เรียกใช้เครื่องมือนี้จากแอป ระบบอัตโนมัติ หรือเอเจนต์ของคุณด้วยคำขอ JSON HTTP หนึ่งครั้ง ดูเอกสาร API

คุณสามารถลองใช้ AI แก้ปัญหาคณิตศาสตร์ GPT ของเรา เพื่อแก้ไขปัญหาทางคณิตศาสตร์ของคุณผ่านคำถามและคำตอบด้วยภาษาธรรมชาติ.

ฟังก์ชัน	ประเภท	เหตุผล
\(x^2, x^4, x^{2n}\)	คู่	\((-x)^{2n} = x^{2n}\)
\(x^3, x^5, x^{2n+1}\)	คี่	\((-x)^{2n+1} = -x^{2n+1}\)
\(\cos(x),\; \sec(x)\)	คู่	\(\cos(-x) = \cos(x)\)
\(\sin(x),\; \tan(x),\; \csc(x),\; \cot(x)\)	คี่	\(\sin(-x) = -\sin(x)\)
\(\|x\|,\; x^2 + 1\)	คู่	\(\|-x\| = \|x\|\)
\(e^x,\; \ln(x),\; x^2 + x\)	ไม่ใช่ทั้งสอง	\(e^{-x} \neq e^x\) และ \(e^{-x} \neq -e^x\)