เครื่องมือกราฟระบบอสมการ

เกี่ยวกับ เครื่องมือกราฟระบบอสมการ

ยินดีต้อนรับสู่ เครื่องมือกราฟระบบอสมการ ของเรา เครื่องมือออนไลน์อันทรงพลังที่ออกแบบมาเพื่อช่วยให้นักเรียน ครู และผู้ที่ชื่นชอบคณิตศาสตร์เห็นภาพของระบบอสมการเชิงเส้น เครื่องคิดเลขของเราจะพลอตกราฟอสมการแต่ละอันบนระนาบพิกัด ระบุพื้นที่ที่เป็นไปได้ (Feasible Region) ที่อสมการทั้งหมดเป็นจริง และแสดงวิธีทำพร้อมภาพประกอบทีละขั้นตอน

คุณสมบัติหลัก

• หลายอสมการ: พลอตกราฟอสมการเชิงเส้น 2 สมการขึ้นไปพร้อมกัน
• การแสดงภาพพื้นที่ที่เป็นไปได้: ดูพื้นที่ทับซ้อนที่อสมการทั้งหมดเป็นจริง
• ระนาบพิกัดแบบโต้ตอบ: ปรับแต่งขอบเขตแกน x และ y ได้
• การระบุจุดยอด: ค้นหาและระบุจุดมุมของพื้นที่ที่เป็นไปได้โดยอัตโนมัติ
• รูปแบบเส้นขอบ: เส้นทึบสำหรับ ≤/≥, เส้นประสำหรับ </>
• วิธีทำทีละขั้นตอน: คำอธิบายโดยละเอียดของกระบวนการสร้างกราฟ
• เกร็ดความรู้: เรียนรู้เกี่ยวกับกำหนดการเชิงเส้นและการหาค่าเหมาะสมที่สุด (Optimization)
• การแสดงผลที่สวยงาม: กราฟิก SVG คุณภาพระดับมืออาชีพ

ระบบอสมการคืออะไร?

ระบบอสมการ ประกอบด้วยอสมการตั้งแต่สองอสมการขึ้นไปที่ต้องเป็นจริงพร้อมกัน คำตอบของระบบอสมการคือชุดของจุด (x, y) ทั้งหมดที่ทำให้อสมการทุกข้อในระบบเป็นจริง ชุดคำตอบนี้มักเรียกว่า พื้นที่ที่เป็นไปได้ (Feasible Region)

วิธีใช้เครื่องมือกราฟระบบอสมการ

1. ป้อนอสมการ: พิมพ์อสมการแต่ละข้อในบรรทัดใหม่ในกล่องข้อความ ใช้ตัวแปร x และ y
2. กำหนดขอบเขตสมการ: ระบุค่าต่ำสุดและสูงสุดสำหรับทั้งแกน x และ y เพื่อควบคุมหน้าต่างการแสดงผล
3. คลิกกราฟระบบ: เครื่องมือจะประมวลผลอสมการของคุณและแสดงผลลัพธ์
4. ดูพื้นที่ที่เป็นไปได้: ดูพื้นที่แรเงาซึ่งแสดงคำตอบทั้งหมดของระบบ
5. ตรวจสอบจุดยอด: ตรวจสอบจุดมุมที่เส้นขอบตัดกัน

คำแนะนำการป้อนข้อมูล

เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่ดีที่สุด โปรดปฏิบัติตามแนวทางนี้:

• ตัวแปร: ใช้ x และ y เป็นตัวแปรของคุณ
• หนึ่งอสมการต่อบรรทัด: กด Enter หลังจากแต่ละอสมการ
• สัญลักษณ์อสมการ: ใช้ <, >, <=, หรือ >=
• นิพจน์เชิงเส้น: แต่ละอสมการต้องเป็นเชิงเส้นใน x และ y (ดีกรี 1)
• การคูณ: ใช้ * หรือเขียนตัวแปรติดกัน (เช่น 2*x หรือ 2x)
• ตัวอย่าง:
  • y >= 2*x + 1
  • y < -x + 3
  • x >= 0
  • y >= 0

ความเข้าใจเกี่ยวกับกราฟ

เส้นขอบ

แต่ละอสมการจะสร้างเส้นขอบบนกราฟ:

• เส้นทึบ: ใช้สำหรับ ≤ หรือ ≥ (รวมจุดบนเส้นด้วย)
• เส้นประ: ใช้สำหรับ < หรือ > (ไม่รวมจุดบนเส้น)
• สีที่แตกต่างกัน: แต่ละอสมการจะแสดงด้วยสีที่แตกต่างกันเพื่อความชัดเจน

พื้นที่ที่เป็นไปได้ (Feasible Region)

พื้นที่ที่เป็นไปได้จะแสดงเป็น:

• พื้นที่แรเงา: การไล่ระดับสีฟ้า-เขียวระบุเซตคำตอบ
• รูปหลายเหลี่ยมที่มีขอบเขต: เมื่ออสมการทั้งหมดสร้างพื้นที่ปิด
• พื้นที่ที่ไม่มีขอบเขต: เมื่อพื้นที่ที่เป็นไปได้ขยายออกไปอย่างไม่สิ้นสุดในบางทิศทาง
• ไม่มีพื้นที่ที่เป็นไปได้: เมื่ออสมการขัดแย้งกัน (ไม่มีคำตอบร่วม)

จุดยอด (Vertices)

• จุดสีแดง: จุดมุมของพื้นที่ที่เป็นไปได้
• พิกัดที่ระบุไว้: จุดยอดแต่ละจุดจะแสดงพิกัด (x, y)
• สำคัญสำหรับการหาค่าเหมาะสมที่สุด: ในกำหนดการเชิงเส้น คำตอบที่เหมาะสมที่สุดมักเกิดขึ้นที่จุดยอด

การประยุกต์ใช้ระบบอสมการ

ระบบอสมการเป็นพื้นฐานในหลายสาขา:

• กำหนดการเชิงเส้น (Linear Programming): ปัญหาการหาค่าเหมาะสมที่สุดในธุรกิจและเศรษฐศาสตร์
• การจัดสรรทรัพยากร: การกำหนดวิธีการกระจายทรัพยากรที่มีจำกัด
• การวางแผนการผลิต: การหาระดับการผลิตที่เหมาะสมภายใต้ข้อจำกัด
• ปัญหาโภชนาการ: การวางแผนโภชนาการตามความต้องการขั้นต่ำและสูงสุด
• การขนส่ง: การลดต้นทุนการขนส่งให้ต่ำที่สุดโดยมีข้อจำกัดด้านความจุ
• การลงทุน: การจัดพอร์ตการลงทุนให้เหมาะสมที่สุดภายใต้ข้อจำกัดด้านความเสี่ยงและผลตอบแทน
• การออกแบบทางวิศวกรรม: การปฏิบัติตามข้อกำหนดภายใต้ข้อจำกัดทางกายภาพ

รูปแบบทั่วไปและตัวอย่าง

ข้อจำกัดในจตุภาคที่หนึ่ง

ปัญหาในโลกแห่งความเป็นจริงจำนวนมากต้องการตัวแปรที่ไม่ติดลบ:

x >= 0
y >= 0

ข้อจำกัดเหล่านี้จะจำกัดพื้นที่ที่เป็นไปได้ให้อยู่ในจตุภาคที่หนึ่ง

ข้อจำกัดด้านงบประมาณ

เมื่อค่าใช้จ่ายรวมต้องไม่เกินงบประมาณ:

2*x + 3*y <= 100

โดยที่ x และ y แทนปริมาณ และ 2 และ 3 คือต้นทุนต่อหน่วย

ข้อจำกัดด้านความจุ

ขีดจำกัดการผลิตหรือทรัพยากร:

x + y <= 50
x <= 30
y <= 40

เคล็ดลับในการสร้างกราฟระบบอสมการ

• เริ่มด้วยอสมการอย่างน้อย 2 ข้อเพื่อให้เห็นพื้นที่ที่มีความหมาย
• รวม x ≥ 0 และ y ≥ 0 สำหรับปัญหาในจตุภาคที่หนึ่ง
• ปรับขอบเขตของกราฟเพื่อดูพื้นที่ที่เป็นไปได้ทั้งหมด
• หากพื้นที่ที่เป็นไปได้เล็กหรือใหญ่มาก ให้ปรับช่วงของแกน
• ตรวจสอบว่าอสมการทั้งหมดเป็นเชิงเส้น (ไม่มีพจน์ x² หรือ xy)
• ตรวจสอบจุดยอดโดยการแทนค่าจุดในอสมการเดิม
• จำไว้ว่าพื้นที่ที่เป็นไปได้อาจไม่มีขอบเขตหรือว่างเปล่าได้

ความเกี่ยวข้องกับกำหนดการเชิงเส้น

ระบบอสมการเป็นรากฐานของ กำหนดการเชิงเส้น (Linear Programming) ซึ่งเป็นวิธีการหาผลลัพธ์ที่ดีที่สุด (กำไรสูงสุด, ต้นทุนต่ำสุด ฯลฯ) ภายใต้ข้อจำกัด พื้นที่ที่เป็นไปได้แสดงถึงคำตอบที่เป็นไปได้ทั้งหมด และคำตอบที่เหมาะสมที่สุดมักจะเกิดขึ้นที่จุดยอดใดจุดยอดหนึ่ง

ปัญหากำหนดการเชิงเส้นมาตรฐาน

หาค่าสูงสุดหรือต่ำสุดของ: $z = ax + by$ (ฟังก์ชันจุดประสงค์)

ภายใต้เงื่อนไข: ระบบอสมการเชิงเส้น (ข้อจำกัด)

และ: $x \\geq 0, y \\geq 0$ (เงื่อนไขไม่เป็นลบ)

การแก้ไขปัญหาเบื้องต้น

ไม่พบพื้นที่ที่เป็นไปได้

หากระบบของคุณไม่มีคำตอบ:

• ตรวจสอบอสมการที่ขัดแย้งกัน (เช่น x > 5 และ x < 3)
• ตรวจสอบว่าข้อจำกัดของคุณสมเหตุสมผลหรือไม่
• ตรวจสอบความถูกต้องของแต่ละอสมการ

มองไม่เห็นพื้นที่

หากคุณมองไม่เห็นพื้นที่ที่เป็นไปได้:

• ปรับขอบเขตแกน x และ y ให้กว้างขึ้น
• ตรวจสอบว่าพื้นที่มีขนาดเล็กมากหรืออยู่นอกขอบเขตปัจจุบันหรือไม่
• ตรวจสอบว่าป้อนอสมการถูกต้องแล้ว

แหล่งข้อมูลเพิ่มเติม

เรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับระบบอสมการและกำหนดการเชิงเส้น:

• ระบบอสมการเชิงเส้น - Wikipedia
• การสร้างกราฟระบบอสมการ - Khan Academy
• กำหนดการเชิงเส้น - Wolfram MathWorld
• ระบบอสมการ - Paul's Online Math Notes

เครื่องมืออื่นๆ ที่เกี่ยวข้อง:

เครื่องคำนวณพีชคณิต:

• เครื่องแก้สมการค่าสัมบูรณ์ ใหม่
• เครื่องแก้อสมการค่าสัมบูรณ์ ใหม่
• เครื่องทำให้นิพจน์พีชคณิตง่ายขึ้น ใหม่
• ตัวแก้สมการที่มีเครื่องหมายราก ใหม่
• เครื่องทำให้รากที่สองง่ายขึ้น ใหม่
• เครื่องแก้อสมการ ใหม่
• เครื่องแก้สมการเชิงเส้น ใหม่
• เครื่องคำนวณการแยกตัวประกอบพหุนาม ใหม่
• เครื่องคำนวณการหารยาวพหุนาม ใหม่
• เครื่องคำนวณการหารสังเคราะห์ ใหม่
• เครื่องมือกราฟระบบอสมการ ใหม่
• เครื่องแก้ระบบสมการเชิงเส้น ใหม่
• เครื่องคำนวณนิพจน์ตรรกยะ ใหม่
• เครื่องคำนวณการขยายพหุนาม ใหม่
• เครื่องคำนวณฟังก์ชันผสม ใหม่
• เครื่องมือวาดกราฟฟังก์ชัน ใหม่
• เครื่องคำนวณโดเมนและเรนจ์ ใหม่
• เครื่องคำนวณฟังก์ชันผกผัน ใหม่
• เครื่องคำนวณจุดยอดและแกนสมมาตร ใหม่
• เครื่องคำนวณจุดตัดแกน X และ Y ใหม่