เครื่องคำนวณปริภูมิว่าง

เกี่ยวกับ เครื่องคำนวณปริภูมิว่าง

เครื่องคำนวณปริภูมิว่าง ใช้สำหรับหาปริภูมิว่าง (null space) หรือเคอร์เนล (kernel) ของเมทริกซ์ใดๆ โดยการแก้ระบบสมการเอกพันธ์ Ax = 0 คุณสามารถป้อนเมทริกซ์ขนาดใดก็ได้สูงสุดถึง 8×8 และรับฐานของปริภูมิว่างที่สมบูรณ์พร้อมการคำนวณเศษส่วนที่แม่นยำ การกำจัดแบบเกาส์เซียนทีละขั้นตอนสู่ RREF การจัดประเภทคอลัมน์ (พิวอตเทียบกับอิสระ) และการตรวจสอบทฤษฎีบทลำดับชั้นและดัชนีความว่าง

ปริภูมิว่างของเมทริกซ์คืออะไร?

ปริภูมิว่าง (หรือเรียกอีกอย่างว่า เคอร์เนล) ของเมทริกซ์ \(A\) ขนาด \(m \times n\) คือเซตของเวกเตอร์ \(\mathbf{x}\) ทั้งหมดใน \(\mathbb{R}^n\) ที่สอดคล้องกับสมการ:

$$A\mathbf{x} = \mathbf{0}$$

เขียนในรูปเซตได้เป็น: \(\text{Null}(A) = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n : A\mathbf{x} = \mathbf{0} \}\) ปริภูมิว่างเป็น ปริภูมิย่อย ของ \(\mathbb{R}^n\) เสมอ ซึ่งหมายความว่ามันประกอบด้วยเวกเตอร์ศูนย์ และมีสมบัติปิดภายใต้การบวกและการคูณด้วยสเกลาร์

วิธีหาปริภูมิว่าง

ขั้นตอนที่ 1. กำหนดจำนวนแถว (m) และคอลัมน์ (n) สำหรับเมทริกซ์ของคุณโดยใช้ปุ่มควบคุม +/− หรือคลิกตัวอย่างด่วนเพื่อโหลดเมทริกซ์ที่ตั้งค่าไว้ล่วงหน้า

ขั้นตอนที่ 2. ป้อนค่าเมทริกซ์ของคุณลงในตาราง คุณสามารถพิมพ์จำนวนเต็ม ทศนิยม หรือเศษส่วน เช่น 1/3 หรือ -5/2 ใช้ปุ่ม Tab, Enter หรือปุ่มลูกศรเพื่อเลื่อนระหว่างเซลล์

ขั้นตอนที่ 3. คลิก หาปริภูมิว่าง เครื่องคำนวณจะทำการกำจัดแบบเกาส์เซียนเพื่อเปลี่ยนเมทริกซ์ของคุณให้อยู่ในรูปแบบขั้นบันไดลดรูปตามแถว (RREF)

ขั้นตอนที่ 4. ระบุคอลัมน์พิวอตและคอลัมน์อิสระ คอลัมน์อิสระแต่ละคอลัมน์จะสอดคล้องกับตัวแปรอิสระที่สามารถมีค่าใดก็ได้

ขั้นตอนที่ 5. สำหรับตัวแปรอิสระแต่ละตัว ให้กำหนดค่าเป็น 1 และกำหนดตัวแปรอิสระอื่นๆ ทั้งหมดเป็น 0 จากนั้นแก้หาตัวแปรพิวอต เวกเตอร์ที่ได้จะรวมกันเป็นฐานสำหรับปริภูมิว่าง

ปริภูมิว่างเทียบกับปริภูมิคอลัมน์

ทฤษฎีบทลำดับชั้นและดัชนีความว่าง

สำหรับเมทริกซ์ \(A\) ขนาด \(m \times n\) ใดๆ:

$$\text{rank}(A) + \text{nullity}(A) = n$$

rank คือจำนวนคอลัมน์พิวอตใน RREF และ nullity คือจำนวนคอลัมน์อิสระ เมื่อรวมกันแล้วจะเท่ากับจำนวนคอลัมน์ทั้งหมด ทฤษฎีบทนี้ยังเป็นที่รู้จักในชื่อ ทฤษฎีบทมิติสำหรับการส่งเชิงเส้น

กรณีพิเศษ

การประยุกต์ใช้ปริภูมิว่าง

คำถามที่พบบ่อย

ปริภูมิว่างของเมทริกซ์คืออะไร?

ปริภูมิว่าง (หรือเคอร์เนล) ของเมทริกซ์ A คือเซตของเวกเตอร์ x ทั้งหมดที่ทำให้ Ax = 0 เป็นปริภูมิย่อยของ R^n โดยที่ n คือจำนวนคอลัมน์ ปริภูมิว่างจะมีเวกเตอร์ศูนย์อยู่เสมอ และอาจมีเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์จำนวนนับไม่ถ้วนหากเมทริกซ์มีตัวแปรอิสระ

จะหาปริภูมิว่างได้อย่างไร?

ลดรูปเมทริกซ์ A ให้เป็นรูปแบบขั้นบันไดลดรูปตามแถว (RREF) โดยใช้การกำจัดแบบเกาส์เซียน ระบุคอลัมน์พิวอตและคอลัมน์อิสระ สำหรับตัวแปรอิสระแต่ละตัว ให้ตั้งค่าเป็น 1 และตั้งค่าตัวแปรอิสระอื่นๆ เป็น 0 จากนั้นแก้หาตัวแปรพิวอต เวกเตอร์ที่ได้คือฐานของปริภูมิว่าง

ทฤษฎีบทลำดับชั้นและดัชนีความว่างคืออะไร?

ทฤษฎีบทลำดับชั้นและดัชนีความว่างระบุว่า สำหรับเมทริกซ์ A ขนาด m x n ค่า rank(A) + nullity(A) = n โดยที่ n คือจำนวนคอลัมน์ rank คือจำนวนคอลัมน์พิวอต และ nullity คือมิติของปริภูมิว่าง

การที่ปริภูมิว่างเป็นแบบชัดแจ้ง (trivial) หมายถึงอะไร?

ปริภูมิว่างแบบชัดแจ้งหมายความว่าคำตอบเดียวของ Ax = 0 คือเวกเตอร์ศูนย์ x = 0 สิ่งนี้จะเกิดขึ้นเมื่อทุกคอลัมน์เป็นคอลัมน์พิวอต ซึ่งแสดงว่าคอลัมน์ของ A เป็นอิสระเชิงเส้นต่อกัน

เมทริกซ์ที่ไม่ใช่จัตุรัสมีปริภูมิว่างได้หรือไม่?

ได้ เมทริกซ์ทุกลักษณะมีปริภูมิว่าง สำหรับเมทริกซ์ขนาด m x n ที่ m < n ปริภูมิว่างจะไม่เป็นแบบชัดแจ้งเสมอ เพราะมีจำนวนตัวแปรมากกว่าจำนวนสมการ ทำให้มีตัวแปรอิสระแน่นอน