逆関数電卓

逆関数電卓

当サイトの逆関数電卓へようこそ。この無料オンラインツールは、関数の逆関数を詳細なステップごとの手順で求めるのに役立ちます。逆関数について学んでいる学生の方、微積分の準備をしている方、あるいは例題を作成している先生方など、この電卓は代数的なプロセスをわかりやすく解説します。

逆関数とは？

逆関数（$f^{-1}(x)$ と表記）は、元の関数 $f(x)$ の操作を逆にします。もし $f(a) = b$ ならば、$f^{-1}(b) = a$ となります。言い換えれば、逆関数は元の関数が行ったことを「元に戻す」働きをします。

逆関数の主な性質は以下の通りです：

• 合成関数の性質： $f(f^{-1}(x)) = x$ および $f^{-1}(f(x)) = x$
• グラフの関係： $f^{-1}(x)$ のグラフは、$f(x)$ を直線 $y = x$ に対して対称移動させたものです
• 定義域と値域の交換： $f$ の定義域は $f^{-1}$ の値域になり、その逆もまた然りです

逆関数の求め方

以下のステップに従って、代数的に逆関数を求めます：

ステップ 1: f(x) を y に置き換える

まず、関数を $y = f(x)$ の形で書きます。これにより、代数的な操作がしやすくなります。

ステップ 2: x と y を入れ替える

式の中の変数 x と y を入れ替えます。これにより、入力と出力の関係が逆転します。

ステップ 3: y について解く

代数的な手法を使って、式の片側に y を分離します。これが最も難しいステップになることがよくあります。

ステップ 4: 関数記法で書く

y を $f^{-1}(x)$ に置き換えて、逆関数を適切な記法で表します。

ステップ 5: 検証（任意）

$f(f^{-1}(x)) = x$ であることを確認して、答えを検証します。

一般的な逆関数

どのような時に関数は逆関数を持つか？

すべての関数が逆関数を持つわけではありません。関数は、それが1対1（単射とも呼ばれます）である場合にのみ逆関数を持ちます。これは、各出力値が正確に1つの入力値に対応することを意味します。

水平線判定法

グラフ上の任意の水平線がグラフと2回以上交差しない場合、その関数は水平線判定法（水平線テスト）に合格したことになります。このテストに合格した場合、その関数は逆関数を持ちます。

• 一次関数（傾きがゼロでない場合）は常に1対1です
• 二次関数はすべての実数において1対1ではありません（水平線テストに合格しません）
• 狭義単調関数（常に増加または常に減少する関数）は1対1です

定義域の制限

関数が1対1でない場合、定義域を制限して1対1にすることができます。例えば：

• $f(x) = x^2$ は1対1ではありませんが、$x \geq 0$ の範囲での $f(x) = x^2$ は1対1であり、逆関数 $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$ を持ちます
• $f(x) = \sin(x)$ は1対1ではありませんが、$-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ の範囲での $f(x) = \sin(x)$ は1対1であり、逆関数 $f^{-1}(x) = \arcsin(x)$ を持ちます

例題

例 1: 一次関数

$f(x) = 3x - 5$ の逆関数を求める

解法:

1. $y = 3x - 5$ と書く
2. 入れ替え: $x = 3y - 5$
3. y について解く: $x + 5 = 3y$ なので、$y = \frac{x + 5}{3}$
4. したがって、$f^{-1}(x) = \frac{x + 5}{3}$

例 2: 有理関数

$f(x) = \frac{x - 1}{x + 2}$ の逆関数を求める

解法:

1. $y = \frac{x - 1}{x + 2}$ と書く
2. 入れ替え: $x = \frac{y - 1}{y + 2}$
3. 解く: $x(y + 2) = y - 1$ なので、$xy + 2x = y - 1$
4. 整理: $xy - y = -1 - 2x$ なので、$y(x - 1) = -2x - 1$
5. したがって、$f^{-1}(x) = \frac{-2x - 1}{x - 1} = \frac{2x + 1}{1 - x}$

この電卓の使用ヒント

• 変数は x を使用して関数を入力してください
• 掛け算には * を使用してください（例：2x ではなく 2*x）
• 指数には ^ または ** を使用してください（例：x^2 または x**2）
• 平方根には sqrt(x) を使用してください
• 自然対数には log(x) を使用してください
• 指数関数には exp(x) または e^x を使用してください

よくある質問

f^(-1)(x) の -1 は何を意味しますか？

$f^{-1}(x)$ の -1 は指数ではありません。これは逆関数を示す記法です。f(x) の逆数である $\frac{1}{f(x)}$ と混同しないでください。

どんな関数でも逆関数を求められますか？

すべての関数が逆関数を持つわけではありません。1対1の関数のみが逆関数を持ちます。関数が水平線判定法に合格しない場合、その定義域全体では逆関数を持ちませんが、定義域を制限することで可逆関数を作成できる場合があります。

逆関数が正しいか確認するにはどうすればよいですか？

検証するには、$f(f^{-1}(x)) = x$ および $f^{-1}(f(x)) = x$ の両方を確認します。両方の合成関数が x に等しければ、その逆関数は正しいです。

追加リソース

逆関数についてさらに学ぶ：

• 逆関数 - Wikipedia
• 逆関数 - Khan Academy
• 逆関数 - Wolfram MathWorld

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