Kalkulator Integral

Tentang Kalkulator Integral

Selamat datang di Kalkulator Integral, alat daring yang hebat untuk menghitung integral tentu dan tak tentu dengan solusi langkah demi langkah yang mendetail. Baik Anda seorang mahasiswa kalkulus yang sedang mempelajari teknik integrasi, seorang insinyur yang memecahkan masalah kompleks, atau siapa pun yang perlu mengevaluasi integral dengan cepat, kalkulator ini memberikan hasil simbolik yang akurat dengan visualisasi interaktif untuk membantu Anda memahami proses integrasi.

Apa itu Integrasi?

Integrasi adalah salah satu dari dua operasi fundamental kalkulus (yang lainnya adalah diferensiasi). Integrasi mewakili proses kebalikan dari diferensiasi dan digunakan untuk menemukan fungsi yang turunannya diketahui (antiturunan) serta untuk menghitung luas, volume, dan kuantitas akumulasi.

Di mana $F(x)$ adalah antiturunan dari $f(x)$, yang berarti $F'(x) = f(x)$, dan $C$ adalah konstanta integrasi yang mewakili keluarga dari semua antiturunan.

Integral Tentu

Integral tentu menghitung luas bertanda antara fungsi dan sumbu x pada interval tertentu:

Rumus ini, yang dikenal sebagai Teorema Dasar Kalkulus, menghubungkan konsep antiturunan dan luas, memungkinkan kita untuk mengevaluasi integral tentu menggunakan antiturunan.

Aturan Integrasi Umum

Berikut adalah rumus-rumus integrasi dasar yang perlu Anda ketahui:

Cara Menggunakan Kalkulator Ini

1. Pilih jenis integral: Pilih apakah Anda ingin menghitung integral tak tentu (mengembalikan antiturunan + C) atau integral tentu (mengembalikan nilai numerik).
2. Masukkan fungsi Anda: Ketik fungsi menggunakan notasi matematika standar. Operasi yang didukung meliputi polinomial (x^2), fungsi trigonometri (sin, cos, tan), eksponensial (exp, e^x), logaritmik (ln, log), dan akar kuadrat (sqrt).
3. Tentukan variabelnya: Biasanya x, tetapi Anda dapat menggunakan huruf tunggal apa pun.
4. Untuk integral tentu: Masukkan batas bawah dan atas. Anda dapat menggunakan angka atau ekspresi seperti pi, e, atau sqrt(2).
5. Hitung: Lihat hasil dengan solusi langkah demi langkah dan grafik interaktif.

Sintaks Fungsi yang Didukung

• Pangkat: x^2, x^3, x^(-1)
• Trigonometri: sin(x), cos(x), tan(x), sec(x), csc(x), cot(x)
• Invers trigonometri: asin(x), acos(x), atan(x)
• Eksponensial: exp(x), e^x, 2^x
• Logaritmik: ln(x), log(x)
• Hiperbolik: sinh(x), cosh(x), tanh(x)
• Lainnya: sqrt(x), abs(x)
• Konstanta: pi, e

Teorema Dasar Kalkulus

Teorema Dasar Kalkulus adalah salah satu teorema terpenting dalam matematika, yang menetapkan hubungan antara diferensiasi dan integrasi.

Bagian 1: Turunan dari sebuah Integral

Jika $f$ kontinu pada $[a, b]$ dan $F(x) = \int_a^x f(t) \, dt$, maka $F'(x) = f(x)$. Ini berarti turunan dari sebuah integral mengembalikan fungsi aslinya.

Bagian 2: Evaluasi Integral Tentu

Jika $f$ kontinu pada $[a, b]$ dan $F$ adalah antiturunan apa pun dari $f$, maka:

Teorema ini memungkinkan kita untuk mengevaluasi integral tentu dengan mencari antiturunan dan menghitung selisih pada batas-batasnya, alih-alih menghitung limit dari jumlah Riemann.

Teknik Integrasi

Substitusi (substitusi-u)

Untuk integral dalam bentuk $\int f(g(x)) \cdot g'(x) \, dx$, misalkan $u = g(x)$, maka $du = g'(x) \, dx$. Ini mengubah integral menjadi $\int f(u) \, du$, yang mungkin lebih mudah untuk dievaluasi.

Integrasi Parsial

Berdasarkan aturan perkalian untuk turunan: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Ini berguna untuk hasil kali fungsi seperti $x \cdot e^x$ atau $x \cdot \sin(x)$.

Pecahan Parsial

Untuk fungsi rasional (rasio polinomial), uraikan pecahan menjadi suku-suku yang lebih sederhana yang dapat diintegralkan secara individual.

Substitusi Trigonometri

Untuk integran yang mengandung $\sqrt{a^2 - x^2}$, $\sqrt{a^2 + x^2}$, atau $\sqrt{x^2 - a^2}$, gunakan substitusi trigonometri yang sesuai.

Aplikasi Integrasi

Luas Di Bawah Kurva

Aplikasi yang paling mendasar: integral tentu $\int_a^b f(x) \, dx$ memberikan luas bertanda antara kurva $y = f(x)$ dan sumbu x dari $x = a$ ke $x = b$.

Luas Antara Kurva

Luas antara kurva $y = f(x)$ dan $y = g(x)$ dari $a$ ke $b$ adalah: $\int_a^b |f(x) - g(x)| \, dx$

Volume Benda Putar

Memutar kurva di sekitar sumbu menciptakan benda padat yang volumenya dapat dihitung menggunakan metode cakram: $V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 \, dx$

Aplikasi Fisika

• Perpindahan: Mengintegralkan kecepatan memberikan perpindahan
• Usaha: $W = \int F(x) \, dx$ (usaha yang dilakukan oleh gaya variabel)
• Pusat massa: Ditemukan menggunakan rumus integral
• Probabilitas: Luas di bawah kurva padat probabilitas

Pertanyaan yang Sering Diajukan

Apa itu integral dalam kalkulus?

Integral adalah konsep fundamental dalam kalkulus yang mewakili akumulasi kuantitas, seperti luas di bawah kurva atau total perubahan. Integral tak tentu (antiturunan) menemukan fungsi yang turunannya sama dengan fungsi aslinya. Integral tentu menghitung luas bertanda antara fungsi dan sumbu x pada interval tertentu. Integral adalah operasi kebalikan dari turunan.

Apa perbedaan antara integral tentu dan tak tentu?

Integral tak tentu menemukan antiturunan umum dari suatu fungsi dan menyertakan konstanta integrasi C. Ini ditulis sebagai integral dari f(x) dx = F(x) + C. Integral tentu mengevaluasi antiturunan pada batas atas dan bawah tertentu, memberikan nilai numerik yang mewakili luas bertanda. Integral tentu dari a ke b dari f(x) dx sama dengan F(b) dikurangi F(a).

Apa itu Teorema Dasar Kalkulus?

Teorema Dasar Kalkulus menghubungkan diferensiasi dan integrasi. Bagian 1 menyatakan bahwa jika F(x) adalah antiturunan dari f(x), maka turunan dari integral dari a ke x dari f(t)dt sama dengan f(x). Bagian 2 menyatakan bahwa integral tentu dari a ke b dari f(x)dx sama dengan F(b) dikurangi F(a), di mana F adalah antiturunan apa pun dari f. Teorema ini memungkinkan kita mengevaluasi integral tentu menggunakan antiturunan.

Apa saja teknik integrasi yang umum?

Teknik integrasi umum meliputi: Aturan Pangkat untuk suku polinomial, Substitusi (substitusi-u) untuk fungsi komposit, Integrasi Parsial untuk perkalian fungsi, Pecahan Parsial untuk fungsi rasional, Substitusi Trigonometri untuk ekspresi dengan akar kuadrat kuadratik, dan Identitas Trigonometri untuk menyederhanakan integran trigonometri. Pilihan teknik bergantung pada bentuk integran.

Apa yang diwakili oleh luas di bawah kurva?

Integral tentu mewakili luas bertanda antara fungsi dan sumbu x. Area di atas sumbu x dihitung sebagai positif, sedangkan area di bawah dihitung sebagai negatif. Konsep ini memiliki banyak aplikasi: dalam fisika, luas di bawah grafik kecepatan-waktu memberikan perpindahan; dalam ekonomi, luas di bawah kurva biaya marginal memberikan total biaya; dalam probabilitas, luas di bawah fungsi padat probabilitas memberikan probabilitas.

Sumber Daya Terkait

• Integral - Wikipedia
• Kalkulus Integral - Khan Academy
• Integral - Wolfram MathWorld

Alat terkait lainnya:

Kalkulus:

• Kalkulator Konvolusi
• Kalkulator Turunan Unggulan
• Kalkulator Turunan Arah
• Kalkulator Integral Ganda
• Kalkulator Turunan Implisit
• Kalkulator Integral
• Kalkulator Transformasi Laplace Invers
• Kalkulator Transformasi Laplace
• Kalkulator Limit
• Kalkulator Turunan Parsial
• Kalkulator Turunan Satu Variabel
• Kalkulator Deret Taylor
• Kalkulator Integral Tiga Kali