Calculateur d’Espace Nul

Calculateur d’Espace Nul

Le Calculateur d'Espace Nul trouve l'espace nul (noyau) de n'importe quelle matrice en résolvant le système homogène Ax = 0. Saisissez une matrice de n'importe quelle dimension jusqu'à 8×8 et obtenez la base complète de l'espace nul avec une arithmétique fractionnaire exacte, l'élimination de Gauss étape par étape vers la RREF, la classification des colonnes (pivot vs libre) et la vérification du théorème du rang.

Qu'est-ce que l'espace nul d'une matrice ?

L'espace nul (également appelé noyau) d'une matrice \(A\) de dimension \(m \times n\) est l'ensemble de tous les vecteurs \(\mathbf{x}\) de \(\mathbb{R}^n\) qui satisfont à :

$$A\mathbf{x} = \mathbf{0}$$

Écrit sous forme d'ensemble : \(\text{Null}(A) = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n : A\mathbf{x} = \mathbf{0} \}\). L'espace nul est toujours un sous-espace de \(\mathbb{R}^n\), ce qui signifie qu'il contient le vecteur nul et qu'il est fermé sous l'addition et la multiplication scalaire.

Comment trouver l'espace nul

Étape 1. Définissez le nombre de lignes (m) et de colonnes (n) de votre matrice à l'aide des commandes +/−, ou cliquez sur un exemple rapide pour charger une matrice prédéfinie.

Étape 2. Saisissez les valeurs de votre matrice dans la grille. Vous pouvez taper des entiers, des décimaux ou des fractions comme 1/3 ou -5/2. Utilisez Tab, Entrée ou les flèches pour naviguer entre les cellules.

Étape 3. Cliquez sur Trouver l'Espace Nul. Le calculateur effectue l'élimination de Gauss pour convertir votre matrice en sa forme échelonnée réduite (RREF).

Étape 4. Identifiez les colonnes pivots et les colonnes libres. Chaque colonne libre correspond à une variable libre qui peut prendre n'importe quelle valeur.

Étape 5. Pour chaque variable libre, fixez-la à 1 et toutes les autres variables libres à 0, puis résolvez pour les variables pivots. Les vecteurs résultants forment une base de l'espace nul.

Espace nul vs Espace des colonnes

Le théorème du rang

Pour toute matrice \(A\) de dimension \(m \times n\) :

$$\text{rank}(A) + \text{nullity}(A) = n$$

Le rang est le nombre de colonnes pivots dans la RREF, et la nullité est le nombre de colonnes libres. Ensemble, ils représentent chaque colonne. Ce théorème est également connu sous le nom de théorème de la dimension pour les applications linéaires.

Cas particuliers

Applications de l'espace nul

Foire aux questions

Qu'est-ce que l'espace nul d'une matrice ?

L'espace nul (ou noyau) d'une matrice A est l'ensemble de tous les vecteurs x tels que Ax = 0. C'est un sous-espace de R^n où n est le nombre de colonnes. L'espace nul contient toujours le vecteur nul et peut également contenir une infinité de vecteurs non nuls si la matrice possède des variables libres.

Comment trouver l'espace nul ?

Réduisez la matrice A à sa forme échelonnée réduite (RREF) par élimination de Gauss. Identifiez les colonnes pivots et les colonnes libres. Pour chaque variable libre, fixez-la à 1 et toutes les autres variables libres à 0, puis résolvez pour les variables pivots. Les vecteurs résultants forment une base de l'espace nul.

Qu'est-ce que le théorème du rang ?

Le théorème du rang stipule que pour une matrice A de dimension m par n, rang(A) + nullité(A) = n, où n est le nombre de colonnes. Le rang est le nombre de colonnes pivots et la nullité est la dimension de l'espace nul (nombre de variables libres).

Que signifie un espace nul trivial ?

Un espace nul trivial signifie que la seule solution à Ax = 0 est le vecteur nul x = 0. Cela se produit lorsque chaque colonne est une colonne pivot (rang de colonne complet). Cela signifie que les colonnes de A sont linéairement indépendantes.

Les matrices non carrées peuvent-elles avoir un espace nul ?

Oui. Toute matrice a un espace nul. Pour une matrice m par n avec m inférieur à n, l'espace nul est garanti d'être non trivial (dimension au moins n - m) car il y a plus d'inconnues que d'équations, donc des variables libres existent toujours.