Calculadora de Derivadas de una Variable

Bienvenido a la Calculadora de derivadas de una variable, una herramienta avanzada que calcula derivadas de cualquier función de una sola variable con soluciones detalladas paso a paso, identificación de reglas de derivación, gráficos interactivos y análisis de puntos críticos. Ya seas un estudiante de cálculo aprendiendo a derivar, un profesor preparando ejemplos o un ingeniero resolviendo problemas de tasa de cambio, esta calculadora ofrece resultados precisos con explicaciones claras.

¿Qué es una derivada?

La derivada de una función mide la tasa de cambio instantánea de la salida de la función con respecto a su entrada. Geométricamente, la derivada en un punto es igual a la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto.

Referencia de reglas de derivación

Esta calculadora identifica qué reglas se aplican en cada paso. Aquí tienes una referencia rápida:

Cómo usar esta calculadora

1. Ingresa tu función: Escribe la función usando notación matemática estándar. Usa ^ para exponentes, * para multiplicación y nombres de funciones estándar como sin(x), cos(x), e^x, ln(x), sqrt(x).
2. Establece la variable: Normalmente x, pero puedes usar cualquier letra.
3. Elige el orden: 1 para la primera derivada, 2 para la segunda derivada, hasta el 10.
4. Evalúa en un punto (opcional): Ingresa un número o expresión como pi para evaluar la derivada en ese valor específico.
5. Haz clic en "Calcular derivada": Mira el resultado, la solución paso a paso, el gráfico interactivo y los puntos críticos.

Sintaxis de entrada soportada

Entendiendo las derivadas de orden superior

La segunda derivada \(f''(x)\) mide cómo cambia la propia primera derivada; te informa sobre la concavidad de la función original. La tercera derivada mide la tasa de cambio de la concavidad (a veces llamada "sobreaceleración" o "jerk" en física). Esta calculadora admite derivadas hasta el 10º orden, calculando cada una paso a paso.

Aplicaciones de las derivadas de orden superior

• 2ª derivada: Análisis de concavidad, puntos de inflexión, aceleración en física.
• 3ª derivada: Jerk (tasa de cambio de la aceleración), refinamiento del trazado de curvas.
• Derivadas 4ª+: Aproximaciones de series de Taylor, análisis de vibraciones, procesamiento de señales.

¿Qué son los puntos críticos?

Un punto crítico de una función es un valor de \(x\) donde la derivada es igual a cero o no está definida. En estos puntos, la función puede tener un máximo local, un mínimo local o un punto de inflexión. Esta calculadora resuelve automáticamente \(f'(x) = 0\) y muestra los puntos críticos para tu análisis.

Aplicaciones de las derivadas

• Física: Velocidad y aceleración a partir de funciones de posición.
• Economía: Costo marginal, ingreso marginal y optimización de beneficios.
• Ingeniería: Análisis de la tasa de cambio en sistemas de control.
• Biología: Modelado de la tasa de crecimiento poblacional.
• Optimización: Encontrar los valores máximos y mínimos de las funciones.

Preguntas frecuentes

¿Cómo ingreso una función en la calculadora de derivadas?

Escribe la función usando notación matemática estándar. Usa ^ o ** para exponentes (x^3), * para multiplicación (2*x) y nombres de funciones estándar como sin(x), cos(x), tan(x), e^x, ln(x), sqrt(x). La calculadora maneja automáticamente la multiplicación implícita como 2x.

¿Qué reglas de derivación muestra esta calculadora?

La calculadora identifica y etiqueta cada regla de derivación utilizada: Regla de la potencia, Regla del producto, Regla del cociente, Regla de la cadena, Regla de la suma/diferencia, Regla del múltiplo constante, Regla exponencial, Regla trigonométrica y Regla logarítmica. Cada paso muestra qué reglas se aplicaron.

¿Puede esta calculadora calcular derivadas de orden superior?

Sí, la calculadora admite derivadas desde el 1er orden hasta el 10º orden. Simplemente establece el campo Orden de la Derivada en el orden deseado. La solución paso a paso muestra cada diferenciación sucesiva.

¿Qué son los puntos críticos y por qué los muestra la calculadora?

Los puntos críticos son valores de x donde la derivada es igual a cero \(f'(x) = 0\). Estos puntos a menudo corresponden a máximos locales, mínimos locales o puntos de inflexión de la función original. La calculadora encuentra y muestra estos puntos para ayudarte a comprender el comportamiento de la función.

¿Qué funciones son compatibles con esta calculadora de derivadas?

La calculadora admite polinomios, funciones trigonométricas (sin, cos, tan, cot, sec, csc), funciones trigonométricas inversas (arcsin, arccos, arctan), funciones exponenciales (e^x, a^x), funciones logarítmicas (ln, log), raíces cuadradas (sqrt), valores absolutos y composiciones de estas funciones.

Recursos adicionales

• Derivada - Wikipedia
• Derivadas - Khan Academy