快樂數計算機

Q: 是誰發現了快樂數？

快樂數最早由 Reg Allenby 在 1966 年開始研究。這個概念透過趣味數學逐漸流行。'快樂數' 一詞據傳是由一位名叫 Olive 的小女孩命名的，她將這個想法引起了老師以及後來劍橋大學數學家的關注。

通過重複將一個數替換為其各位數字的平方和，來判斷該數是否為快樂數。可視化快樂旅程、探索模式，並找出任何範圍內的所有快樂數。

快樂數計算機

歡迎使用快樂數計算機，這是一個探索趣味數學中最迷人概念之一的互動工具。輸入任何正整數，並透過逐步展開的數位平方歷程，探索它是否為快樂數。透過動畫視覺化、軌跡圖和詳細的分解，您可以輕鬆理解數字是如何達到快樂狀態，或是墜入無盡的循環中。

什麼是快樂數？

快樂數是一個正整數，當你重複地將該數字替換為其各位數字的平方和時，最終會達到 1。如果一個數字永遠無法達到 1，而是進入一個無限循環，則被稱為不快樂數（或憂傷數）。

計算過程

快樂數迭代公式

$$f(n) = \sum_{i} d_i^2$$

其中 $d_i$ 是 $n$ 的各個位元數字。例如：

19: 1² + 9² = 1 + 81 = 82 → 8² + 2² = 64 + 4 = 68 → 6² + 8² = 36 + 64 = 100 → 1² + 0² + 0² = 1 ✔ 快樂！
2: 2² = 4 → 4² = 16 → 1² + 6² = 37 → ... → 進入循環 ✘ 不快樂

不快樂循環

每一個不快樂數最終都會進入同一個 8 個數字的循環：

萬用憂傷循環

$$4 \rightarrow 16 \rightarrow 37 \rightarrow 58 \rightarrow 89 \rightarrow 145 \rightarrow 42 \rightarrow 20 \rightarrow 4$$

這個顯著的事實意味著您只需要檢查序列是否達到 4，即可判斷該數字是否不快樂。在 10 進制中，數位平方過程沒有其他的循環結構。

如何使用此計算機

輸入數字：在輸入框中輸入任何正整數。您可以點擊快速範例來查看經典的快樂數與不快樂數。
選擇模式：使用「檢查單個數字」進行深入分析，或使用「尋找範圍內的所有快樂數」來找出從 1 到 N 的所有快樂數。
分析結果：點擊「檢查數字」查看完整的數位平方序列、互動式軌跡圖和逐步分解過程。
探索規律：嘗試不同的數字，發現快樂數與其數位模式之間的關係。

100 以內的快樂數

在 1 到 100 之間，剛好有 20 個快樂數：

快樂數 (1–100)

1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100

快樂數的有趣特性

數位排列不變性

如果一個數字是快樂數，那麼其數位的任何重新排列也同樣是快樂數。例如，既然 19 是快樂數，則 91 也是快樂數。同樣地，13 和 31 也都是快樂數。

零插入不變性

插入或刪除零不會改變一個數字是否為快樂數。因為 19 是快樂數，所以 109, 190, 1009, 1090 也都是快樂數。

快樂質數

快樂質數是指既是快樂數又是質數的數字。前幾個快樂質數是：7, 13, 19, 23, 31, 79, 97, 103, 109, 139。快樂質數在數論中引起了廣泛興趣，甚至在流行文化中被提及。

快樂數的密度

快樂數在所有正整數中的密度約為 14.3%。這意味著大約每 7 個正整數中就有 1 個是快樂數。有趣的是，這個密度在不同的範圍內保持得相當一致。

不同進制下的快樂數

快樂數的概念可以擴展到其他進制。在 $b$ 進制下，如果一個數字的 $b$ 進制數位平方迭代和達到 1，則該數字為快樂數。不同進制之間的屬性和循環結構有很大差異：

2 進制：只有 2 的冪次方是快樂數 (1, 2, 4, 8, 16, ...)
4 進制：1 是唯一的快樂數
10 進制：常見的集合，密度約為 14.3%

運算方面

對於任何 $d$ 位數的數字，其數位平方和最大為 $81d$（當所有位數均為 9 時）。這意味著：

1 位數映射後最大為 81
3 位數（最高 999）映射後最大為 243
任何超過 999 的數字都會立即映射到較小的數字

這保證了序列最終總會進入循環或達到 1，使得演算法總是會終止。

常見問題解答

什麼是快樂數？

快樂數是一個正整數，當你重複地將該數字替換為其各位數字的平方和時，最終會達到 1。例如，19 是快樂數，因為：1² + 9² = 82，接著 8² + 2² = 68，接著 6² + 8² = 100，最後 1² + 0² + 0² = 1。永遠無法達到 1 的數字被稱為不快樂數（或憂傷數）。

不快樂數會發生什麼事？

不快樂數（或憂傷數）永遠不會達到 1。相反地，它們最終會進入一個無限循環：4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4。每一個非快樂數的數字最終都會進入這組固定的 8 個數字循環中。

100 以內的快樂數有哪些？

100 以內的快樂數有：1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97。在 100 個數字中有 20 個快樂數，剛好佔 20%。

快樂數有規律嗎？

快樂數具有有趣的特性：快樂數數位元的任何排列也都是快樂數（例如：19 和 91 都是快樂數）。此外，插入或刪除零不會改變其快樂性（例如：19, 109, 190 都是快樂數）。在所有正整數中，快樂數的密度約為 14.3%。

是誰發現了快樂數？

快樂數最早由 Reg Allenby 在 1966 年開始研究。這個概念透過趣味數學逐漸流行。「快樂數」一詞據傳是由一位將此想法帶給劍橋大學數學家的小學生命名的。

快樂數在數學中如何應用？

快樂數出現在數論、趣味數學中，並常用作程式設計練習。它們與不動點、迭代函數循環以及基於數位的序列等概念相關。快樂質數（既是快樂數又是質數的數字）在數學研究中特別受到關注。

額外資源

引用此內容、頁面或工具為：

"快樂數計算機" 於 https://MiniWebtool.com/zh-tw//，來自 MiniWebtool，https://MiniWebtool.com/

由 miniwebtool 團隊開發。更新日期：2026年2月18日

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