三角函數繪圖器

三角函數繪圖器

歡迎使用三角函數繪圖器，這是一個功能強大的互動式視覺化工具，用於探索正弦、餘弦、正切及其他三角函數。無論您是正在學習函數變換的學生、製作教學材料的老師，還是分析週期性現象的工程師，此工具都能提供直觀的即時繪圖以及全面的數學解釋。

什麼是三角函數？

三角函數是基本的數學函數，將直角三角形的角與邊長比聯繫起來。它們是波動分析、訊號處理、物理學和工程學的基礎。六個主要的三角函數為：

一般形式：y = A·f(B(x - C)) + D

所有的三角函數都可以使用四個關鍵參數進行變換，這些參數控制其形狀和位置：

了解各個參數

• A (振幅)：控制垂直伸縮。|A| 是中線到波峰的距離。當 A 為負數時，函數會對 x 軸進行鏡像反射。
• B (頻率)：影響水平伸縮。正弦/餘弦的週期變為 2π/|B|，正切/餘切則變為 π/|B|。B 值越高，代表在相同區間內的週期越多。
• C (相位位移)：水平平移。正的 C 將圖形向右移，負的 C 將其向左移。相位位移 = C 個單位。
• D (垂直位移)：垂直平移。將整個圖形向上移動（正 D）或向下移動（負 D）。中線變為 y = D。

如何使用此繪圖器

1. 選擇函數類型：使用視覺選擇器從正弦、餘弦、正切、餘切、正割或餘割中選擇。
2. 設置變換參數：輸入振幅 (A)、頻率 (B)、相位位移 (C) 和垂直位移 (D) 的值。
3. 調整檢視窗口：設置 X 軸的最小值和最大值。常見選擇包括 -2π 到 2π 或 0 到 4π。
4. 點擊「繪製函數」：生成互動式視覺化圖形。
5. 使用滑桿探索：使用即時互動控制項來修改參數，並觀察圖形的瞬時更新。

關鍵公式

週期公式

標準函數的關鍵點

對於 y = sin(x)，在一個週期 [0, 2π] 內的關鍵點：

• (0, 0) - 從中線開始
• (π/2, 1) - 最大值
• (π, 0) - 回到中線
• (3π/2, -1) - 最小值
• (2π, 0) - 完成週期

常見問題

三角函數的一般形式是什麼？

一般形式為 y = A·f(B(x - C)) + D，其中 A 是振幅（垂直伸縮），B 影響週期（對於正弦/餘弦，週期 = 2π/|B|），C 是相位位移（水平平移），而 D 是垂直位移。此形式讓您能描述基本三角函數的任何變換。

如何找到三角函數的週期？

對於正弦和餘弦函數，週期為 2π/|B|，其中 B 是頻率係數。對於正切和餘切，週期為 π/|B|。例如，y = sin(2x) 的週期為 π，因為 2π/2 = π，這意味著它在 π 單位內完成一個完整週期，而非 2π。

振幅和垂直位移有什麼區別？

振幅 (A) 決定了函數從中線垂直伸縮的程度——它控制波峰的高度和波谷的深度。垂直位移 (D) 則是將整個函數上下移動而不改變其形狀。對於 y = 2sin(x) + 3，振幅為 2（在中線上下 2 個單位震盪），垂直位移為 3（中線位於 y=3）。

為什麼正切函數有垂直漸近線？

正切定義為 sin(x)/cos(x)。當 cos(x) = 0 時（在 x = π/2 + nπ，n 為任何整數），除以零會產生垂直漸近線，函數在此趨向正無窮大或負無窮大。這就是為什麼正切圖形有重複的垂直漸近線，且函數在這些點上未定義。

相位位移如何影響三角函數圖形？

相位位移 (C) 水平移動圖形。正的 C 將圖形向右移動，而負的 C 將其向左移動。對於 y = sin(x - π/2)，圖形向右移動 π/2 個單位，使得 sin(x - π/2) = -cos(x)。相位位移在物理學中對於描述在週期中不同點開始的波動至關重要。

三角函數的應用

• 物理學：模擬振盪、波動、單擺和交流電
• 工程學：訊號處理、電子電路、機械振動
• 音樂：聲波、諧波、頻率分析
• 導航：GPS 計算、三角測量、測量學
• 電腦圖形學：旋轉、動畫、波浪模擬
• 建築學：結構分析、負載計算

額外資源

• 三角函數 - 維基百科
• 三角函數 - Wolfram MathWorld (英文)
• 三角學課程 - Khan Academy (可汗學院)

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