เครื่องคำนวณไดเวอร์เจนซ์

คำนวณค่าไดเวอร์เจนซ์ ∇·F ของสนามเวกเตอร์ 2 มิติ หรือ 3 มิติ พร้อมการคำนวณอนุพันธ์ย่อยทีละขั้นตอน ใส่ฟังก์ชันองค์ประกอบ P, Q (และ R สำหรับ 3 มิติ) เพื่อหาค่าไดเวอร์เจนซ์เชิงสัญลักษณ์ หาค่า ณ จุดที่กำหนด ระบุแหล่งกำเนิด (Source) และแหล่งรับ (Sink) พร้อมดูแผนภาพสนามเวกเตอร์แบบโต้ตอบและแผนภูมิความร้อนของไดเวอร์เจนซ์

Embed เครื่องคำนวณไดเวอร์เจนซ์ Widget

เกี่ยวกับ เครื่องคำนวณไดเวอร์เจนซ์

เครื่องคำนวณไดเวอร์เจนซ์จะคำนวณค่า ∇·F ของสนามเวกเตอร์แบบ 2D หรือ 3D พร้อมการแสดงวิธีคำนวณอนุพันธ์ย่อยทีละขั้นตอนอย่างละเอียด เพียงกรอกส่วนประกอบของสนามเวกเตอร์ P, Q (และ R สำหรับ 3D) เลือกจุดที่ต้องการหาค่า (ถ้ามี) เพื่อรับผลลัพธ์เป็นสูตรสัญลักษณ์ การจำแนกประเภทแหล่งกำเนิด/แหล่งรับ และสำหรับการแสดงผลแบบ 2D จะมีการแสดงภาพเชิงโต้ตอบพร้อมแผนที่ความร้อนของไดเวอร์เจนซ์และการไหลของอนุภาคแบบเคลื่อนไหว

ไดเวอร์เจนซ์คืออะไร?

ไดเวอร์เจนซ์ (Divergence) ของสนามเวกเตอร์ $\mathbf{F}$ คือตัวดำเนินการที่ให้ค่าเป็นสเกลาร์ ซึ่งใช้วัดอัตราที่สนาม "แผ่ออก" จากจุดหนึ่ง สำหรับสนามเวกเตอร์ 3D $\mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle$:

$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$$

สำหรับสนามแบบ 2D $\mathbf{F} = \langle P, Q \rangle$ ไดเวอร์เจนซ์คือ $\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}$ ไดเวอร์เจนซ์เป็นแนวคิดพื้นฐานในวิชาแคลคูลัสเวกเตอร์ พลศาสตร์ของไหล แม่เหล็กไฟฟ้า และสมการเชิงอนุพันธ์

ความหมายทางกายภาพของไดเวอร์เจนซ์

🔴

แหล่งกำเนิด (∇·F > 0)

ของไหลไหลออกด้านนอก — มีการไหลออกมากกว่าไหลเข้า เหมือนน้ำที่พุ่งออกมาจากน้ำพุ

🔵

แหล่งรับ (∇·F < 0)

ของไหลไหลเข้าด้านใน — มีการไหลเข้ามากกว่าไหลออก เหมือนน้ำที่ไหลลงรูระบาย

🟢

ศูนย์ (∇·F = 0)

การไหลที่อัดตัวไม่ได้ — สิ่งที่ไหลเข้าเท่ากับสิ่งที่ไหลออก สนามนี้เรียกว่า Solenoidal

🔄

ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์

ไดเวอร์เจนซ์รวมภายในปริมาตรเท่ากับฟลักซ์สุทธิที่ผ่านพื้นผิวขอบเขต

สูตรไดเวอร์เจนซ์ในระบบพิกัดต่างๆ

ระบบพิกัด	สูตรไดเวอร์เจนซ์
Cartesian 2D	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}$
Cartesian 3D	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$
ทรงกระบอก (Cylindrical)	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r}\frac{\partial(rF_r)}{\partial r} + \frac{1}{r}\frac{\partial F_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial F_z}{\partial z}$
ทรงกลม (Spherical)	$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial(r^2 F_r)}{\partial r} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial(\sin\theta\, F_\theta)}{\partial \theta} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial F_\phi}{\partial \phi}$

เอกลักษณ์สำคัญที่เกี่ยวข้องกับไดเวอร์เจนซ์

เอกลักษณ์	สูตร
ความเป็นเชิงเส้น (Linearity)	$\nabla \cdot (a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a(\nabla \cdot \mathbf{F}) + b(\nabla \cdot \mathbf{G})$
กฎผลคูณ (สเกลาร์ × เวกเตอร์)	$\nabla \cdot (f\mathbf{F}) = f(\nabla \cdot \mathbf{F}) + \mathbf{F} \cdot (\nabla f)$
เคิร์ลของเกรเดียนต์	$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0$ (เสมอ)
ลาปลาเซียน (Laplacian)	$\nabla \cdot (\nabla f) = \nabla^2 f$ (ไดเวอร์เจนซ์ของเกรเดียนต์ = ลาปลาเซียน)
ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์	$\displaystyle\iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F})\,dV = \unicode{x222F}_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}$

การประยุกต์ใช้ไดเวอร์เจนซ์

สาขา	การประยุกต์ใช้	ความหมายของไดเวอร์เจนซ์
แม่เหล็กไฟฟ้า	กฎของ Gauss	$\nabla \cdot \mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0$ — ความหนาแน่นของประจุสร้างไดเวอร์เจนซ์ของสนามไฟฟ้า
แม่เหล็กไฟฟ้า	สนามแม่เหล็ก	$\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$ — ไม่มีแม่เหล็กขั้วเดียว (Monopoles)
พลศาสตร์ของไหล	สมการความต่อเนื่อง	$\nabla \cdot \mathbf{v} = 0$ สำหรับการไหลที่อัดตัวไม่ได้
การถ่ายเทความร้อน	สมการความร้อน	ไดเวอร์เจนซ์ของฟลักซ์ความร้อนสัมพันธ์กับการเปลี่ยนแปลงอุณหภูมิ
สัมพัทธภาพทั่วไป	สมการสนามของ Einstein	เงื่อนไขไร้ไดเวอร์เจนซ์ของ Stress-energy tensor

วิธีใช้งานเครื่องคำนวณไดเวอร์เจนซ์

เลือกมิติ: เลือกระหว่างสนาม 2D F = ⟨P, Q⟩ หรือ 3D F = ⟨P, Q, R⟩ โดยใช้ปุ่มสลับ
กรอกฟังก์ชันส่วนประกอบ: พิมพ์แต่ละฟังก์ชันส่วนประกอบ (P, Q และ R สำหรับ 3D) โดยใช้สัญลักษณ์มาตรฐาน ใช้ ^ สำหรับเลขยกกำลัง * สำหรับการคูณ และฟังก์ชัน เช่น sin(x), cos(y), exp(x), ln(x), sqrt(x) รองรับการคูณแบบละเครื่องหมาย (เช่น 2x = 2*x)
ระบุจุดที่ต้องการหาค่า (ไม่บังคับ): ใส่พิกัดที่คั่นด้วยจุลภาคเพื่อคำนวณไดเวอร์เจนซ์เชิงตัวเลขและจำแนกจุดว่าเป็นแหล่งกำเนิด แหล่งรับ หรืออัดตัวไม่ได้
คลิก คำนวณไดเวอร์เจนซ์: ดูสูตรไดเวอร์เจนซ์แบบสัญลักษณ์ การคำนวณอนุพันธ์ย่อยทีละขั้นตอน การหาค่าเชิงตัวเลข และการจำแนกประเภทการไหล
สำรวจการแสดงภาพ: สำหรับสนาม 2D คุณสามารถดูลูกศรสนามเวกเตอร์พร้อมแผนที่ความร้อนของไดเวอร์เจนซ์ที่ระบุด้วยสี (แดง = แหล่งกำเนิด, น้ำเงิน = แหล่งรับ) และการไหลของอนุภาคแบบเคลื่อนไหวเพื่อดูพฤติกรรมของสนาม

ตัวอย่างวิธีทำ

จงหาไดเวอร์เจนซ์ของ $\mathbf{F}(x, y) = \langle x, y \rangle$ ที่จุด $(1, 1)$:

ขั้นตอนที่ 1: ระบุส่วนประกอบ: $P = x$, $Q = y$

ขั้นตอนที่ 2: คำนวณอนุพันธ์ย่อย: $\frac{\partial P}{\partial x} = 1$, $\frac{\partial Q}{\partial y} = 1$

ขั้นตอนที่ 3: นำมารวมกัน: $\nabla \cdot \mathbf{F} = 1 + 1 = 2$

การตีความ: เนื่องจาก $\nabla \cdot \mathbf{F} = 2 > 0$ ทุกๆ จุดจึงเป็น แหล่งกำเนิด สนามจะแผ่ออกอย่างสม่ำเสมอ — จินตนาการเหมือนมีของไหลถูกสูบออกมาทุกตำแหน่งบนระนาบ

คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

ไดเวอร์เจนซ์ของสนามเวกเตอร์คืออะไร?

ไดเวอร์เจนซ์คือตัวดำเนินการอนุพันธ์ที่ให้ค่าสเกลาร์ ซึ่งใช้วัดอัตราการขยายตัวหรือการหดตัวของสนามเวกเตอร์ ณ จุดที่กำหนด สำหรับสนาม 3D F = (P, Q, R) ไดเวอร์เจนซ์คือผลรวมของอนุพันธ์ย่อย: ∇·F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z ค่าที่เป็นบวกบ่งบอกถึงแหล่งกำเนิด (ไหลออก) ค่าที่เป็นลบบ่งบอกถึงแหล่งรับ (ไหลเข้า) และค่าที่เป็นศูนย์หมายถึงการไหลที่อัดตัวไม่ได้

คุณคำนวณไดเวอร์เจนซ์ได้อย่างไร?

ในการคำนวณไดเวอร์เจนซ์ ให้หาอนุพันธ์ย่อยของแต่ละฟังก์ชันส่วนประกอบเทียบกับตัวแปรที่สอดคล้องกัน แล้วนำมาบวกกันทั้งหมด สำหรับสนาม 2D F = (P, Q) ให้คำนวณ ∂P/∂x + ∂Q/∂y สำหรับ 3D ให้บวก ∂R/∂z เพิ่มเข้าไป ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นฟังก์ชันสเกลาร์ (ไม่ใช่เวกเตอร์) ซึ่งจะบอกคุณว่าสนามกำลังขยายตัวหรืออัดตัวมากน้อยเพียงใดในแต่ละจุด

เมื่อไดเวอร์เจนซ์เป็นศูนย์หมายความว่าอย่างไร?

เมื่อไดเวอร์เจนซ์เป็นศูนย์ในทุกตำแหน่ง สนามเวกเตอร์นั้นจะเรียกว่า Solenoidal หรือสนามที่ไม่มีไดเวอร์เจนซ์ ในพลศาสตร์ของไหล หมายความว่าของไหลนั้นอัดตัวไม่ได้ — ไม่มีการขยายตัวหรือหดตัวสุทธิที่จุดใดๆ สนามแม่เหล็กมีไดเวอร์เจนซ์เป็นศูนย์เสมอ (กฎของ Gauss สำหรับแม่เหล็ก: ∇·B = 0) และเคิร์ลของสนามเวกเตอร์ใดๆ จะไม่มีไดเวอร์เจนซ์เสมอ (∇·(∇×F) = 0)

ความหมายทางกายภาพของไดเวอร์เจนซ์คืออะไร?

ในทางกายภาพ ไดเวอร์เจนซ์จะวัดฟลักซ์สุทธิที่ไหลออกต่อหนึ่งหน่วยปริมาตร ณ จุดใดจุดหนึ่ง จินตนาการถึงกล่องเล็กๆ ในของไหล: ถ้ามีของไหลไหลออกจากกล่องมากกว่าที่ไหลเข้า ไดเวอร์เจนซ์จะเป็นบวก (แหล่งกำเนิด) ถ้าไหลเข้ามากกว่าไหลออก จะเป็นลบ (แหล่งรับ) แนวคิดนี้เป็นหัวใจสำคัญของกฎการอนุรักษ์ในฟิสิกส์ โดยปรากฏในสมการความต่อเนื่อง สมการของ Maxwell และสมการความร้อน

ความแตกต่างระหว่างไดเวอร์เจนซ์และเคิร์ลคืออะไร?

ไดเวอร์เจนซ์และเคิร์ลต่างก็เป็นตัวดำเนินการอนุพันธ์บนสนามเวกเตอร์ แต่วัดสิ่งที่แตกต่างกัน ไดเวอร์เจนซ์ (∇·F) วัดการขยายตัวหรือการหดตัวและให้ผลลัพธ์เป็นสเกลาร์ ส่วนเคิร์ล (∇×F) วัดการหมุนหรือการไหลเวียนและให้ผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์ สนามหนึ่งอาจมีไดเวอร์เจนซ์แต่ไม่มีเคิร์ล (เช่น F = (x, y)) หรือมีเคิร์ลแต่ไม่มีไดเวอร์เจนซ์ (เช่น F = (−y, x)) หรือมีทั้งคู่ หรือไม่มีเลยก็ได้

อ้างอิงเนื้อหา หน้าหรือเครื่องมือนี้ว่า:

"เครื่องคำนวณไดเวอร์เจนซ์" ที่ https://MiniWebtool.com/th// จาก MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

โดยทีมงาน MiniWebtool อัปเดตเมื่อ: 2026-04-08

คุณสามารถลองใช้ AI แก้ปัญหาคณิตศาสตร์ GPT ของเรา เพื่อแก้ไขปัญหาทางคณิตศาสตร์ของคุณผ่านคำถามและคำตอบด้วยภาษาธรรมชาติ.

ระบบพิกัด	สูตรไดเวอร์เจนซ์
Cartesian 2D	\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}\)
Cartesian 3D	\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\)
ทรงกระบอก (Cylindrical)	\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r}\frac{\partial(rF_r)}{\partial r} + \frac{1}{r}\frac{\partial F_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial F_z}{\partial z}\)
ทรงกลม (Spherical)	\(\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{1}{r^2}\frac{\partial(r^2 F_r)}{\partial r} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial(\sin\theta\, F_\theta)}{\partial \theta} + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial F_\phi}{\partial \phi}\)

เอกลักษณ์	สูตร
ความเป็นเชิงเส้น (Linearity)	\(\nabla \cdot (a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a(\nabla \cdot \mathbf{F}) + b(\nabla \cdot \mathbf{G})\)
กฎผลคูณ (สเกลาร์ × เวกเตอร์)	\(\nabla \cdot (f\mathbf{F}) = f(\nabla \cdot \mathbf{F}) + \mathbf{F} \cdot (\nabla f)\)
เคิร์ลของเกรเดียนต์	\(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0\) (เสมอ)
ลาปลาเซียน (Laplacian)	\(\nabla \cdot (\nabla f) = \nabla^2 f\) (ไดเวอร์เจนซ์ของเกรเดียนต์ = ลาปลาเซียน)
ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์	\(\displaystyle\iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F})\,dV = \unicode{x222F}_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}\)

สาขา	การประยุกต์ใช้	ความหมายของไดเวอร์เจนซ์
แม่เหล็กไฟฟ้า	กฎของ Gauss	\(\nabla \cdot \mathbf{E} = \rho/\varepsilon_0\) — ความหนาแน่นของประจุสร้างไดเวอร์เจนซ์ของสนามไฟฟ้า
แม่เหล็กไฟฟ้า	สนามแม่เหล็ก	\(\nabla \cdot \mathbf{B} = 0\) — ไม่มีแม่เหล็กขั้วเดียว (Monopoles)
พลศาสตร์ของไหล	สมการความต่อเนื่อง	\(\nabla \cdot \mathbf{v} = 0\) สำหรับการไหลที่อัดตัวไม่ได้
การถ่ายเทความร้อน	สมการความร้อน	ไดเวอร์เจนซ์ของฟลักซ์ความร้อนสัมพันธ์กับการเปลี่ยนแปลงอุณหภูมิ
สัมพัทธภาพทั่วไป	สมการสนามของ Einstein	เงื่อนไขไร้ไดเวอร์เจนซ์ของ Stress-energy tensor

เครื่องคำนวณไดเวอร์เจนซ์

เกี่ยวกับ เครื่องคำนวณไดเวอร์เจนซ์

ไดเวอร์เจนซ์คืออะไร?

ความหมายทางกายภาพของไดเวอร์เจนซ์

สูตรไดเวอร์เจนซ์ในระบบพิกัดต่างๆ

เอกลักษณ์สำคัญที่เกี่ยวข้องกับไดเวอร์เจนซ์

การประยุกต์ใช้ไดเวอร์เจนซ์

วิธีใช้งานเครื่องคำนวณไดเวอร์เจนซ์

ตัวอย่างวิธีทำ

คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

เครื่องมือเด่น: