ผลคูณเวกเตอร์ (cross product) ของสองเวกเตอร์คืออะไร?

ผลคูณเวกเตอร์ (หรือเรียกอีกอย่างว่า vector product) ของเวกเตอร์ 3D สองตัว a และ b จะได้เวกเตอร์ใหม่ที่ตั้งฉากกับทั้ง a และ b คำนวณโดยใช้ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ 3x3 ที่มีเวกเตอร์หน่วย i, j, k ในแถวแรก ขนาดของผลลัพธ์จะเท่ากับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดจากเวกเตอร์ทั้งสอง

เครื่องคำนวณผลคูณเวกเตอร์

คำนวณผลคูณเวกเตอร์ (ผลคูณเชิงเวกเตอร์) ของเวกเตอร์ 3 มิติสองตัวโดยใช้สูตรดีเทอร์มิแนนต์ รับการกระจายขั้นตอนทีละขั้นตอน เวกเตอร์ผลลัพธ์ที่ตั้งฉาก ขนาดของเวกเตอร์ (พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน) การตรวจสอบทิศทาง และการแสดงภาพ 3D แบบโต้ตอบ

Embed เครื่องคำนวณผลคูณเวกเตอร์ Widget

เกี่ยวกับ เครื่องคำนวณผลคูณเวกเตอร์

เครื่องคำนวณผลคูณเวกเตอร์ใช้สำหรับคำนวณผลคูณแบบเวกเตอร์ของเวกเตอร์ 3D สองตัวโดยใช้สูตรดีเทอร์มิแนนต์ ป้อนองค์ประกอบของเวกเตอร์สองตัวเพื่อรับเวกเตอร์ที่ตั้งฉากซึ่งเป็นผลลัพธ์ในทันที, ขนาดของมัน (พื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนาน), มุมระหว่างเวกเตอร์ที่ป้อน, การขยายดีเทอร์มิแนนต์ทีละขั้นตอน, การตรวจสอบการตั้งฉาก และแผนภาพ 3D แบบโต้ตอบที่คุณสามารถหมุนได้โดยการลาก

สูตรผลคูณเวกเตอร์ (Cross Product)

ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ 3D สองตัว $\vec{a} = \langle a_1, a_2, a_3 \rangle$ และ $\vec{b} = \langle b_1, b_2, b_3 \rangle$ ถูกกำหนดโดยดีเทอร์มิแนนต์:

$$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}$$

การขยายตามโคแฟกเตอร์ (cofactors) ในแถวแรกจะได้:

$$\vec{a} \times \vec{b} = \hat{i}(a_2 b_3 - a_3 b_2) - \hat{j}(a_1 b_3 - a_3 b_1) + \hat{k}(a_1 b_2 - a_2 b_1)$$

การประยุกต์ใช้งานในโลกจริง

🔧

แรงบิด (Torque)

τ = r × F คำนวณแรงในการหมุน

🌊

โมเมนตัมเชิงมุม

L = r × p ในกลศาสตร์การหมุน

🎮

Surface Normals

การเรนเดอร์ 3D ใช้เวกเตอร์แนวฉากสำหรับแสง

✈

แม่เหล็กไฟฟ้า

F = qv × B สำหรับแรงลอเรนซ์

📐

การคำนวณพื้นที่

|a×b| ให้พื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนาน/สามเหลี่ยม

🏗

วิศวกรรมโครงสร้าง

โมเมนต์ของแรงรอบจุด

สูตรที่สำคัญ

คุณสมบัติ	สูตร	คำอธิบาย
ผลคูณเวกเตอร์	$\vec{a} \times \vec{b} = \langle a_2 b_3 - a_3 b_2,\; a_3 b_1 - a_1 b_3,\; a_1 b_2 - a_2 b_1 \rangle$	รูปแบบองค์ประกอบของผลคูณเวกเตอร์
ขนาด	$\|\vec{a} \times \vec{b}\| = \|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\sin\theta$	เท่ากับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
สมบัติการสลับที่แบบติดลบ	$\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$	การสลับลำดับจะทำให้ทิศทางตรงกันข้าม
การตั้งฉาก	$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{a} = 0$	ผลลัพธ์จะตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่ป้อนทั้งสองเสมอ
การทดสอบการขนาน	$\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0} \iff \vec{a} \\| \vec{b}$	ผลคูณเวกเตอร์เป็นศูนย์หมายความว่าเวกเตอร์ขนานกัน
พื้นที่สามเหลี่ยม	$A = \frac{1}{2}\|\vec{a} \times \vec{b}\|$	ครึ่งหนึ่งของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

ผลคูณเวกเตอร์ (Cross Product) vs. ผลคูณเชิงสเกลาร์ (Dot Product)

ผลคูณเวกเตอร์ (a × b)

ให้ผลลัพธ์เป็น เวกเตอร์ ที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่ป้อนทั้งสอง กำหนดไว้ใน 3D เท่านั้น ขนาดเท่ากับพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน เป็นศูนย์เมื่อเวกเตอร์ ขนานกัน มีค่าสูงสุดเมื่อเวกเตอร์ตั้งฉากกัน มีสมบัติการสลับที่แบบติดลบ: a × b = -(b × a)

ผลคูณเชิงสเกลาร์ (a · b)

ให้ผลลัพธ์เป็นค่า สเกลาร์ (ตัวเลข) ใช้งานได้ใน ทุกมิติ วัดการวางแนวร่วมกันระหว่างเวกเตอร์ เป็นศูนย์เมื่อเวกเตอร์ ตั้งฉากกัน มีค่าสูงสุดเมื่อเวกเตอร์ขนานกัน มีสมบัติการสลับที่: a · b = b · a

คุณสมบัติที่สำคัญ

สมบัติการสลับที่แบบติดลบ

$\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$ — ลำดับมีความสำคัญ

สมบัติการแจกแจง

$\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$

ตัวคูณสเกลาร์

$(k\vec{a}) \times \vec{b} = k(\vec{a} \times \vec{b})$

ผลคูณกับตัวเอง

$\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0}$ — เป็นศูนย์เสมอ

ไม่มีสมบัติการเปลี่ยนหมู่

$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) \neq (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}$

เอกลักษณ์ของลากร็องฌ์

$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2$

ทำความเข้าใจกฎมือขวา

ทิศทางของผลคูณเวกเตอร์เป็นไปตาม กฎมือขวา: ชี้เล็บนิ้วมือขวาของคุณไปตามเวกเตอร์แรก $\vec{a}$, งอนิ้วเข้าหาเวกเตอร์ที่สอง $\vec{b}$, และหัวแม่มือของคุณจะระบุทิศทางของ $\vec{a} \times \vec{b}$ นี่คือสาเหตุที่ผลคูณเวกเตอร์มีสมบัติการสลับที่แบบติดลบ เพราะการสลับลำดับจะทำให้ทิศทางของนิ้วหัวแม่มือกลับด้าน ได้เป็น $\vec{b} \times \vec{a} = -(\vec{a} \times \vec{b})$

ขนาด $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta$ แสดงถึงพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดจากเวกเตอร์ทั้งสอง เมื่อเวกเตอร์ขนานกัน ($\theta = 0°$ หรือ $180°$) พื้นที่จยุบตัวเป็นศูนย์ เมื่อเวกเตอร์ตั้งฉากกัน ($\theta = 90°$) พื้นที่จะมีค่าสูงสุดที่ $|\vec{a}| \times |\vec{b}|$

วิธีใช้งานเครื่องคำนวณผลคูณเวกเตอร์

ป้อนเวกเตอร์ a: พิมพ์องค์ประกอบสามส่วน (x, y, z) แยกด้วยเครื่องหมายจุลภาค เช่น 2, 3, 4 คุณยังสามารถคลิกตัวอย่างด่วนเพื่อป้อนค่าเวกเตอร์ทั้งสองโดยอัตโนมัติ
ป้อนเวกเตอร์ b: พิมพ์องค์ประกอบสามส่วนของเวกเตอร์ที่สองในรูปแบบเดียวกัน
ดูตัวอย่างแบบสด: ตัวอย่าง 3D จะอัปเดตแบบเรียลไทม์ โดยแสดงเวกเตอร์ทั้งสอง, เวกเตอร์ผลคูณ และรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
คลิกคำนวณ: กดปุ่มเพื่อรับผลลัพธ์ทั้งหมด รวมถึงเวกเตอร์ผลลัพธ์ที่ตั้งฉาก, พื้นที่รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน, มุม, การขยายดีเทอร์มิแนนต์ทีละขั้นตอน และแผนภาพ 3D แบบโต้ตอบ
สำรวจแผนภาพ: ลากเพื่อหมุนมุมมอง 3D, สลับเลเยอร์ (สี่เหลี่ยมด้านขนาน, เวกเตอร์ผลคูณ, แกน, ป้ายกำกับ) เพื่อการแสดงผลที่แตกต่างกัน

คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

ผลคูณเวกเตอร์ของสองเวกเตอร์คืออะไร?

ผลคูณเวกเตอร์ (หรือเรียกอีกอย่างว่า vector product) ของเวกเตอร์ 3D สองตัว a และ b จะได้เวกเตอร์ใหม่ที่ตั้งฉากกับทั้ง a และ b คำนวณโดยใช้ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ 3×3 ที่มีเวกเตอร์หน่วย i, j, k ในแถวแรก ขนาดของผลลัพธ์จะเท่ากับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดจากเวกเตอร์ทั้งสอง

จะคำนวณผลคูณเวกเตอร์โดยใช้วิธีดีเทอร์มิแนนต์ได้อย่างไร?

ตั้งค่าเมทริกซ์ 3×3 โดยให้ i-hat, j-hat, k-hat อยู่ในแถวที่ 1, องค์ประกอบของเวกเตอร์ a ในแถวที่ 2 และองค์ประกอบของเวกเตอร์ b ในแถวที่ 3 จากนั้นขยายตามแถวแรก: i(a₂b₃ − a₃b₂) − j(a₁b₃ − a₃b₁) + k(a₁b₂ − a₂b₁) สิ่งนี้จะให้องค์ประกอบสามส่วนของเวกเตอร์ผลคูณเวกเตอร์

เหตุใดผลคูณเวกเตอร์จึงถูกกำหนดไว้ใน 3D เท่านั้น?

ผลคูณเวกเตอร์ในฐานะการดำเนินการทางเวกเตอร์ถูกกำหนดไว้ใน 3 มิติ (และ 7 มิติ) เท่านั้น เนื่องจากในพื้นที่เหล่านี้เท่านั้นที่คุณสามารถหาเวกเตอร์ที่เป็นเอกลักษณ์ซึ่งตั้งฉากกับสองเวกเตอร์ที่กำหนดให้ได้ ใน 2D ไม่มีทิศทางที่อยู่นอกระนาบ และในมิติที่สูงกว่า พื้นที่ที่ตั้งฉากจะมีมากกว่าหนึ่งมิติ

ความหมายทางเรขาคณิตของขนาดผลคูณเวกเตอร์คืออะไร?

ขนาด |a × b| เท่ากับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดจากเวกเตอร์ a และ b ครึ่งหนึ่งของค่านี้จะให้พื้นที่รูปสามเหลี่ยม สิ่งนี้ถูกใช้อย่างแพร่หลายในฟิสิกส์ (แรงบิด = r × F) และคอมพิวเตอร์กราฟิก (การคำนวณพื้นผิวแนวฉากสำหรับแสง)

กฎมือขวาสำหรับผลคูณเวกเตอร์คืออะไร?

กฎมือขวาใช้กำหนดทิศทางของผลคูณเวกเตอร์: ชี้เล็บนิ้วของคุณไปตามเวกเตอร์ a, งอนิ้วเข้าหาเวกเตอร์ b และหัวแม่มือของคุณจะชี้ไปในทิศทางของ a × b ซึ่งหมายความว่าผลคูณเวกเตอร์มีสมบัติการสลับที่แบบติดลบ — a × b เท่ากับ −(b × a)

อ้างอิงเนื้อหา หน้าหรือเครื่องมือนี้ว่า:

"เครื่องคำนวณผลคูณเวกเตอร์" ที่ https://MiniWebtool.com/th// จาก MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

โดยทีมงาน miniwebtool อัปเดตเมื่อ: 2026-04-10

คุณสามารถลองใช้ AI แก้ปัญหาคณิตศาสตร์ GPT ของเรา เพื่อแก้ไขปัญหาทางคณิตศาสตร์ของคุณผ่านคำถามและคำตอบด้วยภาษาธรรมชาติ.

คุณสมบัติ	สูตร	คำอธิบาย
ผลคูณเวกเตอร์	\(\vec{a} \times \vec{b} = \langle a_2 b_3 - a_3 b_2,\; a_3 b_1 - a_1 b_3,\; a_1 b_2 - a_2 b_1 \rangle\)	รูปแบบองค์ประกอบของผลคูณเวกเตอร์
ขนาด	\(\|\vec{a} \times \vec{b}\| = \|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\sin\theta\)	เท่ากับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
สมบัติการสลับที่แบบติดลบ	\(\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})\)	การสลับลำดับจะทำให้ทิศทางตรงกันข้าม
การตั้งฉาก	\((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{a} = 0\)	ผลลัพธ์จะตั้งฉากกับเวกเตอร์ที่ป้อนทั้งสองเสมอ
การทดสอบการขนาน	\(\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0} \iff \vec{a} \\| \vec{b}\)	ผลคูณเวกเตอร์เป็นศูนย์หมายความว่าเวกเตอร์ขนานกัน
พื้นที่สามเหลี่ยม	\(A = \frac{1}{2}\|\vec{a} \times \vec{b}\|\)	ครึ่งหนึ่งของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

เครื่องคำนวณผลคูณเวกเตอร์

เกี่ยวกับ เครื่องคำนวณผลคูณเวกเตอร์

สูตรผลคูณเวกเตอร์ (Cross Product)

การประยุกต์ใช้งานในโลกจริง

สูตรที่สำคัญ

ผลคูณเวกเตอร์ (Cross Product) vs. ผลคูณเชิงสเกลาร์ (Dot Product)

ผลคูณเวกเตอร์ (a × b)

ผลคูณเชิงสเกลาร์ (a · b)

คุณสมบัติที่สำคัญ

ทำความเข้าใจกฎมือขวา

วิธีใช้งานเครื่องคำนวณผลคูณเวกเตอร์

คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

เครื่องมือเด่น: