เครื่องคำนวณฟังก์ชันผกผัน
คำนวณฟังก์ชันผกผัน f^(-1)(x) ของฟังก์ชัน f(x) ที่กำหนด พร้อมคำอธิบายวิธีทำทีละขั้นตอนอย่างละเอียดแสดงวิธีการหาอินเวอร์สด้วยพีชคณิต
ตัวบล็อกโฆษณาของคุณทำให้เราไม่สามารถแสดงโฆษณาได้
MiniWebtool ให้ใช้งานฟรีเพราะมีโฆษณา หากเครื่องมือนี้ช่วยคุณได้ โปรดสนับสนุนเราด้วย Premium (ไม่มีโฆษณา + เร็วขึ้น) หรืออนุญาต MiniWebtool.com แล้วรีโหลดหน้าเว็บ
- หรืออัปเกรดเป็น Premium (ไม่มีโฆษณา)
- อนุญาตโฆษณาสำหรับ MiniWebtool.com แล้วรีโหลด
เกี่ยวกับ เครื่องคำนวณฟังก์ชันผกผัน
ยินดีต้อนรับสู่ เครื่องคำนวณฟังก์ชันผกผัน ของเรา เครื่องมือออนไลน์ฟรีที่จะช่วยคุณหาฟังก์ชันผกผันพร้อมคำแนะนำทีละขั้นตอนอย่างละเอียด ไม่ว่าคุณจะเป็นนักเรียนที่กำลังเรียนเรื่องฟังก์ชันผกผัน เตรียมสอบแคลคูลัส หรือครูที่กำลังสร้างโจทย์ตัวอย่าง เครื่องคิดเลขนี้จะให้คำอธิบายกระบวนการทางพีชคณิตที่ชัดเจน
ฟังก์ชันผกผันคืออะไร?
ฟังก์ชันผกผัน เขียนแทนด้วย $f^{-1}(x)$ คือการย้อนกลับการดำเนินการของฟังก์ชันเดิม $f(x)$ ถ้า $f(a) = b$ แล้ว $f^{-1}(b) = a$ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ฟังก์ชันผกผันจะ "ยกเลิก" สิ่งที่ฟังก์ชันเดิมทำ
สมบัติสำคัญของฟังก์ชันผกผัน ได้แก่:
- สมบัติฟังก์ชันประกอบ (Composition property): $f(f^{-1}(x)) = x$ และ $f^{-1}(f(x)) = x$
- ความสัมพันธ์ทางกราฟ (Graphical relationship): กราฟของ $f^{-1}(x)$ คือภาพสะท้อนของ $f(x)$ ข้ามเส้น $y = x$
- การสลับโดเมน-เรนจ์ (Domain-range swap): โดเมนของ $f$ จะกลายเป็นเรนจ์ของ $f^{-1}$ และในทางกลับกัน
วิธีหาฟังก์ชันผกผัน
ทำตามขั้นตอนเหล่านี้เพื่อหาฟังก์ชันผกผันทางพีชคณิต:
ขั้นตอนที่ 1: เปลี่ยน f(x) เป็น y
เริ่มต้นโดยเขียนฟังก์ชันในรูปแบบ $y = f(x)$ เพื่อให้ง่ายต่อการจัดรูปพีชคณิต
ขั้นตอนที่ 2: สลับ x และ y
สลับตัวแปร x และ y ในสมการ เพื่อกลับความสัมพันธ์ระหว่างอินพุตและเอาต์พุต
ขั้นตอนที่ 3: แก้สมการหาค่า y
ใช้เทคนิคทางพีชคณิตเพื่อจัดรูปสมการให้เหลือ y เพียงตัวเดียว นี่มักเป็นขั้นตอนที่ยากที่สุด
ขั้นตอนที่ 4: เขียนในรูปสัญลักษณ์ฟังก์ชัน
เปลี่ยน y เป็น $f^{-1}(x)$ เพื่อแสดงฟังก์ชันผกผันอย่างถูกต้อง
ขั้นตอนที่ 5: ตรวจสอบคำตอบ (ทางเลือก)
ยืนยันคำตอบของคุณโดยตรวจสอบว่า $f(f^{-1}(x)) = x$
ฟังก์ชันผกผันที่พบบ่อย
| ฟังก์ชันต้นฉบับ $f(x)$ | ฟังก์ชันผกผัน $f^{-1}(x)$ |
|---|---|
| $f(x) = x + a$ | $f^{-1}(x) = x - a$ |
| $f(x) = ax$ | $f^{-1}(x) = \frac{x}{a}$ |
| $f(x) = ax + b$ | $f^{-1}(x) = \frac{x - b}{a}$ |
| $f(x) = x^2$ (สำหรับ $x \geq 0$) | $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$ |
| $f(x) = x^3$ | $f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x}$ |
| $f(x) = e^x$ | $f^{-1}(x) = \ln(x)$ |
| $f(x) = \ln(x)$ | $f^{-1}(x) = e^x$ |
| $f(x) = \frac{1}{x}$ | $f^{-1}(x) = \frac{1}{x}$ |
ฟังก์ชันจะมีอินเวอร์สเมื่อใด?
ไม่ใช่ทุกฟังก์ชันจะมีฟังก์ชันผกผัน ฟังก์ชันจะมีอินเวอร์สก็ต่อเมื่อเป็นฟังก์ชัน **หนึ่งต่อหนึ่ง** (one-to-one หรือ injective) ซึ่งหมายความว่าค่าเอาต์พุตแต่ละค่าจะตรงกับค่าอินพุตเพียงค่าเดียวเท่านั้น
การทดสอบเส้นแนวนอน (The Horizontal Line Test)
ฟังก์ชันจะผ่านการทดสอบเส้นแนวนอนหากไม่มีเส้นแนวนอนใดตัดกราฟมากกว่าหนึ่งจุด ถ้าฟังก์ชันผ่านการทดสอบนี้ แสดงว่ามีอินเวอร์ส
- ฟังก์ชันเชิงเส้น (ที่มีความชันไม่เป็นศูนย์) เป็นหนึ่งต่อหนึ่งเสมอ
- ฟังก์ชันกำลังสอง ไม่เป็นหนึ่งต่อหนึ่งบนจำนวนจริงทั้งหมด (ไม่ผ่านการทดสอบเส้นแนวนอน)
- ฟังก์ชันที่มีค่าเพิ่มขึ้นหรือลดลงตลอดช่วง (Strictly monotonic) เป็นหนึ่งต่อหนึ่ง
การจำกัดโดเมน
เมื่อฟังก์ชันไม่เป็นหนึ่งต่อหนึ่ง เราสามารถจำกัดโดเมนเพื่อให้เป็นหนึ่งต่อหนึ่งได้ ตัวอย่างเช่น:
- $f(x) = x^2$ ไม่เป็นหนึ่งต่อหนึ่ง แต่ $f(x) = x^2$ สำหรับ $x \geq 0$ เป็นหนึ่งต่อหนึ่งที่มีอินเวอร์ส $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$
- $f(x) = \sin(x)$ ไม่เป็นหนึ่งต่อหนึ่ง แต่ $f(x) = \sin(x)$ สำหรับ $-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ เป็นหนึ่งต่อหนึ่งที่มีอินเวอร์ส $f^{-1}(x) = \arcsin(x)$
ตัวอย่าง
ตัวอย่างที่ 1: ฟังก์ชันเชิงเส้น
จงหาฟังก์ชันผกผันของ $f(x) = 3x - 5$
วิธีทำ:
- เขียนสมการ $y = 3x - 5$
- สลับตัวแปร: $x = 3y - 5$
- แก้หา y: $x + 5 = 3y$, ดังนั้น $y = \frac{x + 5}{3}$
- ดังนั้น $f^{-1}(x) = \frac{x + 5}{3}$
ตัวอย่างที่ 2: ฟังก์ชันตรรกยะ
จงหาฟังก์ชันผกผันของ $f(x) = \frac{x - 1}{x + 2}$
วิธีทำ:
- เขียนสมการ $y = \frac{x - 1}{x + 2}$
- สลับตัวแปร: $x = \frac{y - 1}{y + 2}$
- แก้สมการ: $x(y + 2) = y - 1$, จะได้ $xy + 2x = y - 1$
- จัดรูปใหม่: $xy - y = -1 - 2x$, ดังนั้น $y(x - 1) = -2x - 1$
- ดังนั้น $f^{-1}(x) = \frac{-2x - 1}{x - 1} = \frac{2x + 1}{1 - x}$
เคล็ดลับการใช้เครื่องคิดเลขนี้
- ป้อนฟังก์ชันโดยใช้ x เป็นตัวแปร
- ใช้ * สำหรับการคูณ (เช่น 2*x แทน 2x)
- ใช้ ^ หรือ ** สำหรับเลขชี้กำลัง (เช่น x^2 หรือ x**2)
- ใช้ sqrt(x) สำหรับรากที่สอง
- ใช้ log(x) สำหรับลอการิทึมธรรมชาติ (ln)
- ใช้ exp(x) หรือ e^x สำหรับฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล
คำถามที่พบบ่อย
-1 ใน f^(-1)(x) หมายถึงอะไร?
-1 ใน $f^{-1}(x)$ ไม่ใช่เลขชี้กำลัง แต่เป็นสัญลักษณ์ที่ระบุถึงฟังก์ชันผกผัน ไม่ควรสับสนกับ $\frac{1}{f(x)}$ ซึ่งเป็นส่วนกลับของ f(x)
ฉันสามารถหาอินเวอร์สของฟังก์ชันใดก็ได้ใช่ไหม?
ไม่ใช่ทุกฟังก์ชันจะมีฟังก์ชันผกผัน เฉพาะฟังก์ชันแบบหนึ่งต่อหนึ่งเท่านั้นที่มีฟังก์ชันผกผัน หากฟังก์ชันไม่ผ่านการทดสอบเส้นแนวนอน แสดงว่าไม่มีอินเวอร์สในช่วงโดเมนทั้งหมด แต่อาจสามารถจำกัดโดเมนเพื่อสร้างฟังก์ชันที่หาอินเวอร์สได้
ฉันจะตรวจสอบได้อย่างไรว่าอินเวอร์สถูกต้อง?
เพื่อตรวจสอบ ให้เช็คว่าทั้ง $f(f^{-1}(x)) = x$ และ $f^{-1}(f(x)) = x$ หากผลลัพธ์การประกอบฟังก์ชันทั้งสองเท่ากับ x แสดงว่าอินเวอร์สถูกต้อง
แหล่งข้อมูลเพิ่มเติม
เพื่อเรียนรู้เพิ่มเติมเกี่ยวกับฟังก์ชันผกผัน:
อ้างอิงเนื้อหา หน้าหรือเครื่องมือนี้ว่า:
"เครื่องคำนวณฟังก์ชันผกผัน" ที่ https://MiniWebtool.com/th/เครื่องคำนวณฟังก์ชันผกผัน/ จาก MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/
โดย ทีมงาน miniwebtool อัปเดตเมื่อ: 12 ธ.ค. 2025
คุณสามารถลองใช้ AI แก้ปัญหาคณิตศาสตร์ GPT ของเรา เพื่อแก้ไขปัญหาทางคณิตศาสตร์ของคุณผ่านคำถามและคำตอบด้วยภาษาธรรมชาติ.
เครื่องมืออื่นๆ ที่เกี่ยวข้อง:
เครื่องคำนวณพีชคณิต:
- เครื่องแก้สมการค่าสัมบูรณ์ ใหม่
- เครื่องแก้อสมการค่าสัมบูรณ์ ใหม่
- เครื่องทำให้นิพจน์พีชคณิตง่ายขึ้น ใหม่
- ตัวแก้สมการที่มีเครื่องหมายราก ใหม่
- เครื่องทำให้รากที่สองง่ายขึ้น ใหม่
- เครื่องแก้อสมการ ใหม่
- เครื่องแก้สมการเชิงเส้น ใหม่
- เครื่องคำนวณการแยกตัวประกอบพหุนาม ใหม่
- เครื่องคำนวณการหารยาวพหุนาม ใหม่
- เครื่องคำนวณการหารสังเคราะห์ ใหม่
- เครื่องมือกราฟระบบอสมการ ใหม่
- เครื่องแก้ระบบสมการเชิงเส้น ใหม่
- เครื่องคำนวณนิพจน์ตรรกยะ ใหม่
- เครื่องคำนวณการขยายพหุนาม ใหม่
- เครื่องคำนวณฟังก์ชันผสม ใหม่
- เครื่องมือวาดกราฟฟังก์ชัน ใหม่
- เครื่องคำนวณโดเมนและเรนจ์ ใหม่
- เครื่องคำนวณฟังก์ชันผกผัน ใหม่
- เครื่องคำนวณจุดยอดและแกนสมมาตร ใหม่
- เครื่องคำนวณจุดตัดแกน X และ Y ใหม่