เครื่องคิดเลขเวกเตอร์

เครื่องคิดเลขเวกเตอร์ออนไลน์ฟรีพร้อมวิธีทำทีละขั้นตอน คำนวณผลคูณจุด (dot product), ผลคูณไขว้ (cross product), ขนาด, เวกเตอร์หนึ่งหน่วย, มุมระหว่างเวกเตอร์, การฉายเวกเตอร์ และอื่นๆ พร้อมการแสดงภาพ 3 มิติแบบโต้ตอบ

ตัวอย่างด่วน

1 ใส่เวกเตอร์

เวกเตอร์ A

คั่นองค์ประกอบด้วยเครื่องหมายจุลภาค

เวกเตอร์ B

จำเป็นสำหรับการดำเนินการแบบสองเวกเตอร์

2 เลือกการดำเนินการ

การดำเนินการ

ความแม่นยำ

Embed เครื่องคิดเลขเวกเตอร์ Widget

เกี่ยวกับ เครื่องคิดเลขเวกเตอร์

ยินดีต้อนรับสู่ เครื่องคิดเลขเวกเตอร์ ของเรา เครื่องมือที่ครอบคลุมสำหรับการดำเนินการทางเวกเตอร์พร้อมวิธีแก้ปัญหาอย่างละเอียดทีละขั้นตอน ไม่ว่าคุณจะเป็นนักเรียนที่กำลังเรียนพีชคณิตเชิงเส้น วิศวกรที่ทำงานเกี่ยวกับแรงและความเร็ว หรือใครก็ตามที่ต้องการคำนวณคณิตศาสตร์เวกเตอร์ เครื่องคิดเลขนี้ให้ผลลัพธ์ที่แม่นยำพร้อมคำอธิบายที่ชัดเจน

เวกเตอร์คืออะไร?

เวกเตอร์ คือวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่มีทั้งขนาด (ความยาว) และทิศทาง โดยทั่วไปเวกเตอร์จะแสดงเป็นรายการตัวเลขที่เรียงลำดับกันเรียกว่า องค์ประกอบ (components) ตัวอย่างเช่น เวกเตอร์ 3 มิติอาจเขียนเป็น [3, 4, 5] ซึ่งแสดงถึงการเคลื่อนที่ 3 หน่วยตามแกน x, 4 หน่วยตามแกน y และ 5 หน่วยตามแกน z

เวกเตอร์เป็นพื้นฐานในทางฟิสิกส์ (แสดงถึงแรง, ความเร็ว, ความเร่ง), คอมพิวเตอร์กราฟิก (การแปลง 3 มิติ, แสงสว่าง), การเรียนรู้ของเครื่อง (feature vectors, embeddings) และสาขาอื่นๆ อีกมากมาย

การดำเนินการทางเวกเตอร์ที่รองรับ

ขนาด (ความยาว)

ขนาด ของเวกเตอร์ หรือที่เรียกว่าความยาวหรือนอร์ม (norm) เป็นการวัดว่าเวกเตอร์นั้นยาวเท่าใด สำหรับเวกเตอร์ A = [a, b, c]:

สูตรการหาขนาด

$$||A|| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$$

เวกเตอร์หนึ่งหน่วย

เวกเตอร์หนึ่งหน่วย มีขนาดเท่ากับ 1 และมีทิศทางเดียวกับเวกเตอร์เดิม คำนวณได้โดยการหารแต่ละองค์ประกอบด้วยขนาดของมัน:

สูตรเวกเตอร์หนึ่งหน่วย

$$\hat{A} = \frac{A}{||A||}$$

Dot Product (ผลคูณเชิงสเกลาร์)

Dot product ของเวกเตอร์สองเวกเตอร์จะได้ค่าสเกลาร์ (ตัวเลขตัวเดียว) ซึ่งเป็นการวัดว่าเวกเตอร์หนึ่งไปในทิศทางของอีกเวกเตอร์หนึ่งมากน้อยเพียงใด:

สูตร Dot Product

$$A \cdot B = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = ||A|| \cdot ||B|| \cdot \cos(\theta)$$

คุณสมบัติสำคัญ: หาก Dot product เป็นศูนย์ เวกเตอร์ทั้งสองจะ ตั้งฉากกัน ค่าบวกหมายถึงชี้ไปในทิศทางที่คล้ายกัน และค่าลบหมายถึงทิศทางตรงกันข้าม

Cross Product (ผลคูณเชิงเวกเตอร์)

Cross product ของเวกเตอร์ 3 มิติสองเวกเตอร์ จะได้เวกเตอร์ใหม่ที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ตั้งต้นทั้งสอง ขนาดของมันจะเท่ากับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดจากเวกเตอร์เหล่านั้น:

สูตร Cross Product

$$A \times B = (a_2 b_3 - a_3 b_2, a_3 b_1 - a_1 b_3, a_1 b_2 - a_2 b_1)$$

การบวกและการลบเวกเตอร์

การบวกเวกเตอร์ คือการรวมเวกเตอร์เข้าด้วยกันโดยบวกองค์ประกอบที่ตรงกัน การลบ คือการหาผลต่าง:

การบวก/การลบ

$$A + B = [a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 + b_3]$$ $$A - B = [a_1 - b_1, a_2 - b_2, a_3 - b_3]$$

มุมระหว่างเวกเตอร์

มุมระหว่างเวกเตอร์สองเวกเตอร์หาได้โดยใช้ความสัมพันธ์ระหว่าง Dot product และขนาดของเวกเตอร์:

สูตรการหามุม

$$\theta = \arccos\left(\frac{A \cdot B}{||A|| \cdot ||B||}\right)$$

ภาพฉายของเวกเตอร์ (Vector Projection)

ภาพฉาย ของเวกเตอร์ A บนเวกเตอร์ B จะให้องค์ประกอบของ A ในทิศทางของ B:

สูตรภาพฉาย

$$\text{proj}_B A = \frac{A \cdot B}{B \cdot B} \cdot B$$

การคูณสเกลาร์

การคูณสเกลาร์ คือการคูณแต่ละองค์ประกอบของเวกเตอร์ด้วยตัวเลข เพื่อปรับขนาดของเวกเตอร์:

การคูณสเกลาร์

$$k \cdot A = [k \cdot a_1, k \cdot a_2, k \cdot a_3]$$

ตารางสรุปการดำเนินการ

การดำเนินการ	ข้อมูลที่ต้องใช้	ประเภทผลลัพธ์	การใช้งานทั่วไป
ขนาด	หนึ่งเวกเตอร์	สเกลาร์	หาระยะทาง, การปรับเวกเตอร์ให้เป็นมาตรฐาน
เวกเตอร์หนึ่งหน่วย	หนึ่งเวกเตอร์	เวกเตอร์	การแสดงทิศทาง, การทำให้เป็นมาตรฐาน
Dot Product	สองเวกเตอร์	สเกลาร์	การคำนวณมุม, ภาพฉาย, ความคล้ายคลึง
Cross Product	สองเวกเตอร์ 3 มิติ	เวกเตอร์	หาเวกเตอร์ที่ตั้งฉาก, คำนวณพื้นที่
การบวก	สองเวกเตอร์	เวกเตอร์	การรวมแรง, การกระจัด
การลบ	สองเวกเตอร์	เวกเตอร์	หาตำแหน่งสัมพัทธ์, ผลต่าง
มุม	สองเวกเตอร์	สเกลาร์ (องศา)	การจัดวางทิศทาง, การวัดความเหมือน
ภาพฉาย	สองเวกเตอร์	เวกเตอร์	การคำนวณเงา, การแตกองค์ประกอบ
คูณสเกลาร์	หนึ่งเวกเตอร์ + สเกลาร์	เวกเตอร์	การปรับสเกล, ปรับขนาดเวกเตอร์

วิธีใช้งานเครื่องคิดเลขนี้

ใส่เวกเตอร์ A: ป้อนองค์ประกอบของเวกเตอร์แรก โดยคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค (เช่น 3, 4, 0)
ใส่เวกเตอร์ B (ถ้าจำเป็น): สำหรับการดำเนินการแบบสองเวกเตอร์ ให้ป้อนเวกเตอร์ที่สอง
เลือกการดำเนินการ: เลือกการคำนวณที่ต้องการจากเมนูแบบดึงลง
ตั้งค่าความแม่นยำ: เลือกจำนวนตำแหน่งทศนิยมที่ต้องการสำหรับผลลัพธ์
คำนวณ: คลิกปุ่มเพื่อดูผลลัพธ์พร้อมคำอธิบายทีละขั้นตอน

คำถามที่พบบ่อย

Dot product คืออะไร?

Dot product (หรือเรียกว่า ผลคูณเชิงสเกลาร์ หรือ Inner product) ของเวกเตอร์สองเวกเตอร์ A และ B คือค่าสเกลาร์ที่คำนวณโดยการคูณองค์ประกอบที่ตรงกันแล้วนำผลลัพธ์มาบวกกัน: A·B = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ ซึ่งมีค่าเท่ากับ |A||B|cos(θ) โดยที่ θ คือมุมระหว่างเวกเตอร์ ถ้า Dot product เป็นศูนย์ หมายความว่าเวกเตอร์ทั้งสองตั้งฉากกัน

Cross product คืออะไร?

Cross product (หรือเรียกว่า ผลคูณเชิงเวกเตอร์) ของเวกเตอร์ 3 มิติ สองเวกเตอร์ A และ B จะได้เวกเตอร์ใหม่ที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ตั้งต้นทั้งสอง คำนวณได้จาก A×B = (a₂b₃-a₃b₂, a₃b₁-a₁b₃, a₁b₂-a₂b₁) ขนาดของมัน |A×B| จะเท่ากับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดจากเวกเตอร์ A และ B

วิธีคำนวณขนาดของเวกเตอร์ทำอย่างไร?

ขนาดของเวกเตอร์ (ความยาว) คำนวณโดยใช้ Euclidean norm: |A| = √(a₁² + a₂² + a₃²) สำหรับเวกเตอร์ 3 มิติ สูตรนี้ใช้ได้กับทุกมิติโดยการรวมกำลังสองของทุกองค์ประกอบแล้วถอดรากที่สอง

เวกเตอร์หนึ่งหน่วยคืออะไร?

เวกเตอร์หนึ่งหน่วย (Unit vector) คือเวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับ 1 และมีทิศทางเดียวกับเวกเตอร์เดิม คำนวณได้โดยการหารแต่ละองค์ประกอบด้วยขนาดของเวกเตอร์: Â = A/|A| เวกเตอร์หนึ่งหน่วยมีประโยชน์ในการแสดงทิศทางโดยไม่คำนึงถึงขนาด

หามุมระหว่างเวกเตอร์สองเวกเตอร์ได้อย่างไร?

มุม θ ระหว่างเวกเตอร์ A และ B หาได้จากสูตร Dot product: cos(θ) = (A·B)/(|A||B|) จากนั้นใช้ inverse cosine (arccos) ของค่านี้เพื่อหาค่ามุมในหน่วยเรเดียน แล้วแปลงเป็นองศาโดยการคูณด้วย 180/π

ภาพฉายของเวกเตอร์ (Vector projection) คืออะไร?

ภาพฉายของเวกเตอร์ A บน B คือองค์ประกอบของ A ในทิศทางของ B สูตรคือ proj_B(A) = ((A·B)/(B·B)) × B ส่วนภาพฉายเชิงสเกลาร์ (คอมโพเนนต์) คือ (A·B)/|B| มีประโยชน์ในทางฟิสิกส์สำหรับการแตกแรงและความเร็ว