เครื่องคำนวณการแยกค่าเอกฐาน SVD

คำนวณการแยกตัวประกอบค่าเอกฐาน (SVD) ของเมทริกซ์ใดก็ได้ โดยแยก A เป็น U, Sigma และ V transpose มีวิธีทำทีละขั้นตอน ภาพจำลอง 3 มิติแบบโต้ตอบ การวิเคราะห์อันดับ เลขเงื่อนไข และการใช้งานด้านการบีบอัดข้อมูล

ใช้งานฟรีไม่ต้องสมัครสมาชิกอัปเดต ก.พ. 2026

เครื่องคำนวณการแยกค่าเอกฐาน SVDลองใช้เลย — ฟรี ▼

ลองใช้เมทริกซ์ตัวอย่าง:

2×3 สี่เหลี่ยมผืนผ้า 2×2 จัตุรัส 4×5 แบบเบาบาง (Sparse) 3×3 เมทริกซ์เอกฐาน

ป้อนเมทริกซ์ (หนึ่งแถวต่อบรรทัด)

ความละเอียดทศนิยม

รูปแบบ: ป้อนหนึ่งแถวต่อหนึ่งบรรทัด แยกค่าด้วยจุลภาคหรือเว้นวรรค รองรับเมทริกซ์สูงสุด 10×10

Embed เครื่องคำนวณการแยกค่าเอกฐาน SVD Widget

เกี่ยวกับ เครื่องคำนวณการแยกค่าเอกฐาน SVD

ยินดีต้อนรับสู่ เครื่องคำนวณการแยกค่าเอกฐาน (SVD) เครื่องมือพีชคณิตเชิงเส้นอันทรงพลังที่แยกเมทริกซ์ใดๆ ออกเป็นองค์ประกอบพื้นฐาน SVD แยกตัวประกอบเมทริกซ์ A = UΣVᵀ และให้คำตอบแบบทีละขั้นตอน, การแสดงภาพแบบโต้ตอบ, การวิเคราะห์อันดับ, หมายเลขเงื่อนไข, คุณภาพการประมาณค่าอันดับต่ำ และการคำนวณเมทริกซ์ผกผันเสมือน ไม่ว่าคุณกำลังศึกษาพีชคณิตเชิงเส้น ทำงานด้านแมชชีนเลิร์นนิง หรือวิเคราะห์ข้อมูล เครื่องคำนวณนี้ให้การแยกตัวประกอบเมทริกซ์ระดับมืออาชีพ

การแยกค่าเอกฐานคืออะไร?

การแยกค่าเอกฐาน (Singular Value Decomposition หรือ SVD) คือการแยกตัวประกอบของเมทริกซ์ m×n A ใดๆ ออกเป็นสามเมทริกซ์:

การแยกตัวประกอบ SVD

$$A = U \Sigma V^T$$

โดยที่:

A คือเมทริกซ์ต้นฉบับขนาด m×n
U คือเมทริกซ์เชิงตั้งฉาก m×m (เวกเตอร์เอกฐานซ้าย, เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของ AAᵀ)
Σ (Sigma) คือเมทริกซ์ทแยงมุม m×n ที่มีค่าเอกฐานที่ไม่เป็นลบ σ₁ ≥ σ₂ ≥ ... ≥ 0
Vᵀ คือเมทริกซ์เชิงตั้งฉาก n×n (เวกเตอร์เอกฐานขวา, เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของ AᵀA)

ต่างจากการแยกตัวประกอบค่าเฉพาะ SVD มีอยู่เสมอ สำหรับทุกเมทริกซ์ รวมถึงเมทริกซ์สี่เหลี่ยมผืนผ้าและเมทริกซ์เอกฐาน ความเป็นสากลนี้ทำให้มันเป็นหนึ่งในการแยกตัวประกอบที่สำคัญที่สุดในคณิตศาสตร์ประยุกต์

วิธีการคำนวณ SVD

สร้าง AᵀA: คำนวณเมทริกซ์สมมาตร n×n AᵀA
หาค่าเฉพาะ: แก้สมการ det(AᵀA − λI) = 0 เพื่อรับค่าเฉพาะ λ₁ ≥ λ₂ ≥ ... ≥ 0
ค่าเอกฐาน: σᵢ = √λᵢ (รากที่สองของค่าเฉพาะ)
เวกเตอร์เอกฐานขวา (V): หาเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของ AᵀA, ทำให้เป็นบรรทัดฐานเชิงตั้งฉากเพื่อรับคอลัมน์ของ V
เวกเตอร์เอกฐานซ้าย (U): คำนวณ uᵢ = Avᵢ/σᵢ สำหรับแต่ละค่าเอกฐานที่ไม่เป็นศูนย์ และขยายให้เป็นฐานเชิงตั้งฉากที่สมบูรณ์

คุณสมบัติที่สำคัญ

อันดับของเมทริกซ์ (Matrix Rank)

อันดับ (Rank) ของเมทริกซ์ A เท่ากับจำนวนค่าเอกฐานที่ไม่เป็นศูนย์ นี่เป็นวิธีที่มีความเสถียรทางตัวเลขมากที่สุดในการหาอันดับ ซึ่งน่าเชื่อถือกว่าการลดรูปแถวที่อาจผิดพลาดได้จากความคลาดเคลื่อนของทศนิยม

หมายเลขเงื่อนไข (Condition Number)

หมายเลขเงื่อนไข

$$\kappa(A) = \frac{\sigma_{\max}}{\sigma_{\min}}$$

หมายเลขเงื่อนไขวัดความไวของระบบเชิงเส้น Ax = b ต่อการรบกวน ค่า κ ที่มากบ่งบอกว่าเมทริกซ์มีเงื่อนไขไม่ดี; κ = 1 คือกรณีในอุดมคติ (เมทริกซ์เชิงตั้งฉาก)

นอร์มเมทริกซ์ผ่าน SVD

นอร์มสเปกตรัม (2-norm): $\|A\|_2 = \sigma_1$ — ค่าเอกฐานที่ใหญ่ที่สุด
นอร์ม Frobenius: $\|A\|_F = \sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2 + \cdots}$
นอร์มนิวเคลียร์: $\|A\|_* = \sigma_1 + \sigma_2 + \cdots$ — ผลรวมของค่าเอกฐานทั้งหมด

การประยุกต์ใช้ SVD

📉

PCA และการลดมิติข้อมูล

SVD เป็นกลไกการคำนวณเบื้องหลัง PCA เวกเตอร์เอกฐานขวาจะเป็นตัวกำหนดองค์ประกอบหลัก และค่าเอกฐานจะระบุความแปรปรวนที่อธิบายได้

🖼

การบีบอัดภาพ

การเก็บเฉพาะค่าเอกฐานอันดับต้นๆ k ค่าจะช่วยประมาณค่ารูปภาพด้วยข้อมูลที่น้อยลงมาก ซึ่งเป็นพื้นฐานของเทคนิคการบีบอัดแบบสูญเสียรายละเอียด

🎯

ระบบแนะนำ

SVD ขับเคลื่อนการกรองแบบร่วมมือ (เช่น รางวัล Netflix) โดยระบุปัจจัยแฝงในเมทริกซ์การให้คะแนนระหว่างผู้ใช้และรายการ

📐

เมทริกซ์ผกผันเสมือนและกำลังสองน้อยที่สุด

เมทริกซ์ผกผันเสมือน Moore-Penrose A⁺ = VΣ⁺Uᵀ ให้คำตอบกำลังสองน้อยที่สุดที่มีนอร์มต่ำสุดสำหรับ Ax = b แม้จะเป็นเมทริกซ์ที่ไม่ใช่จัตุรัสหรือเมทริกซ์เอกฐาน

🔊

การประมวลผลสัญญาณและการลดสัญญาณรบกวน

ค่าเอกฐานขนาดเล็กมักจะสอดคล้องกับสัญญาณรบกวน การตัดค่าเหล่านั้นออกจะช่วยลดสัญญาณรบกวนในขณะที่ยังคงโครงสร้างหลักไว้

📝

การประมวลผลภาษาธรรมชาติ

Latent Semantic Analysis (LSA) ใช้ SVD กับเมทริกซ์คำศัพท์-เอกสาร เพื่อเปิดเผยความสัมพันธ์ทางความหมายที่ซ่อนอยู่ระหว่างคำและเอกสาร

การประมาณค่าอันดับต่ำ (ทฤษฎีบท Eckart–Young)

ทฤษฎีบท Eckart–Young–Mirsky ระบุว่าการประมาณค่าอันดับ k ที่ดีที่สุดของ A (ในนอร์ม Frobenius หรือสเปกตรัม) ได้มาจากการเก็บเฉพาะค่าเอกฐานที่ใหญ่ที่สุด k ค่า:

การประมาณค่าอันดับ k

$$A_k = \sum_{i=1}^{k} \sigma_i \mathbf{u}_i \mathbf{v}_i^T$$

ข้อผิดพลาดในการประมาณค่าคือ: $\|A - A_k\|_F = \sqrt{\sigma_{k+1}^2 + \cdots + \sigma_r^2}$

SVD เทียบกับการแยกตัวประกอบค่าเฉพาะ

คุณสมบัติ	SVD	การแยกตัวประกอบค่าเฉพาะ
ใช้ได้กับ	เมทริกซ์ m×n ใดๆ	เมทริกซ์จัตุรัสเท่านั้น
มีอยู่เสมอ	ใช่	ไม่ (ต้องเป็นเมทริกซ์ที่ทำให้เป็นทแยงมุมได้)
ค่าที่ได้	เป็นจำนวนจริงและไม่เป็นลบเสมอ	อาจเป็นจำนวนเชิงซ้อนได้
ฐาน	สองฐานเชิงตั้งฉาก (U, V)	ฐานเดียว (อาจไม่เชิงตั้งฉาก)
ความเสถียรทางตัวเลข	ยอดเยี่ยม	อาจไม่เสถียรสำหรับเมทริกซ์ที่ไม่สมมาตร

คำถามที่พบบ่อย

การแยกค่าเอกฐาน (SVD) คืออะไร?

การแยกค่าเอกฐาน (Singular Value Decomposition หรือ SVD) คือการแยกตัวประกอบเมทริกซ์ที่แยกเมทริกซ์จำนวนจริง m×n ใดๆ A ออกเป็นสามเมทริกซ์: A = UΣVᵀ โดยที่ U คือเมทริกซ์เชิงตั้งฉาก m×m ของเวกเตอร์เอกฐานซ้าย, Σ คือเมทริกซ์ทแยงมุม m×n ของค่าเอกฐาน และ Vᵀ คือเมทริกซ์เชิงตั้งฉาก n×n ของเวกเตอร์เอกฐานขวา SVD มีอยู่เสมอสำหรับทุกเมทริกซ์

ค่าเอกฐานใช้ทำอะไร?

ค่าเอกฐานช่วยเปิดเผยคุณสมบัติพื้นฐานของเมทริกซ์: อันดับ (จำนวนค่าเอกฐานที่ไม่เป็นศูนย์), หมายเลขเงื่อนไข (อัตราส่วนของค่าที่มากที่สุดต่อค่าที่น้อยที่สุด) และนอร์มของเมทริกซ์ มีการใช้กันอย่างแพร่หลายในการบีบอัดข้อมูล (เก็บเฉพาะค่าเอกฐานที่ใหญ่ที่สุด), การวิเคราะห์องค์ประกอบหลัก (PCA), การลดสัญญาณรบกวน, ระบบแนะนำ และการแก้ปัญหาการถดถอยกำลังสองน้อยที่สุด

SVD และการแยกตัวประกอบค่าเฉพาะต่างกันอย่างไร?

การแยกตัวประกอบค่าเฉพาะใช้ได้กับเมทริกซ์จัตุรัสเท่านั้นและต้องเป็นเมทริกซ์ที่สามารถทำให้เป็นทแยงมุมได้ ส่วน SVD ใช้ได้กับเมทริกซ์ m×n ใดๆ (รวมถึงเมทริกซ์สี่เหลี่ยมผืนผ้า) และมีอยู่เสมอ สำหรับเมทริกซ์สมมาตรกึ่งบวกแน่นอน SVD และการแยกตัวประกอบค่าเฉพาะจะเหมือนกัน SVD ใช้ฐานเชิงตั้งฉากที่แตกต่างกันสองฐาน (U และ V) ในขณะที่การแยกตัวประกอบค่าเฉพาะใช้เพียงฐานเดียว

SVD เกี่ยวข้องกับ PCA อย่างไร?

PCA (Principal Component Analysis) คำนวณโดยตรงโดยใช้ SVD เมื่อคุณจัดตำแหน่งข้อมูลเมทริกซ์ X ให้อยู่ที่ศูนย์และคำนวณ SVD เป็น X = UΣVᵀ คอลัมน์ของ V คือองค์ประกอบหลัก (ทิศทางของความแปรปรวนสูงสุด), ค่าเอกฐานใน Σ จะเข้ารหัสค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานตามแต่ละองค์ประกอบ และ UΣ จะให้ข้อมูลที่โปรเจกต์ลงในระบบพิกัดใหม่ สำหรับข้อมูลที่ลบค่าเฉลี่ยแล้ว N ตัวอย่าง (N > 1): Var(PCᵢ) = σᵢ²/(N−1), SD(PCᵢ) = σᵢ/√(N−1).

การประมาณค่าอันดับต่ำคืออะไร?

การประมาณค่าอันดับ k ของเมทริกซ์ A จะเก็บเฉพาะค่าเอกฐานที่ใหญ่ที่สุด k ค่าและเวกเตอร์ที่เกี่ยวข้อง: A_k = U_k Σ_k V_k^T ตามทฤษฎีบท Eckart-Young นี่คือการประมาณค่าอันดับ k ที่ดีที่สุดทั้งในนอร์ม Frobenius และนอร์มสเปกตรัม นี่คือพื้นฐานทางคณิตศาสตร์เบื้องหลังการบีบอัดภาพ, การวิเคราะห์ความหมายแฝง และการลดมิติข้อมูล

หมายเลขเงื่อนไขของเมทริกซ์คืออะไร?

หมายเลขเงื่อนไข κ(A) = σ_max / σ_min คืออัตราส่วนของค่าเอกฐานที่ใหญ่ที่สุดต่อค่าที่น้อยที่สุด เป็นตัววัดความไวของผลลัพธ์ของระบบเชิงเส้น Ax = b ต่อการรบกวน หมายเลขเงื่อนไขที่มากหมายความว่าเมทริกซ์มีเงื่อนไขไม่ดี และข้อผิดพลาดเพียงเล็กน้อยในอินพุตอาจทำให้เกิดข้อผิดพลาดขนาดใหญ่ในผลลัพธ์ หมายเลขเงื่อนไขเป็น 1 (เมทริกซ์เชิงตั้งฉาก) คือสภาวะในอุดมคติ

แหล่งข้อมูลเพิ่มเติม

อ้างอิงเนื้อหา หน้าหรือเครื่องมือนี้ว่า:

"เครื่องคำนวณการแยกค่าเอกฐาน SVD" ที่ https://MiniWebtool.com/th/เครื่องคำนวณการแยกค่าเอกฐาน-SVD/ จาก MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

โดยทีมงาน miniwebtool. อัปเดตเมื่อ: 20 ก.พ. 2026

คุณสามารถลองใช้ AI แก้ปัญหาคณิตศาสตร์ GPT ของเรา เพื่อแก้ไขปัญหาทางคณิตศาสตร์ของคุณผ่านคำถามและคำตอบด้วยภาษาธรรมชาติ.