Kalkulator Okręgu Wpisanego
Oblicz okrąg wpisany (incircle) w trójkąt. Wprowadź trzy boki lub współrzędne trzech wierzchołków, aby znaleźć promień okręgu wpisanego, środek okręgu, punkty styczności, długości odcinków stycznych, trójkąt stykowy oraz zobacz interaktywny diagram z wzorami krok po kroku.
Blokada reklam uniemożliwia wyświetlanie reklam
MiniWebtool jest darmowy dzięki reklamom. Jeśli to narzędzie Ci pomogło, wesprzyj nas przez Premium (bez reklam + szybciej) albo dodaj MiniWebtool.com do wyjątków i odśwież stronę.
- Albo przejdź na Premium (bez reklam)
- Zezwól na reklamy dla MiniWebtool.com, potem odśwież
O Kalkulator Okręgu Wpisanego
Kalkulator okręgu wpisanego (Inscribed Circle Calculator) znajduje parametry okręgu wpisanego w dowolny trójkąt. Okrąg wpisany — znany również jako incircle — to największy okrąg, który mieści się całkowicie wewnątrz trójkąta i jest styczny do wszystkich jego trzech boków. Wprowadź długości trzech boków lub współrzędne trzech wierzchołków, aby natychmiast obliczyć promień okręgu wpisanego (inradius), położenie środka (incenter), punkty styczności, długości odcinków stycznych, trójkąt styczności, promienie okręgów dopisanych i inne dane, wraz z interaktywnym diagramem SVG i wzorami krok po kroku.
Kluczowe pojęcia dotyczące okręgu wpisanego
Wzory dotyczące okręgu wpisanego
Dla trójkąta o bokach a, b, c i połowie obwodu s = (a + b + c) / 2:
| Właściwość | Wzór | Opis |
|---|---|---|
| Pole trójkąta (Herona) | \(K = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\) | Pole obliczone z trzech boków przy użyciu połowy obwodu |
| Promień okręgu wpisanego | \(r = \frac{K}{s}\) | Promień okręgu wpisanego w trójkąt |
| Pole okręgu wpisanego | \(A = \pi r^2\) | Pole powierzchni ograniczonej przez okrąg wpisany |
| Obwód okręgu wpisanego | \(C = 2\pi r\) | Długość obwodu okręgu wpisanego |
| Współrzędne incentrum | \(I = \frac{a \cdot A + b \cdot B + c \cdot C}{a+b+c}\) | Średnia ważona wierzchołków względem długości przeciwległych boków |
| Długość stycznej z A | \(t_A = s - a\) | Odległość od wierzchołka A do najbliższych punktów styczności |
| Promień okręgu dopisanego | \(r_A = \frac{K}{s-a}\) | Promień okręgu dopisanego naprzeciwko wierzchołka A |
| Odległość Eulera | \(d = \sqrt{R(R-2r)}\) | Odległość między środkiem okręgu opisanego a wpisanego |
Okrąg wpisany a okrąg opisany
Okrąg wpisany (incircle) i okrąg opisany (circumcircle) to dwa najbardziej podstawowe okręgi związane z trójkątem, ale mają one odmienne właściwości:
- Okrąg wpisany: Mieści się wewnątrz trójkąta, jest styczny do wszystkich trzech boków. Wyznaczany przez dwusieczne kątów. Środek zawsze leży wewnątrz trójkąta.
- Okrąg opisany: Przechodzi przez wszystkie trzy wierzchołki, zazwyczaj jest większy. Wyznaczany przez symetralne boków. Środek może leżeć na zewnątrz w przypadku trójkątów rozwartokątnych.
- Nierówność Eulera: Dla każdego trójkąta zachodzi \(R \geq 2r\), przy czym równość występuje tylko dla trójkątów równobocznych.
Długości stycznych i trójkąt styczności
Gdy okrąg wpisany dotyka boku BC w punkcie D, boku CA w punkcie E i boku AB w punkcie F, długości stycznych z każdego wierzchołka są równe: z A odległości AF = AE = s − a; z B odległości BF = BD = s − b; z C odległości CD = CE = s − c. Trójkąt DEF utworzony przez połączenie tych punktów styczności nazywany jest trójkąt styczności (lub trójkątem intouch). Trójkąt ten ma specjalne właściwości: jego kąty są powiązane z kątami oryginalnego trójkąta wzorem ∠D = 90° − A/2.
Okręgi dopisane: Trzy okręgi towarzyszące
Każdy trójkąt ma trzy okręgi dopisane — okręgi, które są styczne do jednego boku trójkąta i do przedłużeń dwóch pozostałych boków. Okrąg dopisany naprzeciw wierzchołka A ma promień r_A = K/(s−a), naprzeciw B ma r_B = K/(s−b), a naprzeciw C ma r_C = K/(s−c). Elegancka tożsamość łączy wszystkie cztery promienie: 1/r = 1/r_A + 1/r_B + 1/r_C. Okręgi dopisane są istotne w zaawansowanej geometrii trójkąta i pojawiają się m.in. w konstrukcji punktu Nagela.
Jak znaleźć okrąg wpisany
- Wybierz metodę wprowadzania: Wybierz "Trzy boki", jeśli znasz długości boków a, b, c, lub "Trzy wierzchołki", jeśli masz współrzędne każdego wierzchołka.
- Wprowadź wartości: Wpisz długości trzech boków lub współrzędne (x, y) wierzchołków A, B i C. Kliknij szybki przykład, aby automatycznie wypełnić przykładowe dane.
- Kliknij Oblicz: Naciśnij przycisk "Oblicz okrąg wpisany".
- Przejrzyj wyniki: Zobacz promień r, współrzędne incentrum, pole i obwód okręgu wpisanego, punkty styczności, długości stycznych, promienie okręgów dopisanych oraz stosunek R/r.
- Eksploruj diagram: Przełączaj warstwy dla okręgu wpisanego, dwusiecznych kątów, punktów styczności, trójkąta styczności i etykiet, aby zwizualizować geometrię.
Praktyczne zastosowania
Okrąg wpisany ma wiele praktycznych zastosowań. W produkcji promień okręgu wpisanego określa największy okrągły element (śruba, wiertło, rura), który zmieści się w trójkątnym otworze. W architekturze okręgi wpisane pomagają projektować maksymalne elementy koliste w obrębie trójkątnych rzutów kondygnacji. W geometrii obliczeniowej okrąg wpisany i okręgi dopisane są używane w algorytmach zagęszczania siatki do analizy elementów skończonych. Promień okręgu wpisanego służy również jako miara "tłustości" trójkąta — cienkie trójkąty mają małe promienie wpisane w stosunku do promieni opisanych, co jest ważne dla stabilności numerycznej w symulacjach.
FAQ
Cytuj ten materiał, stronę lub narzędzie w następujący sposób:
"Kalkulator Okręgu Wpisanego" na https://MiniWebtool.com/pl// z MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/
przez zespół miniwebtool. Zaktualizowano: 2026-04-03
Możesz także wypróbować nasz AI Rozwiązywacz Matematyczny GPT, aby rozwiązywać swoje problemy matematyczne poprzez pytania i odpowiedzi w języku naturalnym.