正規分布電卓

正規分布電卓は、統計学において最も重要な連続確率分布である正規（ガウス）分布の確率を計算します。平均 (μ) と標準偏差 (σ) を入力することで、ある値以下、ある値以上、または2つの値の間に確率変数が収まる確率、あるいは特定の分位点を求めることができます。結果には、確率領域が塗りつぶされたインタラクティブなベルカーブの視覚化、zスコア変換、およびステップバイステップの計算内訳が含まれます。

正規分布とは何ですか？

正規分布（ガウス分布またはベルカーブとも呼ばれる）は、平均 (μ) を中心とした対称的な連続確率分布です。以下の2つのパラメータによって完全に定義されます：

• 平均 (μ) — 分布の中心であり、ベルカーブの頂点が発生する場所です。
• 標準偏差 (σ) — 広がりを制御します。σ が大きいほど、曲線はより広く平坦になります。

身長、テストのスコア、測定誤差、IQスコアなど、多くの自然現象が近似的に正規分布に従います。中心極限定理により、あらゆる分布からの十分に大きな標本の平均は正規分布に収束することが保証されており、これが推測統計学の基礎となっています。

正規分布の公式

正規分布の確率密度関数 (PDF) は以下の通りです：

累積分布関数 (CDF) は、X が x 以下である確率を示します：

zスコアは、あらゆる正規分布の値を標準正規分布（平均 = 0、標準偏差 = 1）に変換します：

この電卓の使い方

1. 計算モードを選択する: 左側 P(X ≤ x)、右側 P(X ≥ x)、範囲指定 P(a ≤ X ≤ b)、または逆計算（確率から x を求める）を選択します。
2. 分布パラメータを入力する: 平均 (μ) と標準偏差 (σ) を入力します。標準正規分布の場合は、μ = 0、σ = 1 を使用します。
3. 特定の値を入力する: モードに応じて、x の値、上下限、または目標確率を入力します。
4. 結果を確認する: 「計算」をクリックして、確率、zスコア、塗りつぶされた領域を持つインタラクティブなベルカーブ、およびステップバイステップの内訳を確認します。

PDF、CDF、および逆 CDF の理解

• PDF (確率密度関数): 特定の値の相対的な尤度を示します。これは、特定の点におけるベルカーブの高さを表します。連続分布の場合、PDF 自体は確率ではありません。確率は、ある区間にわたって PDF を積分することで得られます。
• CDF (累積分布関数): 変数が特定の値以下である確率 P(X ≤ x) を示します。グラフ上では、x の左側の曲線の下の面積です。CDF の範囲は 0 から 1 です。
• 逆 CDF (分位関数): CDF の逆であり、確率 p が与えられたときに P(X ≤ x) = p となる x の値を求めます。例えば、標準正規分布において p = 0.975 のときの逆 CDF は x ≈ 1.96 を返します。

68-95-99.7の法則

経験則（3シグマの法則とも呼ばれる）は、あらゆる正規分布における迅速な確率推定を提供します：

これは、値の約68%が平均から1標準偏差以内に、95%が2標準偏差以内に、そしてほぼすべて (99.7%) が3標準偏差以内に収まることを意味します。正規分布において 3σ を超える値は極めて稀です。

一般的なzスコア参照表

正規分布の一般的な応用

• 品質管理: μ ± nσ に基づく管理図と仕様限界を使用して製造工程を監視します。
• 仮説検定: z検定や信頼区間の p値と棄却限界値を決定します。
• 標準化テスト: SAT、GRE、IQスコアは正規分布に従うように設計されており、パーセンタイルによる比較が可能です。
• 自然科学: 測定誤差、生物学的特性（身長、体重）、および多くの物理量は正規分布しています。
• 金融: ブラック・ショールズ・モデルやバリュー・アット・リスク (VaR) は、オプション価格設定やリスク評価のために収益率が正規分布していると仮定します。

よくある質問

正規分布とは何ですか？

正規分布（ガウス分布またはベルカーブとも呼ばれる）は、平均と標準偏差によって定義される対称的な連続確率分布です。多くの自然現象が近似的にこれに従い、中心極限定理によって元の分布に関わらず標本平均が正規分布に収束することが保証されているため、統計学において最も重要な分布です。

zスコアとは何ですか、どのように使われますか？

zスコアは、ある値が平均から標準偏差何個分具体的に離れているかを測定する指標です。z = (x − μ) / σ として計算されます。zスコアを使用すると、異なる正規分布の値を標準正規分布（平均 = 0、標準偏差 = 1）に変換することで比較が可能になります。zスコア 1.96 は第97.5パーセンタイルに対応します。

PDFとCDFの違いは何ですか？

PDF（確率密度関数）は特定の値の相対的な尤度を示し、その点におけるベルカーブの高さを表します。CDF（累積分布関数）は確率変数が特定の値以下になる確率を示し、その点の左側の曲線の下の面積を表します。CDFの範囲は常に0から1です。

68-95-99.7の法則とは何ですか？

68-95-99.7の法則（経験則または3シグマの法則とも呼ばれる）は、正規分布において、値の約68.27%が平均から1標準偏差以内に、95.45%が2標準偏差以内に、99.73%が3標準偏差以内に収まることを示しています。この法則により、詳細な計算なしに確率を素早く推定できます。

2つの値の間の確率を求めるにはどうすればよいですか？

正規分布における2つの値 a と b の間の確率を求めるには、P(a ≤ X ≤ b) = CDF(b) − CDF(a) を計算します。まず z = (x − 平均) / 標準偏差 を使用して両方の値を zスコアに変換し、各 zスコアの CDF を検索または計算して差し引きます。この電卓は「範囲指定」モードでこのプロセスを自動化します。