Calcolatore Spazio Nullo

Calcolatore Spazio Nullo

Il Calcolatore Spazio Nullo trova lo spazio nullo (kernel) di qualsiasi matrice risolvendo il sistema omogeneo Ax = 0. Inserisci una matrice di qualsiasi dimensione fino a 8×8 e ottieni la base completa dello spazio nullo con aritmetica frazionaria esatta, eliminazione gaussiana passo-passo fino a RREF, classificazione delle colonne (pivot vs libere) e verifica del teorema del rango-nullità.

Cos'è lo Spazio Nullo di una Matrice?

Lo spazio nullo (chiamato anche kernel) di una matrice \(m \times n\) \(A\) è l'insieme di tutti i vettori \(\mathbf{x}\) in \(\mathbb{R}^n\) che soddisfano:

$$A\mathbf{x} = \mathbf{0}$$

Scritto come insieme: \(\text{Null}(A) = \{ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n : A\mathbf{x} = \mathbf{0} \}\). Lo spazio nullo è sempre un sottospazio di \(\mathbb{R}^n\), il che significa che contiene il vettore nullo ed è chiuso rispetto all'addizione e alla moltiplicazione scalare.

Come Trovare lo Spazio Nullo

Passaggio 1. Imposta il numero di righe (m) e colonne (n) per la tua matrice utilizzando i controlli +/−, oppure fai clic su un esempio rapido per caricare una matrice predefinita.

Passaggio 2. Inserisci i valori della matrice nella griglia. Puoi digitare numeri interi, decimali o frazioni come 1/3 o -5/2. Usa Tab, Invio o i tasti freccia per spostarti tra le celle.

Passaggio 3. Clicca su Trova Spazio Nullo. Il calcolatore esegue l'eliminazione gaussiana per convertire la matrice in forma a scalini ridotta (RREF).

Passaggio 4. Identifica le colonne pivot e le colonne libere. Ogni colonna libera corrisponde a una variabile libera che può assumere qualsiasi valore.

Passaggio 5. Per ogni variabile libera, impostala a 1 e tutte le altre variabili libere a 0, quindi risolvi per le variabili pivot. I vettori risultanti formano una base per lo spazio nullo.

Spazio Nullo vs Spazio delle Colonne

Il Teorema del Rango-Nullità

Per qualsiasi matrice \(m \times n\) \(A\):

$$\text{rank}(A) + \text{nullity}(A) = n$$

Il rango è il numero di colonne pivot nella RREF e la nullità è il numero di colonne libere. Insieme rappresentano ogni colonna. Questo teorema è noto anche come teorema della dimensione per le mappe lineari.

Casi Speciali

Applicazioni dello Spazio Nullo

Domande Frequenti

Cos'è lo spazio nullo di una matrice?

Lo spazio nullo (o kernel) di una matrice A è l'insieme di tutti i vettori x tali che Ax = 0. È un sottospazio di R^n dove n è il numero di colonne. Lo spazio nullo contiene sempre il vettore nullo e può anche contenere infiniti vettori non nulli se la matrice ha variabili libere.

Come si trova lo spazio nullo?

Si riduce la matrice A in forma a scalini ridotta (RREF) utilizzando l'eliminazione gaussiana. Identifica le colonne pivot e le colonne libere. Per ogni variabile libera, impostala a 1 e tutte le altre variabili libere a 0, quindi risolvi per le variabili pivot. I vettori risultanti formano una base per lo spazio nullo.

Cos'è il teorema del rango-nullità?

Il teorema del rango-nullità afferma che per una matrice A m per n, rango(A) + nullità(A) = n, dove n è il numero di colonne. Il rango è il numero di colonne pivot e la nullità è la dimensione dello spazio nullo (numero di variabili libere).

Cosa significa se lo spazio nullo è banale?

Uno spazio nullo banale significa che l'unica soluzione per Ax = 0 è il vettore nullo x = 0. Ciò accade quando ogni colonna è una colonna pivot (rango di colonna pieno). Significa che le colonne di A sono linearmente indipendenti.

Le matrici non quadrate possono avere uno spazio nullo?

Sì. Qualsiasi matrice ha uno spazio nullo. Per una matrice m per n con m minore di n, lo spazio nullo è garantito essere non banale (dimensione almeno n - m) perché ci sono più incognite che equazioni, quindi esistono sempre variabili libere.