Kalkulator Gram-Schmidt

Selamat datang di Kalkulator Gram Schmidt, alat aljabar linier komprehensif yang mengortonormalkan sekumpulan vektor bebas linier menggunakan proses klasik Gram-Schmidt. Dapatkan rincian proyeksi langkah demi langkah, basis ortogonal dan ortonormal, visualisasi vektor interaktif, dan verifikasi ortogonalitas. Ideal untuk mahasiswa, pendidik, insinyur, dan siapa saja yang bekerja dengan ruang vektor.

Apa itu Proses Gram-Schmidt?

Proses Gram-Schmidt (dinamai menurut Jørgen Pedersen Gram dan Erhard Schmidt) adalah metode untuk mengortonormalkan sekumpulan vektor dalam ruang hasil kali dalam. Diberikan sekumpulan vektor bebas linier \(\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_n\}\), proses ini menghasilkan sekumpulan ortonormal \(\{\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots, \mathbf{e}_n\}\) yang merentang subruang yang sama.

Algoritma

Proses Gram-Schmidt bekerja dalam dua fase untuk setiap vektor:

1. Ortogonalisasi: Kurangi proyeksi terhadap semua vektor ortogonal yang telah dihitung sebelumnya
2. Normalisasi: Bagi dengan norma untuk mendapatkan vektor satuan

Di mana \(\langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle\) menunjukkan hasil kali dalam (titik) dan \(\|\mathbf{u}\| = \sqrt{\langle \mathbf{u}, \mathbf{u} \rangle}\) adalah norma Euclidean.

Cara Menggunakan Kalkulator Ini

1. Masukkan vektor Anda: Masukkan vektor yang bebas linier, satu per baris. Gunakan tanda kurung, kurung siku, atau cukup nilai yang dipisahkan koma. Semua vektor harus memiliki dimensi yang sama (2 hingga 10).
2. Atur presisi desimal: Pilih berapa banyak tempat desimal (2-10) untuk ditampilkan dalam hasil.
3. Klik Ortonormalkan: Kalkulator melakukan proses Gram-Schmidt penuh dan menunjukkan hasil yang lengkap.
4. Tinjau hasil: Periksa basis ortonormal, visualisasi interaktif, proyeksi langkah demi langkah, dan verifikasi ortogonalitas.

Memahami Hasil

Basis Ortogonal (\(\mathbf{u}_k\))

Vektor ortogonal perantara sebelum normalisasi. Vektor-vektor ini saling tegak lurus tetapi mungkin memiliki besaran yang berbeda. Basis ortogonal mempertahankan struktur bilangan bulat/rasional dari vektor asli, yang terkadang lebih disukai dalam pekerjaan teoretis.

Basis Ortonormal (\(\mathbf{e}_k\))

Output akhir — vektor yang saling tegak lurus (ortogonal) dan memiliki panjang satuan (normal). Ini adalah output standar dari proses Gram-Schmidt dan bentuk yang paling umum digunakan.

Tabel Verifikasi

Kalkulator memverifikasi keortonormalan dengan menghitung semua hasil kali titik berpasangan (yang harus bernilai 0 untuk pasangan yang berbeda) dan semua norma (yang harus bernilai 1). Ini berfungsi sebagai bukti matematis bahwa proses tersebut berhasil.

Hubungan dengan Dekomposisi QR

Proses Gram-Schmidt adalah metode klasik untuk menghitung dekomposisi QR dari suatu matriks. Jika Anda menyusun vektor input sebagai kolom dari matriks \(A\) dan vektor ortonormal sebagai kolom dari matriks \(Q\), maka:

Di mana \(Q\) adalah matriks ortogonal (kolom-kolomnya adalah vektor-vektor ortonormal) dan \(R\) adalah segitiga atas (entri-entrinya adalah koefisien proyeksi). Dekomposisi QR sangat mendasar dalam aljabar linier numerik untuk menyelesaikan masalah kuadrat terkecil, menghitung nilai eigen, dan faktorisasi matriks.

Aplikasi

Gram-Schmidt Klasik vs Modifikasi

Kalkulator ini mengimplementasikan algoritma Gram-Schmidt Klasik (CGS). Untuk komputasi numerik dengan aritmatika floating-point, algoritma Gram-Schmidt Modifikasi (MGS) menawarkan stabilitas numerik yang lebih baik dengan menghitung ulang proyeksi terhadap himpunan yang telah diortogonalisasi sebagian, bukan terhadap vektor asli. Namun, dalam aritmatika eksak (atau komputasi presisi tinggi), kedua algoritma menghasilkan hasil yang identik.

Pertanyaan yang Sering Diajukan

Apa itu proses Gram-Schmidt?

Proses Gram-Schmidt adalah algoritma untuk mengortonormalkan sekumpulan vektor dalam ruang hasil kali dalam. Proses ini mengambil sekumpulan vektor yang bebas linier dan menghasilkan sekumpulan ortonormal yang merentang subruang yang sama. Setiap vektor dibuat ortogonal terhadap semua vektor sebelumnya dengan mengurangkan proyeksinya, kemudian dinormalisasi ke panjang satuan.

Mengapa proses Gram-Schmidt penting?

Proses Gram-Schmidt sangat mendasar dalam aljabar linier dan memiliki banyak aplikasi: dekomposisi QR dari matriks, menyelesaikan masalah kuadrat terkecil, mengonstruksi basis ortonormal untuk ruang fungsi (misalnya, polinomial Legendre), pemrosesan sinyal, grafik komputer, dan metode numerik. Basis ortonormal menyederhanakan banyak perhitungan karena vektor basis saling tegak lurus dan memiliki panjang satuan.

Apa perbedaan antara vektor ortogonal dan ortonormal?

Vektor ortogonal saling tegak lurus satu sama lain (hasil kali titiknya adalah nol), tetapi mereka dapat memiliki besaran apa pun. Vektor ortonormal bersifat ortogonal DAN memiliki panjang satuan (besaran = 1). Proses Gram-Schmidt pertama-tama membuat vektor menjadi ortogonal, kemudian menormalisasinya untuk menghasilkan himpunan ortonormal.

Apa yang terjadi jika vektor input bergantung linier?

Jika vektor input bergantung linier, proses Gram-Schmidt akan menghasilkan vektor nol pada langkah tertentu (ketika sebuah vektor terletak dalam rentang vektor sebelumnya). Kalkulator ini mendeteksi dependensi linier dan melaporkan kesalahan. Untuk menggunakan kalkulator ini, semua vektor input harus bebas linier.

Bagaimana hubungan Gram-Schmidt dengan dekomposisi QR?

Dekomposisi QR memfaktorkan matriks A menjadi Q (matriks ortogonal) dan R (matriks segitiga atas). Proses Gram-Schmidt yang diterapkan pada kolom-kolom A menghasilkan kolom-kolom Q, sedangkan koefisien proyeksi membentuk entri-entri R. Hubungan ini menjadikan Gram-Schmidt metode klasik untuk menghitung faktorisasi QR.

Sumber Daya Tambahan

• Proses Gram-Schmidt - Wikipedia
• Dekomposisi QR - Wikipedia
• Ortonormalitas - Wikipedia