積分計算機

為微積分學生和專業人士提供不定積分與定積分的計算，包含詳細的分步解答、互動式函數視覺化以及全面的解釋。

積分計算機

歡迎使用積分計算機，這是一款功能強大的線上工具，用於計算定積分和不定積分，並提供詳細的逐步解題方案。無論您是正在學習積分技巧的微積分學生、正在解決複雜問題的工程師，還是任何需要快速評估積分的人，本計算機都能提供準確的符號結果和交互式視覺化圖表，幫助您理解積分過程。

什麼是積分？

積分是微積分的兩個基本運算之一（另一個是微分）。它代表微分的逆過程，用於尋找導數已知的函數（反導數），並用於計算面積、體積和累積量。

不定積分（反導數）

$$\int f(x) \, dx = F(x) + C$$

其中 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的反導數，意味著 $F'(x) = f(x)$，而 $C$ 是代表所有反導數系列的積分常數。

定積分

定積分計算函數與 x 軸在特定區間內的定向面積：

定積分

$$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$$

這個公式被稱為微積分基本定理，它將反導數和面積的概念聯繫起來，使我們能夠使用反導數來求定積分。

常用積分規則

以下是您需要了解的基本積分公式：

冪法則

$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (n 不等於 -1)

指數函數

$\int e^x \, dx = e^x + C$

自然對數

$\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C$

正弦函數

$\int \sin(x) \, dx = -\cos(x) + C$

餘弦函數

$\int \cos(x) \, dx = \sin(x) + C$

和差法則

$\int [f(x) + g(x)] \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx$

如何使用此計算機

選擇積分類型：選擇您要計算不定積分（返回反導數 + C）還是定積分（返回數值）。
輸入您的函數：使用標準數學符號輸入函數。支持的運算包括多項式 (x^2)、三角函數 (sin, cos, tan)、指數 (exp, e^x)、對數 (ln, log) 和平方根 (sqrt)。
指定變量：通常為 x，但您可以使用任何單個字母。
對於定積分：輸入下限和上限。您可以使用數字或表達式，如 pi, e 或 sqrt(2)。
計算：查看帶有逐步方案和交互式圖表的結果。

支持的函數語法

冪次： x^2, x^3, x^(-1)
三角函數： sin(x), cos(x), tan(x), sec(x), csc(x), cot(x)
反三角函數： asin(x), acos(x), atan(x)
指數函數： exp(x), e^x, 2^x
對數函數： ln(x), log(x)
雙曲函數： sinh(x), cosh(x), tanh(x)
其他： sqrt(x), abs(x)
常數： pi, e

微積分基本定理

微積分基本定理是數學中最重要的定理之一，它建立了微分和積分之間的聯繫。

第一部分：積分的導數

如果 $f$ 在 $[a, b]$ 上連續，且 $F(x) = \int_a^x f(t) \, dt$，則 $F'(x) = f(x)$。這意味著積分的導數可以還原原始函數。

第二部分：定積分的計算

如果 $f$ 在 $[a, b]$ 上連續，且 $F$ 是 $f$ 的任一反導數，則：

基本定理（第二部分）

$$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$$

該定理允許我們通過尋找反導數並計算端點處的差值來求定積分，而不是計算黎曼和的極限。

積分技巧

代換法 (u-substitution)

對於形式為 $\int f(g(x)) \cdot g'(x) \, dx$ 的積分，令 $u = g(x)$，則 $du = g'(x) \, dx$。這將積分轉換為 $\int f(u) \, du$，可能更容易求解。

分部積分法

基於微分的乘積法則：$\int u \, dv = uv - \int v \, du$。這對於函數乘積（如 $x \cdot e^x$ 或 $x \cdot \sin(x)$）非常有用。

部分分式法

對於有理函數（多項式的比率），將分式分解為可以單獨積分的更簡單項。

三角代換法

對於含有 $\sqrt{a^2 - x^2}$、$\sqrt{a^2 + x^2}$ 或 $\sqrt{x^2 - a^2}$ 的被積函數，使用適當的三角代換。

積分的應用

曲線下的面積

最基本的應用：定積分 $\int_a^b f(x) \, dx$ 給出從 $x = a$ 到 $x = b$ 之間曲線 $y = f(x)$ 與 x 軸之間的定向面積。

曲線間的面積

從 $a$ 到 $b$ 之間曲線 $y = f(x)$ 和 $y = g(x)$ 之間的面積為：$\int_a^b |f(x) - g(x)| \, dx$

旋轉體體積

將曲線繞軸旋轉會產生一個立體，其體積可以使用圓盤法計算：$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 \, dx$

物理應用

位移： 積分速度得到位移
功： $W = \int F(x) \, dx$（變力所做的功）
質心： 使用積分公式求得
概率： 概率密度曲線下的面積

常見問題

微積分中的積分是什麼？

積分是微積分中的一個核心概念，代表數量的累積，例如曲線下的面積或總變化量。不定積分（反導數）用於尋找一個其導數等於原始函數的函數。定積分則計算函數與 x 軸在特定區間內的定向面積。積分是微分的逆運算。

定積分和不定積分有什麼區別？

不定積分尋找函數的一般反導數，並包含一個積分常數 C。它寫作 f(x) dx 的積分 = F(x) + C。定積分在特定的上下限評估反導數，得到一個代表定向面積的數值。f(x) dx 從 a 到 b 的定積分等於 F(b) 減去 F(a)。

什麼是微積分基本定理？

微積分基本定理將微分和積分聯繫起來。第一部分指出，如果 F(x) 是 f(x) 的反導數，那麼 f(t)dt 從 a 到 x 的積分的導數等於 f(x)。第二部分指出，f(x)dx 從 a 到 b 的定積分等於 F(b) 減去 F(a)，其中 F 是 f 的任一反導數。該定理允許我們使用反導數來求定積分。

常見的積分技巧有哪些？

常見的積分技巧包括：用於多項式項的冪法則、用於複合函數的代換法（u-代換）、用於函數乘積的分部積分法、用於有理函數的部分分式法、用於含二次項平方根表達式的三角代換法，以及用於簡化三角被積函數的三角恆等式。技巧的選擇取決於被積函數的形式。

曲線下的面積代表什麼？

定積分代表函數與 x 軸之間的定向面積。x 軸上方的面積計為正，而下方的面積計為負。這個概念有很多應用：在物理學中，速度-時間圖下的面積給出位移；在經濟學中，邊際成本曲線下的面積給出總成本；在概率論中，概率密度函數下的面積給出概率。

其他相關工具:

積分類型：
函數 f(x)：
變量：
積分限制：	下限 (a)：上限 (b)：
💡 語法：使用 `^` 表示冪，`*` 表示乘法。函數：`sin`, `cos`, `tan`, `exp`, `ln`, `sqrt`。常數：`pi`, `e`。

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