Công cụ Trực quan hóa Vòng tròn Đơn vị Tương tác

Giới thiệu về Công cụ Trực quan hóa Vòng tròn Đơn vị Tương tác

Chào mừng bạn đến với Công cụ Trực quan hóa Vòng tròn Đơn vị Tương tác, một công cụ hỗ trợ học tập giúp bạn hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa góc và các hàm lượng giác. Hình minh họa động này cho thấy sin, cos, tan và các hàm nghịch đảo của chúng liên hệ như thế nào với các điểm trên vòng tròn đơn vị.

Vòng tròn đơn vị là gì?

Vòng tròn đơn vị là vòng tròn có bán kính bằng 1 và tâm nằm tại gốc tọa độ (0, 0). Đây là nền tảng của lượng giác và cung cấp một cách nhìn hình học cho các hàm lượng giác.

• Bán kính: Luôn bằng 1
• Tâm: Tại (0, 0)
• Phương trình: $$x^2 + y^2 = 1$$

Các hàm lượng giác trên vòng tròn đơn vị

Với một góc $\theta$ được đo từ trục x dương, điểm P trên vòng tròn đơn vị có tọa độ:

$$P = (\cos\theta, \sin\theta)$$

Sáu hàm lượng giác

• Sin (sin): $$\sin\theta = y$$
• Cos (cos): $$\cos\theta = x$$
• Tan (tan): $$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{y}{x}$$
• Cosec (csc): $$\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}$$ (không xác định khi $\sin\theta = 0$)
• Sec (sec): $$\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}$$ (không xác định khi $\cos\theta = 0$)
• Cot (cot): $$\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{1}{\tan\theta}$$

Các góc đặc biệt và giá trị tương ứng

Trên vòng tròn đơn vị có một số góc đặc biệt rất hữu ích khi ghi nhớ, đặc biệt là các góc bội số của 30° và 45°:

Độ	Radian	sin	cos	tan
0	0	0	1	0
30	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
45	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	1
60	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$
90	$\frac{\pi}{2}$	1	0	Không xác định
180	$\pi$	0	-1	0
270	$\frac{3\pi}{2}$	-1	0	Không xác định

Bốn góc phần tư

Mặt phẳng tọa độ được chia thành bốn góc phần tư, và dấu của các hàm lượng giác thay đổi theo từng góc phần tư:

• Góc phần tư I (0–90°): Tất cả các hàm đều dương (A)
• Góc phần tư II (90–180°): Chỉ sin và csc dương (S)
• Góc phần tư III (180–270°): Chỉ tan và cot dương (T)
• Góc phần tư IV (270–360°): Chỉ cos và sec dương (C)

Mẹo ghi nhớ bằng tiếng Anh: ASTC – "All Students Take Calculus".

Cách sử dụng công cụ này

1. Nhập giá trị góc vào ô nhập liệu.
2. Chọn đơn vị góc là độ hay radian.
3. Nhấn "Tính toán" để xem hình minh họa và các giá trị lượng giác.
4. Sử dụng các liên kết góc mẫu để chọn nhanh góc thường dùng.

Hiểu hình minh họa

Biểu đồ tương tác hiển thị:

• Đường tròn màu xanh lam: Vòng tròn đơn vị có bán kính 1
• Điểm màu đỏ: Điểm trên vòng tròn ứng với góc đã chọn
• Đường màu xanh lá: Biểu diễn cos (khoảng cách ngang từ gốc tọa độ)
• Đường màu xanh dương: Biểu diễn sin (khoảng cách dọc từ gốc tọa độ)
• Cung màu cam: Cung góc tính từ trục x dương
• Đường nét đứt màu tím: Biểu diễn đường tiếp tuyến (tan)

Ứng dụng của vòng tròn đơn vị

• Vật lý: Chuyển động sóng, dao động, chuyển động tròn
• Kỹ thuật: Xử lý tín hiệu, mạch AC, cơ học quay
• Đồ họa máy tính: Xoay, hoạt ảnh, phát triển trò chơi
• Định vị và dẫn đường: Tính toán GPS, trắc địa
• Âm nhạc: Phân tích sóng âm, tổng hợp âm thanh

Tài nguyên tham khảo thêm

• Hàm lượng giác - Wikipedia
• Unit Circle - Wolfram MathWorld
• Unit Circle - Wikipedia (tiếng Anh)