Calcolatore del Rotore

Calcola il rotore ∇×F di qualsiasi campo vettoriale 2D o 3D con l'espansione del determinante del prodotto vettoriale passo dopo passo. Inserisci le funzioni componenti P, Q (e R per il 3D), ottieni il rotore simbolico, valuta in un punto, identifica i campi irrotazionali e visualizza un'interazione del campo vettoriale con sovrapposizione della vorticità.

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Calcolatore del Rotore

Il Calcolatore del Rotore calcola il rotore ∇×F di qualsiasi campo vettoriale 2D o 3D con l'espansione completa passo dopo passo del determinante del prodotto vettoriale. Inserisci le componenti del tuo campo vettoriale P, Q (e R per il 3D), opzionalmente effettua la valutazione in un punto specifico e ottieni il rotore simbolico, la classificazione della rotazione e, per i campi 2D, una visualizzazione interattiva con una mappa di calore della vorticità e un flusso di particelle animato che mostra il comportamento rotazionale del campo.

Cos'è il rotore?

Il rotore di un campo vettoriale $\mathbf{F}$ misura la rotazione infinitesimale del campo in ogni punto. Per un campo 3D $\mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle$, il rotore viene calcolato come un prodotto vettoriale:

$$\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix}$$

L'espansione del determinante fornisce il vettore rotore:

$$\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right\rangle$$

Per un campo 2D $\mathbf{F} = \langle P, Q \rangle$, il rotore si riduce allo scalare $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$, che rappresenta la rotazione nel piano xy.

Significato Fisico del Rotore

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Rotazione Antioraria (rotore > 0)

Una minuscola ruota a pale posizionata qui ruoterebbe in senso antiorario. Il campo circola in direzione positiva.

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Rotazione Oraria (rotore < 0)

Una minuscola ruota a pale posizionata qui ruoterebbe in senso orario. Il campo circola in direzione negativa.

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Irrotazionale (rotore = 0)

Nessuna rotazione netta — il campo è conservativo. Esiste una funzione potenziale φ tale che F = ∇φ.

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Teorema di Stokes

L'integrale di superficie del rotore è uguale all'integrale di linea lungo il bordo: circolazione = rotazione totale.

Formule del Rotore in Diversi Sistemi di Coordinate

Sistema di Coordinate	Formula del Rotore
Cartesiano 2D	$\text{rot}\,\mathbf{F} = \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$ (scalare)
Cartesiano 3D	$\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right\rangle$
Cilindrico	$\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{1}{r}\frac{\partial F_z}{\partial \theta} - \frac{\partial F_\theta}{\partial z},\; \frac{\partial F_r}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial r},\; \frac{1}{r}\frac{\partial(rF_\theta)}{\partial r} - \frac{1}{r}\frac{\partial F_r}{\partial \theta} \right\rangle$
Sferico	Vedi espansione completa usando i fattori di scala $h_r=1, h_\theta=r, h_\phi=r\sin\theta$

Importanti Identità che Coinvolgono il Rotore

Identità	Formula
Rotore del gradiente	$\nabla \times (\nabla f) = \mathbf{0}$ (sempre zero — i gradienti sono irrotazionali)
Divergenza del rotore	$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0$ (sempre zero — i rotori sono solenoidali)
Linearità	$\nabla \times (a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a(\nabla \times \mathbf{F}) + b(\nabla \times \mathbf{G})$
Regola del prodotto	$\nabla \times (f\mathbf{F}) = f(\nabla \times \mathbf{F}) + (\nabla f) \times \mathbf{F}$
Teorema di Stokes	$\displaystyle\iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S} = \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$

Applicazioni del Rotore

Campo	Applicazione	Cosa Rappresenta il Rotore
Elettromagnetismo	Legge di Faraday	$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$ — i campi magnetici variabili creano campi elettrici circolanti
Elettromagnetismo	Legge di Ampère	$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}$ — le correnti elettriche creano campi magnetici circolanti
Dinamica dei Fluidi	Vorticità	$\boldsymbol{\omega} = \nabla \times \mathbf{v}$ — misura come ruota localmente il fluido
Meccanica	Velocità angolare	Per la rotazione di un corpo rigido $\mathbf{v} = \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}$, il rotore dà $2\boldsymbol{\omega}$
Campi conservativi	Indipendenza dal percorso	Se $\nabla \times \mathbf{F} = 0$, gli integrali di linea sono indipendenti dal percorso e esiste un potenziale

Come usare il Calcolatore del Rotore

Scegli la dimensione: Seleziona 2D per i campi F = ⟨P, Q⟩ (rotore scalare) o 3D per F = ⟨P, Q, R⟩ (rotore vettoriale) usando i pulsanti di commutazione.
Inserisci le funzioni componenti: Digita ogni funzione componente (P, Q e opzionalmente R) usando la notazione standard. Usa ^ per gli esponenti, * per la moltiplicazione e funzioni come sin(x), cos(y), exp(x), ln(x), sqrt(x). La moltiplicazione implicita è supportata (es. 2x = 2*x).
Inserisci un punto di valutazione (opzionale): Fornisci le coordinate separate da virgola per valutare il rotore numericamente e classificare la direzione di rotazione.
Clicca su Calcola Rotore: Visualizza il rotore simbolico, l'espansione del determinante del prodotto vettoriale passo dopo passo, la valutazione numerica e la classificazione della rotazione.
Esplora la visualizzazione: Per i campi 2D, visualizza le frecce del campo vettoriale con una mappa di calore della vorticità (arancione = antiorario, viola = orario) e il flusso animato di particelle.

Esempio Svolto

Trova il rotore di $\mathbf{F}(x, y, z) = \langle y z,\; x z,\; x y \rangle$ nel punto $(1, 2, 3)$:

Passaggio 1: Scrivi il determinante: $\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\ yz & xz & xy \end{vmatrix}$

Passaggio 2: Espandi: $\mathbf{i}(x - x) - \mathbf{j}(y - y) + \mathbf{k}(z - z) = \langle 0, 0, 0 \rangle$

Passaggio 3: Il rotore è identicamente zero — questo campo è irrotazionale (conservativo). Infatti, $\mathbf{F} = \nabla(xyz)$, confermando l'esistenza di una funzione potenziale.

Rotore vs. Divergenza

Proprietà	Rotore (∇×F)	Divergenza (∇·F)
Tipo di operatore	Prodotto vettoriale con ∇	Prodotto scalare con ∇
Output	Vettore (3D) / Scalare (2D)	Scalare
Misura	Rotazione / circolazione	Espansione / contrazione
Zero significa	Irrotazionale / conservativo	Solenoidale / incompressibile
Teorema	Teorema di Stokes	Teorema della divergenza (Gauss)

FAQ

Cos'è il rotore di un campo vettoriale?

Il rotore di un campo vettoriale misura la tendenza alla rotazione o circolazione in ogni punto. Per un campo 3D F = (P, Q, R), il rotore è un vettore calcolato tramite il prodotto vettoriale dell'operatore nabla con F: ∇×F = (∂R/∂y − ∂Q/∂z, ∂P/∂z − ∂R/∂x, ∂Q/∂x − ∂P/∂y). Un rotore positivo indica una rotazione antioraria, negativo indica una rotazione oraria.

Come si calcola il rotore?

Per calcolare il rotore di un campo vettoriale 3D, imposta un determinante 3×3 con i vettori unitari i, j, k nella prima riga, gli operatori di derivata parziale ∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z nella seconda riga e le componenti del campo P, Q, R nella terza riga. Espandi il determinante usando lo sviluppo di Laplace lungo la prima riga per ottenere ogni componente del vettore rotore.

Cosa significa quando il rotore è zero?

Quando il rotore è ovunque zero, il campo vettoriale è detto irrotazionale o conservativo. Ciò significa che esiste una funzione potenziale scalare φ tale che F = ∇φ, e l'integrale di linea di F lungo qualsiasi percorso chiuso è zero. I campi gravitazionali e i campi elettrostatici sono esempi di campi irrotazionali.

Qual è la differenza tra rotore e divergenza?

Il rotore misura la rotazione e produce un vettore (in 3D), mentre la divergenza misura l'espansione o la contrazione e produce uno scalare. Il rotore usa il prodotto vettoriale di nabla con F (∇×F), mentre la divergenza usa il prodotto scalare (∇·F). Un campo può avere rotore diverso da zero ma divergenza zero (come F = (−y, x, 0)), o rotore zero ma divergenza diversa da zero (come F = (x, y, z)).

Qual è il significato fisico del rotore?

Fisicamente, il rotore misura la tendenza di un campo vettoriale a circolare o ruotare attorno a un punto. Immagina di posizionare una minuscola ruota a pale in un flusso di fluido: il rotore ti dice quanto velocemente e in quale direzione ruoterebbe la ruota a pale. Nell'elettromagnetismo, il rotore appare nella legge di Faraday (i campi magnetici variabili creano campi elettrici circolanti) e nella legge di Ampère (le correnti creano campi magnetici circolanti). Nella dinamica dei fluidi, il rotore della velocità è chiamato vorticità.

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Sistema di Coordinate	Formula del Rotore
Cartesiano 2D	\(\text{rot}\,\mathbf{F} = \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\) (scalare)
Cartesiano 3D	\(\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right\rangle\)
Cilindrico	\(\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{1}{r}\frac{\partial F_z}{\partial \theta} - \frac{\partial F_\theta}{\partial z},\; \frac{\partial F_r}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial r},\; \frac{1}{r}\frac{\partial(rF_\theta)}{\partial r} - \frac{1}{r}\frac{\partial F_r}{\partial \theta} \right\rangle\)
Sferico	Vedi espansione completa usando i fattori di scala \(h_r=1, h_\theta=r, h_\phi=r\sin\theta\)

Identità	Formula
Rotore del gradiente	\(\nabla \times (\nabla f) = \mathbf{0}\) (sempre zero — i gradienti sono irrotazionali)
Divergenza del rotore	\(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0\) (sempre zero — i rotori sono solenoidali)
Linearità	\(\nabla \times (a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a(\nabla \times \mathbf{F}) + b(\nabla \times \mathbf{G})\)
Regola del prodotto	\(\nabla \times (f\mathbf{F}) = f(\nabla \times \mathbf{F}) + (\nabla f) \times \mathbf{F}\)
Teorema di Stokes	\(\displaystyle\iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S} = \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\)

Campo	Applicazione	Cosa Rappresenta il Rotore
Elettromagnetismo	Legge di Faraday	\(\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\) — i campi magnetici variabili creano campi elettrici circolanti
Elettromagnetismo	Legge di Ampère	\(\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}\) — le correnti elettriche creano campi magnetici circolanti
Dinamica dei Fluidi	Vorticità	\(\boldsymbol{\omega} = \nabla \times \mathbf{v}\) — misura come ruota localmente il fluido
Meccanica	Velocità angolare	Per la rotazione di un corpo rigido \(\mathbf{v} = \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}\), il rotore dà \(2\boldsymbol{\omega}\)
Campi conservativi	Indipendenza dal percorso	Se \(\nabla \times \mathbf{F} = 0\), gli integrali di linea sono indipendenti dal percorso e esiste un potenziale

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Cos'è il rotore?

Significato Fisico del Rotore

Formule del Rotore in Diversi Sistemi di Coordinate

Importanti Identità che Coinvolgono il Rotore

Applicazioni del Rotore

Come usare il Calcolatore del Rotore

Esempio Svolto

Rotore vs. Divergenza

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