Calculateur de Décomposition QR

Calculateur de Décomposition QR

Le Calculateur de décomposition QR factorise toute matrice A en le produit d'une matrice orthogonale Q et d'une matrice triangulaire supérieure R, de sorte que A = QR. Saisissez une matrice de 2×2 à 5×5 (y compris les matrices non carrées où les lignes ≥ colonnes) et obtenez l'orthogonalisation complète de Gram-Schmidt avec des solutions étape par étape, une animation interactive, la vérification de l'orthogonalité QᵀQ = I, et des aperçus éducatifs détaillés.

Qu'est-ce que la décomposition QR ?

La décomposition QR (également appelée factorisation QR) écrit une matrice A comme :

$$A = QR$$

où Q est une matrice orthogonale (ses colonnes sont des vecteurs orthonormaux satisfaisant QᵀQ = I), et R est une matrice triangulaire supérieure. Pour une matrice m×n avec m ≥ n et un rang de colonne plein, la décomposition QR réduite donne Q comme m×n et R comme n×n.

Le procédé de Gram-Schmidt expliqué

Étant donné les vecteurs colonnes a₁, a₂, …, aₙ de A, l'algorithme classique de Gram-Schmidt produit des vecteurs orthonormaux e₁, e₂, …, eₙ :

Étape 1. Poser u₁ = a₁, puis normaliser : e₁ = u₁ / ‖u₁‖.

Étape 2. Pour chaque colonne suivante aⱼ, soustraire ses projections sur tous les eₖ précédents :

$$\mathbf{u}_j = \mathbf{a}_j - \sum_{k=1}^{j-1} (\mathbf{a}_j \cdot \mathbf{e}_k) \, \mathbf{e}_k$$

Ensuite, normaliser : eⱼ = uⱼ / ‖uⱼ‖.

Étape 3. La matrice Q a e₁, …, eₙ comme colonnes. R est triangulaire supérieure avec des entrées rᵢⱼ = eᵢ · aⱼ.

Comment utiliser ce calculateur

Étape 1. Définissez les dimensions de la matrice (lignes × colonnes). Les lignes doivent être ≥ colonnes pour la décomposition QR.

Étape 2. Saisissez les valeurs dans la grille, ou cliquez sur un exemple rapide pour charger un préréglage. Utilisez Tab ou les touches fléchées pour naviguer.

Étape 3. Cliquez sur Décomposer A = QR. Le calculateur exécute le procédé de Gram-Schmidt et affiche Q et R.

Étape 4. Regardez l'animation de Gram-Schmidt pour voir comment chaque colonne est orthogonalisée : vecteur original → soustraire les projections → résultat non normalisé → vecteur orthonormal normalisé.

Étape 5. Vérifiez le résultat : assurez-vous que QR = A et QᵀQ = I (matrice identité). Suivez la dérivation complète à l'aide du navigateur d'étapes.

Applications de la décomposition QR

QR vs. autres décompositions de matrices

Foire aux questions

Qu'est-ce que la décomposition QR ?

La décomposition QR factorise une matrice A en le produit d'une matrice orthogonale Q (dont les colonnes sont orthonormales) et d'une matrice triangulaire supérieure R. Toute matrice réelle avec des colonnes linéairement indépendantes possède une factorisation QR unique lorsque nous exigeons que R ait des entrées diagonales positives.

Qu'est-ce que le procédé de Gram-Schmidt ?

Le procédé de Gram-Schmidt est un algorithme qui prend un ensemble de vecteurs linéairement indépendants et produit un ensemble orthonormal couvrant le même sous-espace. Il fonctionne en soustrayant itérativement les projections sur tous les vecteurs orthonormaux précédemment calculés, puis en normalisant le résidu.

La décomposition QR fonctionne-t-elle pour les matrices non carrées ?

Oui. Pour une matrice m×n où m ≥ n, la décomposition QR réduite (ou mince) donne Q comme m×n avec des colonnes orthonormales et R comme n×n triangulaire supérieure. C'est la forme la plus couramment utilisée en pratique, en particulier pour les problèmes de moindres carrés.

Quand dois-je utiliser QR au lieu de la décomposition LU ?

Utilisez QR lorsque la stabilité numérique importe plus que la vitesse — par exemple, avec des matrices mal conditionnées, des problèmes de moindres carrés ou le calcul de valeurs propres. LU est plus rapide (environ 2× pour les systèmes carrés) mais peut amplifier les erreurs d'arrondi. QR préserve les normes vectorielles car Q est orthogonale.

Quelle est la différence entre QR et SVD ?

Toutes deux produisent des facteurs orthogonaux, mais la SVD décompose A en trois matrices (UΣVᵀ) révélant les valeurs singulières et le rang, tandis que QR donne deux matrices (QR) et est plus rapide à calculer. La SVD est préférée pour les problèmes de rang déficient et le calcul de pseudoinverse ; QR est préférée pour résoudre les systèmes de rang plein et les algorithmes de valeurs propres.