Kettenbruch-Rechner

Willkommen beim Kettenbruch-Rechner — ein leistungsstarkes Tool, das jede Dezimalzahl, jeden Bruch oder jede Quadratwurzel in ihre Kettenbruchdarstellung umwandelt. Sehen Sie die berühmte Notation [a₀; a₁, a₂, ...], erkunden Sie rationale Näherungswerte (Näherungsbrüche) und visualisieren Sie die verschachtelte Bruchstruktur interaktiv.

Was ist ein Kettenbruch?

Ein Kettenbruch ist eine Art, eine Zahl als eine verschachtelte Folge von ganzzahligen Teilen und Brüchen auszudrücken:

Wobei a₀, a₁, a₂, ... nicht-negative ganze Zahlen sind, die Teilquotienten genannt werden. Die Standardnotation lautet [a₀; a₁, a₂, a₃, ...]. Einige bemerkenswerte Beispiele:

• π (Pi) ≈ [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, ...] — die 292 bedeutet, dass Pi extrem gut durch 355/113 angenähert wird
• φ (Goldener Schnitt) = [1; 1, 1, 1, ...] — der am langsamsten konvergierende Kettenbruch
• √2 = [1; 2, 2, 2, ...] — periodisch, wie durch den Satz von Lagrange vorhergesagt
• e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, ...] — ein wunderschönes Muster

Wie der Algorithmus funktioniert

Für jede Dezimalzahl x

1. Berechnen Sie a₀ = ⌊x⌋ (Ganzzahlteil von x)
2. Setzen Sie x₁ = 1/(x − a₀), dann berechnen Sie a₁ = ⌊x₁⌋
3. Wiederholen: xₙ₊₁ = 1/(xₙ − aₙ), aₙ₊₁ = ⌊xₙ₊₁⌋
4. Stoppen Sie, wenn der Bruchteil Null ist (rational) oder wenn Sie genügend Terme haben

Für einen Bruch p/q (Euklidischer Algorithmus)

Für einen Bruch ist der Algorithmus identisch mit dem euklidischen Algorithmus für den ggT:

Jeder Divisionsschritt des euklidischen Algorithmus erzeugt einen Teilquotienten des Kettenbruchs.

Näherungsbrüche: Die besten rationalen Approximationen

Die Näherungsbrüche (Konvergente) pₙ/qₙ erhält man durch Abbrechen des Kettenbruchs an jedem Schritt. Sie erfüllen eine bemerkenswerte Eigenschaft: pₙ/qₙ ist die beste rationale Approximation an x mit einem Nenner ≤ qₙ.

Periodische Kettenbrüche

Nach dem Satz von Lagrange hat eine reelle Zahl genau dann einen periodischen Kettenbruch, wenn sie eine quadratische Irrationalzahl ist (Lösung einer quadratischen Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten). Dies schließt alle Quadratwurzeln von Nicht-Quadratzahlen ein.

• √2 = [1; 2] — Periode der Länge 1
• √3 = [1; 1, 2] — Periode der Länge 2
• √7 = [2; 1, 1, 1, 4] — Periode der Länge 4
• √94 = [9; 1, 2, 3, 1, 1, 5, 1, 8, 1, 5, 1, 1, 3, 2, 1, 18] — Periode der Länge 16

So verwenden Sie diesen Rechner

1. Geben Sie einen Wert ein: Dezimalzahl (z. B. 2.71828), Bruch (z. B. 355/113) oder Quadratwurzel (z. B. sqrt(7))
2. Maximale Terme festlegen: Mehr Terme liefern mehr Teilquotienten und Näherungsbrüche
3. Klicken Sie auf Berechnen: Sehen Sie die Kettenbruch-Notation, animierte Terme, verschachtelte Visualisierung, die Tabelle der Näherungsbrüche und die euklidischen Schritte (für Brüche)

Häufig gestellte Fragen

Was ist ein Kettenbruch?

Ein Kettenbruch ist ein Ausdruck der Form a₀ + 1/(a₁ + 1/(a₂ + ...)), wobei a₀, a₁, a₂, ... Ganzzahlen sind, die Teilquotienten genannt werden. Jede reelle Zahl besitzt eine Kettenbruchentwicklung. Rationale Zahlen haben endliche Entwicklungen; irrationale Zahlen haben unendliche. Quadratische Irrationalzahlen (wie Quadratwurzeln) haben periodische Entwicklungen.

Wie wandelt man eine Dezimalzahl in einen Kettenbruch um?

Nehmen Sie den Ganzzahlteil als ersten Term. Subtrahieren Sie diesen von der Zahl, bilden Sie den Kehrwert und wiederholen Sie den Vorgang. Beispiel: π ≈ 3.14159...: Ganzzahlteil = 3, Rest = 0.14159..., Kehrwert = 7.062..., Ganzzahlteil = 7, Rest = 0.062..., Kehrwert = 15.996..., Ganzzahlteil = 15, was [3; 7, 15, ...] ergibt.

Warum hat sqrt(2) einen periodischen Kettenbruch?

Nach dem Satz von Lagrange hat eine reelle Zahl genau dann einen periodischen Kettenbruch, wenn sie eine quadratische Irrationalzahl ist. √2 erfüllt x² = 2, ist also eine quadratische Irrationalzahl, was [1; 2, 2, 2, ...] ergibt. Der Goldene Schnitt φ = (1 + √5)/2 ergibt [1; 1, 1, 1, ...] — die einfachste mögliche Periode.

Was sind Näherungsbrüche und warum sind sie wichtig?

Näherungsbrüche sind die Brüche, die man durch Abbrechen des Kettenbruchs erhält. Sie sind die besten rationalen Approximationen — kein Bruch mit einem kleineren Nenner liegt näher an der Zielzahl. Deshalb sind 22/7 und 355/113 berühmte Annäherungen an π: Sie sind Näherungsbrüche des Kettenbruchs von π.

Wie hängt der Kettenbruch-Algorithmus mit dem euklidischen Algorithmus zusammen?

Wenn die Eingabe ein Bruch p/q ist, entspricht die Berechnung des Kettenbruchs dem euklidischen ggT-Algorithmus. Jeder Rest-und-Quotient-Schritt erzeugt genau einen Teilquotienten. Der Kettenbruch endet genau dann, wenn der ggT gefunden wurde.

Zusätzliche Ressourcen

• Kettenbruch - Wikipedia
• Näherungsbrüche - Wikipedia
• Euklidischer Algorithmus - Wikipedia