互動式單位圓視覺化工具
一個用於動態展示單位圓的視覺化工具。幫助你理解角度(度/弧度)與在關鍵角度處對應的正弦、餘弦和正切值之間的關係,支援互動式控制,並同時顯示六個三角函數的數值。
互動式單位圓視覺化工具
歡迎使用互動式單位圓視覺化工具。這個工具專為幫助你理解角度與三角函數之間的關係而設計。透過動態圖形,你可以直觀地看到 sin、cos、tan 以及其倒數函數如何對應到單位圓上的點。
什麼是單位圓?
單位圓是指以座標原點 (0, 0) 為圓心、半徑為 1 的圓。單位圓是三角學的基礎,為三角函數提供幾何上的解釋。
- 半徑:永遠等於 1
- 圓心:位於原點 (0, 0)
- 方程式: $$x^2 + y^2 = 1$$
單位圓上的三角函數
對於從正 X 軸逆時針量起的角度 $\theta$,單位圓上一點 P 的座標為:
$$P = (\cos\theta, \sin\theta)$$六個三角函數
- 正弦 (sin): $$\sin\theta = y$$
- 餘弦 (cos): $$\cos\theta = x$$
- 正切 (tan): $$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{y}{x}$$
- 餘割 (csc): $$\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}$$(當 $\sin\theta = 0$ 時未定義)
- 正割 (sec): $$\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}$$(當 $\cos\theta = 0$ 時未定義)
- 餘切 (cot): $$\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{1}{\tan\theta}$$
重要角度與對應數值
在單位圓上,有一些非常重要的「特殊角」,其三角函數值相當值得記住,特別是 30° 與 45° 的倍數:
| 角度(度) | 弧度 | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 30 | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ |
| 45 | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | 1 |
| 60 | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $\sqrt{3}$ |
| 90 | $\frac{\pi}{2}$ | 1 | 0 | 未定義 |
| 180 | $\pi$ | 0 | -1 | 0 |
| 270 | $\frac{3\pi}{2}$ | -1 | 0 | 未定義 |
四個象限
座標平面被劃分為四個象限,不同象限中三角函數的符號各不相同:
- 第一象限 (0–90°): 所有三角函數為正 (A)
- 第二象限 (90–180°): 只有 sin 與 csc 為正 (S)
- 第三象限 (180–270°): 只有 tan 與 cot 為正 (T)
- 第四象限 (270–360°): 只有 cos 與 sec 為正 (C)
英文記憶口訣:ASTC – "All Students Take Calculus"
如何使用此工具
- 在輸入框中輸入角度數值。
- 選擇角度單位(度或弧度)。
- 點擊「計算」以查看視覺化圖形與所有三角函數數值。
- 可利用上方的快速連結選擇常見角度。
如何解讀視覺化圖形
互動式圖形顯示:
- 藍色圓: 半徑為 1 的單位圓
- 紅色點: 對應當前角度的單位圓上的點
- 綠色線段: 表示 cos(從原點到投影點的水平距離)
- 藍色線段: 表示 sin(從原點到投影點的垂直距離)
- 橘色弧線: 自正 X 軸起算的角度弧
- 紫色虛線: 表示切線(tan)所在的直線
單位圓的應用
- 物理學: 波動、振動、圓周運動
- 工程學: 訊號處理、交流電路、旋轉機構
- 電腦圖學: 旋轉、動畫、遊戲開發
- 導航: GPS 計算、測量與製圖
- 音樂: 聲波分析、音訊合成
延伸閱讀
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由miniwebtool團隊提供。更新日期:2025年11月23日
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