互動式單位圓視覺化工具

互動式單位圓視覺化工具

歡迎使用互動式單位圓視覺化工具。這個工具專為幫助你理解角度與三角函數之間的關係而設計。透過動態圖形，你可以直觀地看到 sin、cos、tan 以及其倒數函數如何對應到單位圓上的點。

什麼是單位圓？

單位圓是指以座標原點 (0, 0) 為圓心、半徑為 1 的圓。單位圓是三角學的基礎，為三角函數提供幾何上的解釋。

• 半徑：永遠等於 1
• 圓心：位於原點 (0, 0)
• 方程式： $$x^2 + y^2 = 1$$

單位圓上的三角函數

對於從正 X 軸逆時針量起的角度 $\theta$，單位圓上一點 P 的座標為：

$$P = (\cos\theta, \sin\theta)$$

六個三角函數

• 正弦 (sin)： $$\sin\theta = y$$
• 餘弦 (cos)： $$\cos\theta = x$$
• 正切 (tan)： $$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{y}{x}$$
• 餘割 (csc)： $$\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}$$（當 $\sin\theta = 0$ 時未定義）
• 正割 (sec)： $$\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}$$（當 $\cos\theta = 0$ 時未定義）
• 餘切 (cot)： $$\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{1}{\tan\theta}$$

重要角度與對應數值

在單位圓上，有一些非常重要的「特殊角」，其三角函數值相當值得記住，特別是 30° 與 45° 的倍數：

角度（度）	弧度	sin	cos	tan
0	0	0	1	0
30	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$
45	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	1
60	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$
90	$\frac{\pi}{2}$	1	0	未定義
180	$\pi$	0	-1	0
270	$\frac{3\pi}{2}$	-1	0	未定義

四個象限

座標平面被劃分為四個象限，不同象限中三角函數的符號各不相同：

• 第一象限 (0–90°)： 所有三角函數為正 (A)
• 第二象限 (90–180°)： 只有 sin 與 csc 為正 (S)
• 第三象限 (180–270°)： 只有 tan 與 cot 為正 (T)
• 第四象限 (270–360°)： 只有 cos 與 sec 為正 (C)

英文記憶口訣：ASTC – "All Students Take Calculus"

如何使用此工具

1. 在輸入框中輸入角度數值。
2. 選擇角度單位（度或弧度）。
3. 點擊「計算」以查看視覺化圖形與所有三角函數數值。
4. 可利用上方的快速連結選擇常見角度。

如何解讀視覺化圖形

互動式圖形顯示：

• 藍色圓： 半徑為 1 的單位圓
• 紅色點： 對應當前角度的單位圓上的點
• 綠色線段： 表示 cos（從原點到投影點的水平距離）
• 藍色線段： 表示 sin（從原點到投影點的垂直距離）
• 橘色弧線： 自正 X 軸起算的角度弧
• 紫色虛線： 表示切線（tan）所在的直線

單位圓的應用

• 物理學： 波動、振動、圓周運動
• 工程學： 訊號處理、交流電路、旋轉機構
• 電腦圖學： 旋轉、動畫、遊戲開發
• 導航： GPS 計算、測量與製圖
• 音樂： 聲波分析、音訊合成

延伸閱讀

• 單位圓 - 維基百科
• Unit Circle - Wolfram MathWorld
• 三角函數 - 維基百科