Đơn giản hóa quy trình làm việc của bạn: Tìm kiếm miniwebtool.
Thêm
Trang chủ > Toán học > Phép toán toán học nâng cao > Máy tính Tổng Bình phương
 

Máy tính Tổng Bình phương

Tính tổng các số bình phương liên tiếp (1² + 2² + ... + n²) với công thức từng bước, biểu đồ tương tác và biểu diễn hình học trực quan.

Máy tính Tổng Bình phương
Ví dụ nhanh

Embed Máy tính Tổng Bình phương Widget

Giới thiệu về Máy tính Tổng Bình phương

Chào mừng bạn đến với Máy tính tổng bình phương, một công cụ toán học toàn diện giúp tính tổng các số bình phương liên tiếp với phân tích công thức từng bước, hình ảnh trực quan tương tác và biểu diễn hình học. Cho dù bạn đang học đại số, phân tích phương sai thống kê, giải các bài toán vật lý hay khám phá lý thuyết số, máy tính này đều cung cấp các phép tính chuyên nghiệp cho nhu cầu của bạn.

Tổng bình phương là gì?

Tổng bình phương đề cập đến việc cộng dồn các bình phương của một dãy số. Dạng phổ biến nhất là tổng của n số tự nhiên bình phương đầu tiên: 1² + 2² + 3² + ... + n². Khái niệm toán học cơ bản này xuất hiện xuyên suốt trong toán học, thống kê, vật lý và kỹ thuật.

Các số chính phương (1, 4, 9, 16, 25, ...) đại diện cho các bình phương hoàn hảo, có thể được hình dung như diện tích của các hình vuông có độ dài cạnh là số nguyên. Tổng bình phương kết hợp các diện tích này thành một tổng duy nhất.

Công thức tính tổng n bình phương đầu tiên

Công thức dạng đóng
$$\sum_{k=1}^{n} k^2 = 1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

Công thức tao nhã này, được các nhà toán học khám phá ra từ nhiều thế kỷ trước, cho phép tính toán tức thời tổng mà không cần cộng từng bình phương riêng lẻ. Ví dụ, tổng bình phương từ 1 đến 100 bằng 100 × 101 × 201 / 6 = 338,350.

Công thức tính tổng các bình phương liên tiếp (Phạm vi)

Để tìm tổng các bình phương từ n1² đến n2², hãy lấy tổng tính đến n2 trừ đi tổng tính đến (n1-1):

Công thức phạm vi
$$\sum_{k=n_1}^{n_2} k^2 = \frac{n_2(n_2+1)(2n_2+1)}{6} - \frac{(n_1-1)n_1(2n_1-1)}{6}$$

Cách sử dụng máy tính này

  1. Chọn chế độ tính toán:
    • N bình phương đầu tiên: Tính 1² + 2² + ... + n² (nhập n)
    • Phạm vi: Tính n₁² + ... + n₂² (nhập cả hai giới hạn)
    • Danh sách tùy chỉnh: Nhập các số cụ thể để bình phương và tính tổng
  2. Nhập giá trị của bạn: Nhập các số bắt buộc dựa trên chế độ bạn đã chọn.
  3. Tính toán: Nhấp vào nút tính toán để xem kết quả của bạn.
  4. Xem lại phân tích: Kiểm tra tính toán từng bước, hình ảnh trực quan và các số hạng riêng lẻ.

Ứng dụng của tổng bình phương

Thống kê & Phân tích dữ liệu

Tổng bình phương là nền tảng để tính phương sai và độ lệch chuẩn. Trong ANOVA (Phân tích phương sai), nó đo lường sự biến thiên giữa và trong các nhóm.

Vật lý & Kỹ thuật

Được sử dụng trong tính toán năng lượng, tính toán mô-men quán tính và xử lý tín hiệu. Định lý Pythagoras là một mối quan hệ tổng bình phương.

Lý thuyết số

Khám phá những con số nào có thể được biểu diễn dưới dạng tổng các bình phương. Định lý bốn số chính phương của Lagrange phát biểu rằng mọi số nguyên dương đều là tổng của bốn số chính phương.

Học máy (Machine Learning)

Hồi quy bình phương tối thiểu cực tiểu hóa tổng bình phương phần dư. Sai số bình phương trung bình (MSE) là một hàm mất mát phổ biến dựa trên tổng bình phương.

Tổng bình phương so với Bình phương của tổng

Đây là các phép toán khác nhau mang lại kết quả khác nhau:

Khái niệmCông thứcVí dụ (n=3)
Tổng bình phương1² + 2² + ... + n²1 + 4 + 9 = 14
Bình phương của tổng(1 + 2 + ... + n)²(1+2+3)² = 36

Sự khác biệt được giải thích bằng hằng đẳng thức khai triển: (a+b)² = a² + 2ab + b². Bình phương của một tổng bao gồm các số hạng tích chéo mà tổng bình phương không có.

Các công thức liên quan

Tổng n số tự nhiên đầu tiên

Tổng số học
$$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$$

Tổng n lập phương đầu tiên

Tổng lập phương
$$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$$

Thật thú vị, tổng các lập phương bằng bình phương của tổng các số tự nhiên!

Câu hỏi thường gặp

Công thức tính tổng bình phương là gì?

Tổng của n bình phương đầu tiên (1² + 2² + ... + n²) bằng n(n+1)(2n+1)/6. Công thức dạng đóng này cung cấp một cách hiệu quả để tính tổng mà không cần cộng từng bình phương riêng lẻ.

Làm thế nào để tính tổng các bình phương liên tiếp từ n1 đến n2?

Để tìm tổng các bình phương liên tiếp từ n1² đến n2², hãy sử dụng công thức: Tổng = n2(n2+1)(2n2+1)/6 - (n1-1)(n1)(2n1-1)/6. Cách này lấy tổng các bình phương đến n2 trừ đi tổng các bình phương đến (n1-1).

Tổng bình phương được sử dụng để làm gì?

Tổng bình phương là nền tảng trong thống kê (tính phương sai và độ lệch chuẩn), vật lý (tính toán năng lượng, mở rộng định lý Pythagoras), xử lý tín hiệu, các bài toán tối ưu hóa và lý thuyết số.

Tổng bình phương từ 1 đến 100 là bao nhiêu?

Tổng bình phương từ 1 đến 100 là 338,350. Sử dụng công thức n(n+1)(2n+1)/6 với n=100: 100 × 101 × 201 / 6 = 338,350.

Sự khác biệt giữa tổng bình phương và bình phương của tổng là gì?

Tổng bình phương (1² + 2² + ... + n²) cộng các giá trị bình phương riêng lẻ, trong khi bình phương của tổng (1 + 2 + ... + n)² là bình phương của toàn bộ tổng. Chúng mang lại kết quả khác nhau do các số hạng tích chéo trong khai triển.

Tổng bình phương liên quan như thế nào đến phương sai?

Trong thống kê, phương sai được tính bằng tổng bình phương các độ lệch so với giá trị trung bình, chia cho n (quần thể) hoặc n-1 (mẫu). Đây là lý do tại sao nó được gọi là "tổng bình phương" trong phân tích ANOVA và hồi quy.

Tài nguyên bổ sung

Tham khảo nội dung, trang hoặc công cụ này như sau:

"Máy tính Tổng Bình phương" tại https://MiniWebtool.com/vi/máy-tính-tổng-bình-phương/ từ MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

bởi đội ngũ miniwebtool. Cập nhật: 25 tháng 1, 2026

Bạn cũng có thể thử AI Giải Toán GPT của chúng tôi để giải quyết các vấn đề toán học của bạn thông qua câu hỏi và trả lời bằng ngôn ngữ tự nhiên.

Các công cụ liên quan khác:

Máy tính tổng khối
Máy tính tổng các số liên tiếp

Phép toán toán học nâng cao:

Công cụ nổi bật:

Máy tính tuổiTrình Trích Xuất Ảnh từ VideoCông cụ Mã hóa CaesarCông cụ đổi Pound sang KilogramMáy tính giảm giá phần trămTrình Tạo Mã MorseCông cụ chuyển đổi kg sang lbsTrình tạo số nguyên ngẫu nhiênCông cụ chuyển đổi chữ số La MãĐảo ngược văn bảnMáy tính thương và số dưCông cụ chuyển đổi nhị phân sang thập phânMáy tính phân số tối giảnCông cụ đếm hàngMáy tính thập phân sang phân sốXóa dấu cáchTrình tạo tên ngẫu nhiênTrình tạo chuỗi ngẫu nhiênCon số may mắn của tôi là gì?Máy tính HEXBộ chuyển đổi Feet và Inch sang CmCông cụ chia ảnhmáy-tính-số-mũ-độ-chính-xác-caoMáy tính Phân tích Thừa số Nguyên tốBộ chuyển đổi FPSTrình Tạo Màu Ngẫu NhiênMáy tính Cạnh huyềnBộ chuyển đổi thập phân sang nhị phânCông cụ tạo Sự thật hay Thách đốMáy tính căn bậc haiMáy tính So sánh Phân sốTrình tạo số xổ sốMáy phát động vật ngẫu nhiênMáy tính nhị phânMáy tính thời gianSắp xếp sốTrình tạo mê cungCông cụ chuyển đổi kPa sang psiMáy tính ngày trong năm - Hôm nay là ngày thứ mấy trong nămCông cụ chuyển đổi cm sang feet và inchMáy tính giai thừaTrình tạo đồ vật ngẫu nhiênMáy tính Ước số chung lớn nhấtTrình tạo ngày sinh ngẫu nhiênTung đồng xuCông cụ chuyển đổi inch sang centimetMáy tính xác suấtBộ lặp MP3Trình tạo Hash MD5Chọn tên ngẫu nhiênTrình chuyển đổi SRT sang TXTBộ chuyển đổi Nhị phân sang HexTrình trích xuất âm thanhTrình tạo bài tây ngẫu nhiênCông cụ chuyển đổi hệ thập lục phân sang nhị phânMáy tính giá trị tương laiSắp xếp theo thứ tự bảng chữ cáiCông cụ chuyển đổi gam sang poundDanh sách các số nguyên tốGhép VideoMáy tính One Rep Max (1RM)Máy tính tương hợp tình yêuTrình tạo anagramBộ chuyển đổi hex sang thập phân📅 Máy tính ngàyn chữ số đầu tiên của piCông cụ chuyển đổi thập phân sang bát phânTrình tạo tên miền ngẫu nhiênBộ giải mã Base64Bộ Giải Mã Mã MorseMáy tính Kiểm tra Chia hếttrình-tạo-nonogram-picrossTrình tạo PIN ngẫu nhiênchuyển đổi từ sang số điện thoạiCông cụ chuyển đổi bát phân sang thập phânCông cụ chuyển đổi centimet sang inchMáy tính độ lệch chuẩn - Độ chính xác caoBộ chọn số ngẫu nhiênMáy tính chuyển đổi hệ bát phân sang hệ thập lục phânTra cứu ID người dùng InstagramĐây có phải là Số Nguyên Tố?Trình nén VideoBộ chuyển đổi hệ cơ sốBộ chuyển đổi HEXMáy Tính Chu Vi Hình ElipMáy Tính Giờ Làm ViệcMáy tính ModuloMáy tính rượu tiệc cướiBộ Chuyển Đổi Mã Nhị Phân Sang Mã XámBộ Chuyển Đổi Nhị PhânBộ chọn màu hình ảnhCông cụ chuyển đổi pound sang gamDanh sách năm nhuậnMáy tính BitwiseMáy tính Log Base 10Bộ Chuyển Đổi Thời Gian Sang Thập PhânCông cụ tạo nhóm ngẫu nhiênGiải và luyện trò chơi 24Máy tính Cung Mặt trời, Mặt trăng & Cung mọc 🌞🌙✨Máy tính Hệ số Chuỗi FourierMáy tính Phương pháp Runge-Kutta (RK4)Máy tính WronskianMáy tính Vết Ma trậnMáy tính Hạng Ma trậnTrình tạo tần số âm thanh ngẫu nhiênTrình tạo hợp âm ngẫu nhiênTrình tạo loadout ngẫu nhiênTrình tạo bài Poker ngẫu nhiênTrình tạo khai cuộc cờ vua ngẫu nhiênTrình tạo nhân vật RPG ngẫu nhiênMáy tính Phân tích Giá trị Kỳ dị (SVD)Máy tính Hệ số GiniMáy tính Phân phối Dừng Chuỗi MarkovMáy tính Nguyên lý Chuồng bồ câuMáy tính số StirlingMáy tính Hoán vị lệch (Giai thừa phụ)Trình tạo Số CatalanTrình xác thực dãy bậc đồ thịMáy tính Cây khung nhỏ nhấtMáy tính Đường đi Ngắn nhất DijkstraTrình tạo Ma phươngMáy tính Số Hạnh phúcMáy tính Phỏng đoán CollatzMáy tính Độ congMáy tính Bán kính Hội tụMáy tính Phân tích LU Ma trậnMáy tính Phép chiếu VectorMáy tính Gram-SchmidtMáy tính Phương trình Hình cầuMáy tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳngMáy tính Trực tâm Tam giácMáy tính Trọng tâm Tam giácMáy tính Công thức Dây giàyMáy tính Phân số liên tụcMáy tính Nghịch đảo Nhân theo Mô-đunMáy tính Thuật toán Euclid Mở rộngMáy tính Hàm Phi EulerMáy tính Định lý Số dư Trung QuốcCông cụ tạo Biểu đồ Venn (3 Tập hợp)Máy tính lý thuyết tập hợpCông cụ tạo bảng chân trịCông cụ chuyển đổi cân nặng người sang kiếnMáy tính Calo cho MèoMáy tính tiết kiệm bóng đènMáy tính Chi phí TắmMáy tính chi phí điện đào BitcoinMáy tính Giá trị Giấy vệ sinhMáy tính Quãng đường Bàn phímTrình tạo Bingo từ thông dụngMáy tính Xác suất Ngày nghỉ ốmMáy tính lương thực tế theo giờMáy tính Cà phê vs. Giấc ngủMáy tính thời gian trả lời emailMáy tính FIRE - Tự do Tài chính, Nghỉ hưu sớmMáy tính thời gian lãng phí đi làmBộ đếm Chi phí Cuộc họpMáy tính lương trong nhà vệ sinhTrình tạo KakuroTrình tạo KenKen (Calcudoku)Tạo và giải SudokuMáy tính khay phô maiMáy tính đài phun sô cô laMáy tính ABV CocktailMáy tính khẩu phần mì SpaghettiMáy tính thời gian làm lạnh biaMáy tính Taco BarMáy tính BBQMáy tính quá liều CaffeineCông cụ lập kế hoạch tiệc pizzaMáy tính Nhà gạch LegoMáy tính Lấp đầy Phòng Bỏng ngôMáy tính va chạm đồng xu rơiMáy tính rơi xuyên Trái đấtMáy tính bức xạ chuốiMáy tính năng lượng Chuột HamsterMáy tính Tỷ lệ Lỗi Dịch chuyển Tức thờiMáy tính nấu gà bằng năng lượng động năngMáy tính lực nâng bóng bay HeliMáy tính Thời gian Sống sót ZombieTrình Kiểm Tra Kích Thước Thu Thập GooglebotMáy tính tỷ lệ bãi đỗ xeMáy tính Cây thông NoelMáy Tính Ngày Tận Thế Ma Cà RồngMáy tính giá trị PizzaMáy tính Quầy nước chanhTrình tạo tiểu bang Mỹ ngẫu nhiênTrình tạo lý do ngẫu nhiênTrình tạo hoạt động ngẫu nhiênTrình tạo công thức cocktail ngẫu nhiênCông cụ chọn phim ngẫu nhiênTrình tạo siêu năng lực ngẫu nhiênTrình tạo Haiku ngẫu nhiênTrình tạo lời nhắc viết ngẫu nhiênTrình tạo IMEI Ngẫu nhiênTrình tạo chân dung người dùng ngẫu nhiênTrình tạo địa chỉ giả ngẫu nhiênTrình tạo số cổng ngẫu nhiênTrình tạo NanoID ngẫu nhiênMáy tính tuổi thọ pinMáy tính độ rộng đường mạch PCBMáy tính sụt ápMáy tính định luật OhmMáy tính mã màu điện trởTrình tạo chuyển hướng HtaccessCông cụ tối ưu SVGCông cụ tạo faviconCông cụ tạo biểu thức CrontabTrình định dạng SQLCông cụ chuyển đổi cURL sang JSONBộ giải mã JWTCông cụ chuyển đổi JSON sang YAMLMáy tính Chuyển đổi MenCông cụ chuyển đổi kích thước khuôn bánhMáy tính độ ẩm bột nhàomáy-tính-tỷ-lệ-bánh-mìMáy tính kích thước thêu chữ thậpMáy tính vảiMáy tính sợi lenMáy tính nước muối và độ mặnMáy tính tỷ lệ pha cà phêMáy tính ABV bia thủ côngMáy tính sáp và tinh dầu thơm nếnMáy tính xút làm xà phòng (SAP)Máy tính kích thước in và độ phân giải (DPI/PPI)Máy tính Golden Hour và Blue HourMáy tính độ sâu trường ảnh (DoF)Máy tính xác suất xúc xắcMáy tính khoảng cách trồng câyMáy tính Chuyển đổi Tỷ lệ Mô hìnhMáy tính vật liệu nền bể cáMáy tính thể tích và mật độ cá bểQuay vòng quayĐổ xúc xắcTrình tạo oẳn tù tìQuả cầu Thần kỳ 8Công cụ tạo địa chỉ IP ngẫu nhiênTrình tạo thời gian ngẫu nhiênTrình tạo ngày ngẫu nhiênCông cụ tạo tọa độ ngẫu nhiênCông cụ tạo User-Agent ngẫu nhiênTrình tạo thẻ tín dụng ngẫu nhiênTrình tạo JSON ngẫu nhiênTrình tạo quốc gia ngẫu nhiênCông cụ tạo bảng màu ngẫu nhiênCông cụ tạo Emoji ngẫu nhiênCông cụ tạo bữa ăn ngẫu nhiênTrình tạo nhánh giải đấu ngẫu nhiênCông Cụ Tạo Phân Phối GaussMáy tính Giá trị PipMáy tính Lãi kép Hàng ngàyMáy tính Chiến lược MartingaleMáy tính Tiêu chí KellyMáy tính Stop Loss & Take ProfitMáy tính mở rộng Fibonaccimáy-tính-điểm-xoayMáy tính đòn bẩy tiền điện tửBộ chuyển đổi Satoshi sang Đô laMáy Tính Chênh Lệch Giá Tiền Điện TửMáy tính tổn thất tạm thờiMáy Tính Lợi Nhuận Quyền ChọnMáy Tính Biến Động Ngầm ĐịnhMáy tính Greek Quyền chọnMáy tính Định giá Quyền chọn Black-ScholesMáy tính rủi ro phá sảnMáy tính lợi nhuận bán khốngMáy tính Margin CallMáy Tính Kích Thước Vị Thếmáy tính giá trung bình cổ phiếuCông cụ xóa ký tự vô hìnhCông cụ Chuyển đổi Văn bản sang Danh sách SQLCông cụ trích xuất cột văn bảnMáy tính sự khác biệt danh sáchCông cụ tạo văn bản ZalgoCông cụ tạo nghệ thuật ASCIICông cụ tạo văn bản vô hình