Đơn giản hóa quy trình làm việc của bạn: Tìm kiếm miniwebtool.
Thêm
Trang chủ > Toán học > Phép toán toán học nâng cao > Máy tính Tổng Bình phương
 

Máy tính Tổng Bình phương

Tính tổng các số bình phương liên tiếp (1² + 2² + ... + n²) với công thức từng bước, biểu đồ tương tác và biểu diễn hình học trực quan.

Máy tính Tổng Bình phương
Ví dụ nhanh

Embed Máy tính Tổng Bình phương Widget

Giới thiệu về Máy tính Tổng Bình phương

Chào mừng bạn đến với Máy tính tổng bình phương, một công cụ toán học toàn diện giúp tính tổng các số bình phương liên tiếp với phân tích công thức từng bước, hình ảnh trực quan tương tác và biểu diễn hình học. Cho dù bạn đang học đại số, phân tích phương sai thống kê, giải các bài toán vật lý hay khám phá lý thuyết số, máy tính này đều cung cấp các phép tính chuyên nghiệp cho nhu cầu của bạn.

Tổng bình phương là gì?

Tổng bình phương đề cập đến việc cộng dồn các bình phương của một dãy số. Dạng phổ biến nhất là tổng của n số tự nhiên bình phương đầu tiên: 1² + 2² + 3² + ... + n². Khái niệm toán học cơ bản này xuất hiện xuyên suốt trong toán học, thống kê, vật lý và kỹ thuật.

Các số chính phương (1, 4, 9, 16, 25, ...) đại diện cho các bình phương hoàn hảo, có thể được hình dung như diện tích của các hình vuông có độ dài cạnh là số nguyên. Tổng bình phương kết hợp các diện tích này thành một tổng duy nhất.

Công thức tính tổng n bình phương đầu tiên

Công thức dạng đóng
$$\sum_{k=1}^{n} k^2 = 1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

Công thức tao nhã này, được các nhà toán học khám phá ra từ nhiều thế kỷ trước, cho phép tính toán tức thời tổng mà không cần cộng từng bình phương riêng lẻ. Ví dụ, tổng bình phương từ 1 đến 100 bằng 100 × 101 × 201 / 6 = 338,350.

Công thức tính tổng các bình phương liên tiếp (Phạm vi)

Để tìm tổng các bình phương từ n1² đến n2², hãy lấy tổng tính đến n2 trừ đi tổng tính đến (n1-1):

Công thức phạm vi
$$\sum_{k=n_1}^{n_2} k^2 = \frac{n_2(n_2+1)(2n_2+1)}{6} - \frac{(n_1-1)n_1(2n_1-1)}{6}$$

Cách sử dụng máy tính này

  1. Chọn chế độ tính toán:
    • N bình phương đầu tiên: Tính 1² + 2² + ... + n² (nhập n)
    • Phạm vi: Tính n₁² + ... + n₂² (nhập cả hai giới hạn)
    • Danh sách tùy chỉnh: Nhập các số cụ thể để bình phương và tính tổng
  2. Nhập giá trị của bạn: Nhập các số bắt buộc dựa trên chế độ bạn đã chọn.
  3. Tính toán: Nhấp vào nút tính toán để xem kết quả của bạn.
  4. Xem lại phân tích: Kiểm tra tính toán từng bước, hình ảnh trực quan và các số hạng riêng lẻ.

Ứng dụng của tổng bình phương

Thống kê & Phân tích dữ liệu

Tổng bình phương là nền tảng để tính phương sai và độ lệch chuẩn. Trong ANOVA (Phân tích phương sai), nó đo lường sự biến thiên giữa và trong các nhóm.

Vật lý & Kỹ thuật

Được sử dụng trong tính toán năng lượng, tính toán mô-men quán tính và xử lý tín hiệu. Định lý Pythagoras là một mối quan hệ tổng bình phương.

Lý thuyết số

Khám phá những con số nào có thể được biểu diễn dưới dạng tổng các bình phương. Định lý bốn số chính phương của Lagrange phát biểu rằng mọi số nguyên dương đều là tổng của bốn số chính phương.

Học máy (Machine Learning)

Hồi quy bình phương tối thiểu cực tiểu hóa tổng bình phương phần dư. Sai số bình phương trung bình (MSE) là một hàm mất mát phổ biến dựa trên tổng bình phương.

Tổng bình phương so với Bình phương của tổng

Đây là các phép toán khác nhau mang lại kết quả khác nhau:

Khái niệmCông thứcVí dụ (n=3)
Tổng bình phương1² + 2² + ... + n²1 + 4 + 9 = 14
Bình phương của tổng(1 + 2 + ... + n)²(1+2+3)² = 36

Sự khác biệt được giải thích bằng hằng đẳng thức khai triển: (a+b)² = a² + 2ab + b². Bình phương của một tổng bao gồm các số hạng tích chéo mà tổng bình phương không có.

Các công thức liên quan

Tổng n số tự nhiên đầu tiên

Tổng số học
$$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$$

Tổng n lập phương đầu tiên

Tổng lập phương
$$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$$

Thật thú vị, tổng các lập phương bằng bình phương của tổng các số tự nhiên!

Câu hỏi thường gặp

Công thức tính tổng bình phương là gì?

Tổng của n bình phương đầu tiên (1² + 2² + ... + n²) bằng n(n+1)(2n+1)/6. Công thức dạng đóng này cung cấp một cách hiệu quả để tính tổng mà không cần cộng từng bình phương riêng lẻ.

Làm thế nào để tính tổng các bình phương liên tiếp từ n1 đến n2?

Để tìm tổng các bình phương liên tiếp từ n1² đến n2², hãy sử dụng công thức: Tổng = n2(n2+1)(2n2+1)/6 - (n1-1)(n1)(2n1-1)/6. Cách này lấy tổng các bình phương đến n2 trừ đi tổng các bình phương đến (n1-1).

Tổng bình phương được sử dụng để làm gì?

Tổng bình phương là nền tảng trong thống kê (tính phương sai và độ lệch chuẩn), vật lý (tính toán năng lượng, mở rộng định lý Pythagoras), xử lý tín hiệu, các bài toán tối ưu hóa và lý thuyết số.

Tổng bình phương từ 1 đến 100 là bao nhiêu?

Tổng bình phương từ 1 đến 100 là 338,350. Sử dụng công thức n(n+1)(2n+1)/6 với n=100: 100 × 101 × 201 / 6 = 338,350.

Sự khác biệt giữa tổng bình phương và bình phương của tổng là gì?

Tổng bình phương (1² + 2² + ... + n²) cộng các giá trị bình phương riêng lẻ, trong khi bình phương của tổng (1 + 2 + ... + n)² là bình phương của toàn bộ tổng. Chúng mang lại kết quả khác nhau do các số hạng tích chéo trong khai triển.

Tổng bình phương liên quan như thế nào đến phương sai?

Trong thống kê, phương sai được tính bằng tổng bình phương các độ lệch so với giá trị trung bình, chia cho n (quần thể) hoặc n-1 (mẫu). Đây là lý do tại sao nó được gọi là "tổng bình phương" trong phân tích ANOVA và hồi quy.

Tài nguyên bổ sung

Tham khảo nội dung, trang hoặc công cụ này như sau:

"Máy tính Tổng Bình phương" tại https://MiniWebtool.com/vi/máy-tính-tổng-bình-phương/ từ MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

bởi đội ngũ miniwebtool. Cập nhật: 25 tháng 1, 2026

Bạn cũng có thể thử AI Giải Toán GPT của chúng tôi để giải quyết các vấn đề toán học của bạn thông qua câu hỏi và trả lời bằng ngôn ngữ tự nhiên.

Các công cụ liên quan khác:

Máy tính tổng khối
Máy tính tổng các số liên tiếp

Phép toán toán học nâng cao:

Công cụ nổi bật:

Máy tính tuổiCông cụ đổi Pound sang KilogramTrình Trích Xuất Ảnh từ VideoCông cụ chuyển đổi kg sang lbsMáy tính giảm giá phần trămCông cụ chuyển đổi chữ số La MãMáy tính phân số tối giảnMáy tính thương và số dưCông cụ Mã hóa CaesarCông cụ đếm hàngMáy tính Phân tích Thừa số Nguyên tốMáy tính thập phân sang phân sốTrình Tạo Mã MorseMáy tính nhị phânTrình tạo mê cungTrình tạo chuỗi ngẫu nhiênCông cụ chuyển đổi nhị phân sang thập phânMáy tính căn bậc haiXóa dấu cáchBộ chuyển đổi RGB sang HexBộ chuyển đổi Nhị phân sang HexSắp xếp sốBộ chuyển đổi thập phân sang nhị phânMáy tính Modulomáy-tính-số-mũ-độ-chính-xác-caoMáy tính HEXĐảo ngược văn bảnMáy tính So sánh Phân sốCông cụ chuyển đổi kPa sang psiTrình tạo ngày sinh ngẫu nhiênBộ chuyển đổi HEXBộ Chuyển Đổi Số Sang ChữMáy tính Cạnh huyềnĐây có phải là Số Nguyên Tố?Công cụ chuyển đổi hệ thập lục phân sang nhị phânGhép VideoBộ chuyển đổi hex sang thập phânSắp xếp theo thứ tự bảng chữ cáiCon số may mắn của tôi là gì?Trình cắt videoTrình chuyển đổi SRT sang TXTCông cụ chuyển đổi centimet sang inchCông cụ chuyển đổi cm sang feet và inchCông cụ chuyển đổi gam sang poundTrình tạo tên ngẫu nhiênCông cụ chuyển đổi phân số thành hỗn sốMáy Tính Độ Lệch Chuẩn Tương ĐốiChuyển đổi Nhị phân sang Bát phân📅 Máy tính ngàySo sánh hai chuỗiBộ chuyển đổi Thập phân sang Thập lục phânMáy tính độ lệch chuẩn - Độ chính xác caoBộ lặp MP3Máy tính BitwiseMáy tính giai thừaXóa Dòng Trùng Lặpcông cụ chuyển đổi thập phân sang phần trămBộ chuyển đổi Feet và Inch sang CmDanh sách năm nhuậnParaphraser AICông cụ chuyển đổi inch sang centimetCông cụ chuyển đổi bát phân sang thập phânChọn tên ngẫu nhiênMáy tính Kiểm tra Chia hếtCông cụ chia ảnhTrình nén VideoCông cụ tạo nhóm ngẫu nhiênMáy Tính Giờ Làm ViệcCông cụ chuyển đổi thập phân sang BCDBộ chuyển đổi Hex sang RGBBộ chuyển đổi hệ cơ sốBộ Chuyển Đổi Thời Gian Sang Thập Phânmáy tính BSAMáy tính LogaritMáy tính nhânMáy tính thời giancông cụ chuyển đổi ppm sang phần trămBộ chuyển đổi FPSĐiều chỉnh tốc độ videoBộ Chuyển Đổi Nhị PhânCông cụ chuyển đổi thập phân sang bát phânMáy tính Ước số chung lớn nhấttra-cứu-địa-chỉ-macDanh sách Dãy số FibonacciTrình chuyển đổi HTML sang văn bảnMáy tính TổngCông cụ chuyển đổi psi sang kPaMáy tính Cầu thangTrình tạo bài tây ngẫu nhiênBộ Chia Âm ThanhMáy tính Cung Mặt trời, Mặt trăng & Cung mọc 🌞🌙✨Trình tạo số xổ sốMáy tính biến đổi LaplaceTrình tạo đồ vật ngẫu nhiênAI Trình thêm dấu câuBộ đếm ký tựMáy Tính Hoa HồngMáy tính trung bình mẫuBộ chuyển đổi MP4 sang GIFMáy tính tỷ lệ pha cà phêMáy tính ABV bia thủ côngMáy tính sáp và tinh dầu thơm nếnMáy tính xút làm xà phòng (SAP)Máy tính kích thước in và độ phân giải (DPI/PPI)Máy tính Golden Hour và Blue HourMáy tính độ sâu trường ảnh (DoF)Máy tính xác suất xúc xắcMáy tính khoảng cách trồng câyMáy tính Chuyển đổi Tỷ lệ Mô hìnhMáy tính vật liệu nền bể cáMáy tính thể tích và mật độ cá bểQuay vòng quayĐổ xúc xắcTung đồng xuTrình tạo oẳn tù tìQuả cầu Thần kỳ 8Công cụ tạo địa chỉ IP ngẫu nhiênTrình tạo thời gian ngẫu nhiênTrình tạo ngày ngẫu nhiênCông cụ tạo tọa độ ngẫu nhiênCông cụ tạo User-Agent ngẫu nhiênTrình tạo thẻ tín dụng ngẫu nhiênTrình tạo JSON ngẫu nhiênTrình tạo quốc gia ngẫu nhiênCông cụ tạo bảng màu ngẫu nhiênCông cụ tạo Sự thật hay Thách đốCông cụ tạo Emoji ngẫu nhiênCông cụ tạo bữa ăn ngẫu nhiênTrình tạo nhánh giải đấu ngẫu nhiênCông Cụ Tạo Phân Phối GaussMáy tính Giá trị PipMáy tính Lãi kép Hàng ngàyMáy tính Chiến lược MartingaleMáy tính Tiêu chí KellyMáy tính Stop Loss & Take ProfitMáy tính mở rộng Fibonaccimáy-tính-điểm-xoayMáy tính đòn bẩy tiền điện tửBộ chuyển đổi Satoshi sang Đô laMáy Tính Chênh Lệch Giá Tiền Điện TửMáy tính tổn thất tạm thờiMáy Tính Lợi Nhuận Quyền ChọnMáy Tính Biến Động Ngầm ĐịnhMáy tính Greek Quyền chọnMáy tính Định giá Quyền chọn Black-ScholesMáy tính rủi ro phá sảnMáy tính lợi nhuận bán khốngMáy tính Margin CallMáy Tính Kích Thước Vị Thếmáy tính giá trung bình cổ phiếuCông cụ xóa ký tự vô hìnhCông cụ Chuyển đổi Văn bản sang Danh sách SQLCông cụ trích xuất cột văn bảnMáy tính sự khác biệt danh sáchCông cụ tạo văn bản ZalgoCông cụ tạo nghệ thuật ASCIICông cụ tạo văn bản vô hìnhcông-cụ-tạo-văn-bản-ngược-đầuCông cụ tạo văn bản ZalgoCông Cụ Tạo Chữ ĐẹpTrình đọc văn bản thành giọng nóiCông cụ Chuyển đổi Đọc BionicCông cụ kiểm tra mật độ từ khóaMáy tính điểm dễ đọcTrình tạo Lorem IpsumMáy tính Tiết kiệm Thời gian Hàng ngàyCông Cụ Xóa Dấu Ngoặc Kép Thông MinhTrình tạo bảng MarkdownEscape Unescape Chuỗi JSONTrình Tạo Slug URLCông cụ Mã hóa/Giải mã Thực thể HTMLMáy tính Tìm Giao điểm X và YMáy Tính Đỉnh và Trục Đối XứngMáy tính hợp hàmMáy Tính Hàm NgượcMáy Tính Miền Xác Định và Miền Giá TrịCông cụ vẽ đồ thị hàm sốCông Cụ Vẽ Đồ Thị Hệ Bất Phương TrìnhCông cụ giải bất phương trình trị tuyệt đốiCông cụ giải bất phương trìnhCông cụ Giải Hệ Phương Trình Tuyến TínhCông cụ giải phương trình căn thứcCông cụ giải phương trình trị tuyệt đốiCông cụ giải phương trình tuyến tínhMáy Tính Phép Chia Tổng HợpMáy Tính Chia Đa ThứcMáy Tính Mở Rộng Đa ThứcMáy tính phân tích thừa số đa thứcMáy tính biểu thức hữu tỉCông Cụ Đơn Giản Hóa Căn ThứcCông cụ Đơn giản hóa Biểu thức Đại sốCông cụ vẽ đồ thị hàm lượng giácMáy tính đẳng thức lượng giácCông cụ Trực quan hóa Vòng tròn Đơn vị Tương tácCông cụ chuyển đổi tọa độ Descartes sang CựcCông cụ chuyển đổi tọa độ cực sang tọa độ Đề-cácCông cụ chuyển đổi độ thập phân sang DMSCông cụ chuyển đổi DMS sang độ thập phânMáy tính Định lý CosinMáy tính Định lý SinCông cụ Giải Tam giác Tổng quátMáy Tính Tam Giác VuôngMáy Tính Hàm HyperbolMáy tính Cosec, Sec và CotangMáy tính atan2Máy tính arctanMáy tính Arccos (Cosin Nghịch đảo)Máy tính ArcsinMáy tính Tang chính xác caoMáy tính CosMáy tính SinMáy tính Độ dốc và Cấp 📐Máy tính góc cắt nghiêng 📐Công cụ kiểm tra góc vuông (Quy tắc 3-4-5) 📐Máy tính board foot 🪵Máy tính sàn thềmMáy tính Hàng rào 🏡Máy tính lớp phủ, đất và sỏi 🌱Máy tính khung tườngMáy tính mái nhàMáy tính độ dốc mái nhàMáy tính giấy dán tường 🎨Máy Tính Sàn 🏠Máy tính Gạch 🔲Máy tính sơn 🎨Máy tính Gạch và Vữa 🧱Máy tính bê tông 🧱Công cụ tìm đá sinh nhật và hoa cung hoàng đạoMáy Tính Cung Hoàng Đạo Cây CelticMáy tính tương hợp cung Mặt trăngTrình phân tích tương hợp cung hoàng đạo nâng caoLịch trăng non và trăng trònMáy tính Sự trở lại của Sao ThổLịch Sao Thủy Nghịch HànhMáy tính Cân bằng Modality Chiêm tinhMáy Tính Cân Bằng Nguyên Tố Chiêm TinhMáy tính cung sao ThủyMáy tính Cung Sao HỏaMáy tính Cung Sao KimTrình kiểm tra độ mạnh mật khẩuMáy tính phân quyền Unix (chmod)Trình tạo Cron JobMáy tính căn bậc n độ chính xác caoCông cụ Chuyển đổi Tần số và Bước sóngTrình xác thực XMLThêm hoặc Thay thế Âm thanh trong VideoThêm hình mờ vào Video