Máy tính hoán vị

Giới thiệu về Máy tính hoán vị

Chào mừng bạn đến với Máy tính hoán vị, một công cụ toàn diện để tính toán các hoán vị P(n,r) với giải pháp từng bước, ví dụ trực quan và giải thích giáo dục. Cho dù bạn đang học về toán rời rạc, giải các bài toán xác suất hay làm việc với các vấn đề sắp xếp trong thực tế, máy tính này sẽ cung cấp kết quả tức thì với các phân tích công thức chi tiết.

Hoán vị là gì?

Một hoán vị là một cách sắp xếp các đối tượng theo một thứ tự cụ thể. Khác với tổ hợp (nơi thứ tự không quan trọng), hoán vị coi trình tự hoặc thứ tự của các mục là quan trọng. Số lượng hoán vị cho chúng ta biết có bao nhiêu cách khác nhau để sắp xếp r mục được chọn từ một tập hợp n mục riêng biệt.

Ví dụ, nếu bạn có 3 cuốn sách (A, B, C) và muốn sắp xếp 2 cuốn trong số đó trên giá sách, các hoán vị là: AB, BA, AC, CA, BC, CB. Có 6 cách sắp xếp khác nhau, vì AB và BA được coi là khác nhau (thứ tự quan trọng).

Công thức hoán vị

Trong đó:

• n = tổng số mục riêng biệt có sẵn
• r = số mục cần chọn và sắp xếp
• n! = n giai thừa = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1

Công thức hoán vị rút gọn

Công thức cũng có thể được viết dưới dạng tích của r số nguyên liên tiếp:

Hoán vị vs Tổ hợp

Sự khác biệt chính giữa hoán vị và tổ hợp là liệu thứ tự có quan trọng hay không:

Cách sử dụng máy tính này

1. Nhập n (tổng số mục): Nhập tổng số các mục riêng biệt mà bạn có sẵn.
2. Nhập r (số mục cần sắp xếp): Nhập số lượng mục bạn muốn chọn và sắp xếp. Số này phải nhỏ hơn hoặc bằng n.
3. Nhấp vào Tính toán: Nhấn nút để tính P(n,r) với các giải pháp từng bước.
4. Xem kết quả: Xem tổng số hoán vị, so sánh với tổ hợp, các ví dụ trực quan và các bước tính toán chi tiết.

Ví dụ hoán vị trong thực tế

Xếp hạng và thi đấu

Trong một cuộc đua có 10 vận động viên, có bao nhiêu cách để trao giải nhất, nhì và ba?

P(10, 3) = 10 × 9 × 8 = 720 cách sắp xếp bục nhận giải khác nhau

Tạo mật khẩu

Có bao nhiêu mật khẩu gồm 4 chữ cái có thể được tạo từ 26 chữ cái (không lặp lại)?

P(26, 4) = 26 × 25 × 24 × 23 = 358,800 mật khẩu duy nhất

Sắp xếp chỗ ngồi

Có bao nhiêu cách để 5 người ngồi vào 5 chiếc ghế?

P(5, 5) = 5! = 120 cách sắp xếp chỗ ngồi khác nhau

Lập lịch trình công việc

Nếu bạn có 8 nhiệm vụ và cần lập lịch trình cho 4 nhiệm vụ trong số đó theo trình tự, có bao nhiêu lịch trình khả thi?

P(8, 4) = 8 × 7 × 6 × 5 = 1,680 lịch trình khác nhau

Các trường hợp đặc biệt của hoán vị

P(n, n) = n!

Khi r bằng n, bạn đang sắp xếp tất cả các mục. P(n, n) = n!/(n-n)! = n!/0! = n!/1 = n!

P(n, 0) = 1

Có chính xác một cách để sắp xếp không mục nào: không làm gì cả.

P(n, 1) = n

Chọn và sắp xếp 1 mục từ n mục sẽ cho n khả năng.

Các giá trị hoán vị phổ biến

Hoán vị lặp

Máy tính này xử lý các hoán vị không lặp lại (mỗi mục chỉ có thể được sử dụng một lần). Đối với hoán vị có lặp lại (nơi các mục có thể được tái sử dụng), công thức đơn giản là n^r.

Câu hỏi thường gặp

Hoán vị là gì?

Hoán vị là một cách sắp xếp các đối tượng theo một thứ tự cụ thể. Khác với tổ hợp, hoán vị coi trọng thứ tự của các mục. Ví dụ, việc sắp xếp 3 cuốn sách trên giá sách mà thứ tự quan trọng là một bài toán hoán vị. Công thức là P(n,r) = n!/(n-r)!, trong đó n là tổng số mục và r là số mục cần sắp xếp.

Sự khác biệt giữa hoán vị và tổ hợp là gì?

Sự khác biệt chính là hoán vị tính đến thứ tự trong khi tổ hợp thì không. P(n,r) = n!/(n-r)! đếm các cách sắp xếp có thứ tự, trong khi C(n,r) = n!/[r!(n-r)!] đếm các cách chọn không có thứ tự. Ví dụ, việc chọn một chủ tịch, phó chủ tịch và thư ký từ 10 người là một hoán vị (thứ tự quan trọng), trong khi chọn 3 thành viên ủy ban là một tổ hợp (thứ tự không quan trọng).

Làm thế nào để tính P(n,r)?

Để tính P(n,r): 1) Xác định n (tổng số mục) và r (số mục cần sắp xếp). 2) Sử dụng công thức P(n,r) = n!/(n-r)!. 3) Công thức này rút gọn thành n × (n-1) × (n-2) × ... × (n-r+1), là tích của r số liên tiếp bắt đầu từ n. Ví dụ, P(5,3) = 5 × 4 × 3 = 60.

P(n,n) bằng bao nhiêu?

P(n,n) = n!, là số cách để sắp xếp tất cả n mục. Khi r bằng n, công thức P(n,r) = n!/(n-r)! trở thành n!/0! = n!/1 = n!. Ví dụ, P(4,4) = 4! = 24, nghĩa là có 24 cách để sắp xếp 4 mục riêng biệt.

Ví dụ thực tế của hoán vị là gì?

Các ví dụ hoán vị phổ biến bao gồm: sắp xếp sách trên giá, xác định thứ tự về đích của cuộc đua, tạo mật khẩu hoặc mã PIN, lập lịch trình các nhiệm vụ theo thứ tự cụ thể, sắp xếp chỗ ngồi tại bàn ăn, xếp hạng các thí sinh trong một cuộc thi và tổ hợp số điện thoại. Bất kỳ tình huống nào mà thứ tự hoặc cách sắp xếp các mục quan trọng đều sử dụng hoán vị.

Tại sao công thức hoán vị lại sử dụng giai thừa?

Giai thừa xuất hiện trong công thức hoán vị vì chúng đếm tất cả các cách sắp xếp có thể. Đối với n mục: vị trí 1 có n lựa chọn, vị trí 2 có (n-1) lựa chọn, và cứ tiếp tục như vậy. Tích n × (n-1) × (n-2) × ... × 1 = n!. Khi chỉ chọn r vị trí, chúng ta chia cho (n-r)! để loại bỏ các cách sắp xếp của những vị trí mà chúng ta không sử dụng.

Tài nguyên bổ sung

• Hoán vị - Wikipedia
• Tổ hợp - Wikipedia

Các công cụ liên quan khác:

Combinatorics: