Đơn giản hóa quy trình làm việc của bạn: Tìm kiếm miniwebtool.
Thêm
Trang chủ > Toán học > Phép toán toán học nâng cao > Máy tính chức năng lỗi
 

Máy tính chức năng lỗi

Tính hàm lỗi erf(x), hàm lỗi bù erfc(x) và hàm lỗi nghịch đảo với trực quan hóa đường cong Gaussian tương tác, giải thích từng bước và phân tích toàn diện cho thống kê và xác suất.

Máy tính chức năng lỗi

Ví dụ nhanh:

erf(1) erf(0.5) erfc(1) erf⁻¹(0.5) erf(2) erfc⁻¹(0.1)
Loại hàm:
Giá trị đầu vào (x):
Độ chính xác thập phân:
💡
Miền xác định: erf/erfc chấp nhận bất kỳ số thực nào. erf nghịch đảo yêu cầu -1 < x < 1. erfc nghịch đảo yêu cầu 0 < x < 2.

Embed Máy tính chức năng lỗi Widget

Giới thiệu về Máy tính chức năng lỗi

Chào mừng bạn đến với Máy tính Hàm Lỗi, một công cụ toán học toàn diện để tính hàm lỗi erf(x), hàm lỗi bù erfc(x) và các hàm ngược của chúng. Máy tính này cung cấp kết quả chính xác lên tới 15 chữ số thập phân, trực quan hóa tương tác và giải thích từng bước để giúp bạn hiểu hàm đặc biệt cơ bản này được sử dụng trong thống kê, lý thuyết xác suất, vật lý và kỹ thuật.

Hàm Lỗi là gì?

Hàm lỗi, được ký hiệu là erf(x), là một hàm toán học đặc biệt có hình dạng chữ S (sigmoid) thường xuất hiện trong xác suất, thống kê và phương trình đạo hàm riêng. Còn được gọi là hàm lỗi Gauss, nó được định nghĩa là tích phân của phân phối Gaussian (chuẩn):

Định nghĩa Hàm Lỗi
$$erf(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^x e^{-t^2} dt$$

Hàm lỗi có một số tính chất quan trọng:

Miền giá trị
-1 < erf(x) < 1
Tại điểm 0
erf(0) = 0
Hàm lẻ
erf(-x) = -erf(x)
Giới hạn
lim erf(x) = +1 khi x tiến tới +vô cùng, và -1 khi x tiến tới -vô cùng

Tại sao nó được gọi là Hàm Lỗi?

Cái tên "hàm lỗi" bắt nguồn từ mối liên hệ của nó với lý thuyết sai số trong thống kê trong thế kỷ 18 và 19. Khi các nhà khoa học và toán học nghiên cứu các sai số đo lường, họ phát hiện ra rằng các sai số ngẫu nhiên thường tuân theo phân phối chuẩn (Gaussian). Hàm lỗi biểu thị xác suất của một sai số đo lường nằm trong một phạm vi nhất định, làm cho nó trở nên cơ bản đối với phân tích thống kê và kiểm soát chất lượng.

Hàm Lỗi Bù (erfc)

Hàm lỗi bù erfc(x) được định nghĩa là một trừ đi hàm lỗi:

Hàm Lỗi Bù
$$erfc(x) = 1 - erf(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_x^{\infty} e^{-t^2} dt$$

Hàm lỗi bù đặc biệt hữu ích để tính xác suất ở phần đuôi của phân phối chuẩn. Đối với các giá trị x lớn, erfc(x) cung cấp độ chính xác số tốt hơn so với việc tính trực tiếp 1 - erf(x), vì erf(x) tiến tới 1 và phép trừ sẽ gây ra việc mất các chữ số có ý nghĩa.

Các Hàm Lỗi Nghịch Đảo

Hàm lỗi nghịch đảo erf-1(x) tìm giá trị y sao cho erf(y) = x. Nó chỉ được định nghĩa cho các đầu vào trong khoảng (-1, 1). Tương tự, hàm lỗi bù nghịch đảo erfc-1(x) được định nghĩa cho các đầu vào trong khoảng (0, 2).

Hàm Lỗi Nghịch Đảo
$$erf^{-1}(x): \text{Tìm } y \text{ sao cho } erf(y) = x$$

Các hàm lỗi nghịch đảo rất cần thiết cho:

Mối quan hệ với Phân phối chuẩn

Hàm lỗi có mối liên hệ mật thiết với phân phối chuẩn tắc. Nếu bạn có một biến ngẫu nhiên Z tuân theo phân phối chuẩn tắc N(0,1), xác suất để Z nằm trong khoảng từ -x đến x có liên quan đến erf bằng:

Kết nối Phân phối chuẩn
$$P(-x\sqrt{2} \leq Z \leq x\sqrt{2}) = erf(x)$$

Hàm phân phối tích lũy (CDF) của phân phối chuẩn tắc có thể được biểu diễn như sau:

CDF chuẩn tắc
$$\Phi(x) = \frac{1}{2}\left[1 + erf\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right]$$

Cách sử dụng Máy tính này

  1. Chọn loại hàm: Chọn từ erf(x), erfc(x), erf nghịch đảo hoặc erfc nghịch đảo tùy theo nhu cầu tính toán của bạn.
  2. Nhập giá trị đầu vào: Nhập giá trị x mà bạn muốn tính hàm. Đối với các hàm nghịch đảo, hãy đảm bảo đầu vào của bạn nằm trong miền hợp lệ.
  3. Chọn độ chính xác: Chọn 6, 10 hoặc 15 chữ số thập phân dựa trên yêu cầu về độ chính xác của bạn.
  4. Nhấp vào Tính toán: Xem kết quả của bạn cùng với giải thích từng bước, biểu đồ tương tác và các giá trị liên quan.

Miền đầu vào

Bảng giá trị Hàm Lỗi

Dưới đây là một số giá trị thường dùng của hàm lỗi:

xerf(x)erfc(x)
0.00.000000001.00000000
0.10.112462920.88753708
0.20.222702590.77729741
0.30.328626760.67137324
0.40.428392360.57160764
0.50.520499880.47950012
0.60.603856090.39614391
0.70.677801190.32219881
0.80.742100960.25789904
0.90.796908210.20309179
1.00.842700790.15729921
1.50.966105150.03389485
2.00.995322270.00467773
2.50.999593050.00040695
3.00.999977910.00002209

Ứng dụng của Hàm Lỗi

Thống kê và Xác suất

Hàm lỗi là nền tảng của lý thuyết xác suất. Nó xuất hiện trong hàm phân phối tích lũy của phân phối chuẩn, tính toán khoảng tin cậy, kiểm định giả thuyết và các quy trình kiểm soát chất lượng bằng biểu đồ kiểm soát.

Vật lý và Kỹ thuật

Trong vật lý, hàm lỗi xuất hiện trong phương trình khuếch tán nhiệt (phân tích Fourier), khuếch tán khối lượng trong vật liệu, sự lan truyền sóng điện từ và cơ học lượng tử (hàm sóng).

Xử lý tín hiệu

Các kỹ sư tín hiệu sử dụng các hàm lỗi để tính tỷ lệ lỗi bit trong truyền thông kỹ thuật số, phân tích nhiễu trong hệ thống điện, thiết kế bộ lọc và phân tích điều chế.

Toán học Tài chính

Trong tài chính định lượng, các hàm lỗi xuất hiện trong các mô hình định giá tùy chọn (Black-Scholes), tính toán đánh giá rủi ro, tối ưu hóa danh mục đầu tư và mô phỏng Monte Carlo.

Tính chất Toán học

Khai triển chuỗi

Hàm lỗi có thể được biểu diễn dưới dạng chuỗi Taylor:

Chuỗi Taylor
$$erf(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{n!(2n+1)}$$

Khai triển tiệm cận

Đối với các giá trị x lớn, hàm lỗi bù có thể được xấp xỉ bằng:

Xấp xỉ tiệm cận
$$erfc(x) \approx \frac{e^{-x^2}}{x\sqrt{\pi}} \text{ khi } x \to \infty$$

Đạo hàm

Đạo hàm của hàm lỗi là hàm Gaussian:

Đạo hàm
$$\frac{d}{dx}erf(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-x^2}$$

Câu hỏi thường gặp

Hàm lỗi (erf) là gì?

Hàm lỗi, được ký hiệu là erf(x), là một hàm toán học đặc biệt thường xuất hiện trong xác suất, thống kê và lời giải của các phương trình đạo hàm riêng. Nó được định nghĩa là erf(x) = (2/√π) ∫₀ˣ e^(-t²) dt. Hàm này cho kết quả là các giá trị từ -1 đến 1, với erf(0) = 0 và tiến tới ±1 khi x tiến tới ±∞.

Hàm lỗi có liên quan như thế nào đến phân phối chuẩn?

Hàm lỗi có liên quan chặt chẽ đến hàm phân phối tích lũy (CDF) của phân phối chuẩn tắc. Cụ thể, xác suất để một biến ngẫu nhiên chuẩn tắc nằm trong khoảng từ -x√2 đến x√2 được cho bởi erf(x). Mối quan hệ là: Φ(x) = (1/2)[1 + erf(x/√2)], trong đó Φ(x) là CDF chuẩn tắc.

Hàm lỗi bù (erfc) là gì?

Hàm lỗi bù, erfc(x), được định nghĩa là erfc(x) = 1 - erf(x). Nó biểu thị xác suất để một biến ngẫu nhiên chuẩn tắc vượt quá x√2 về giá trị tuyệt đối. Đối với các giá trị x lớn, tính trực tiếp erfc(x) sẽ chính xác hơn so với tính 1 - erf(x) vì erf(x) tiến tới 1, gây ra mất độ chính xác.

Hàm lỗi nghịch đảo là gì?

Hàm lỗi nghịch đảo, erf⁻¹(x), là hàm ngược của hàm lỗi. Nó tìm giá trị y sao cho erf(y) = x. Nó chỉ được định nghĩa cho các đầu vào từ -1 đến 1 (không bao gồm). Hàm lỗi nghịch đảo rất hữu ích để tạo các số ngẫu nhiên phân phối chuẩn và để giải các phương trình liên quan đến hàm lỗi.

Tại sao nó được gọi là hàm lỗi?

Cái tên 'hàm lỗi' bắt nguồn từ mối liên hệ của nó với lý thuyết sai số trong thống kê. Vào thế kỷ 18, các nhà toán học nghiên cứu sai số đo lường đã phát hiện ra rằng sai số thường tuân theo phân phối chuẩn (Gaussian). Hàm lỗi biểu thị xác suất sai số đo lường nằm trong một phạm vi nhất định, do đó có tên gọi như vậy.

Tài nguyên Liên quan

Tham khảo nội dung, trang hoặc công cụ này như sau:

"Máy tính chức năng lỗi" tại https://MiniWebtool.com/vi/máy-tính-chức-năng-lỗi/ từ MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

bởi đội ngũ miniwebtool. Cập nhật: 10 tháng 1, 2026

Bạn cũng có thể thử AI Giải Toán GPT của chúng tôi để giải quyết các vấn đề toán học của bạn thông qua câu hỏi và trả lời bằng ngôn ngữ tự nhiên.

Các công cụ liên quan khác:

Máy tính hàm lỗi bổ sung

Phép toán toán học nâng cao:

Công cụ nổi bật:

Máy tính tuổiCông cụ đổi Pound sang Kilogramtrình tạo chuỗi ngẫu nhiênTrình Trích Xuất Ảnh từ VideoMáy tính giảm giá phần trămcông cụ chuyển đổi kg sang lbsCông cụ chuyển đổi chữ số La MãMáy tính thương và số dưCông Cụ Mã Hóa CaesarMáy tính nhị phânMáy tính Phân tích Thừa số Nguyên tốMáy tính thập phân sang phân sốCông cụ đếm hàngBộ chuyển đổi thập phân sang nhị phâncông cụ chuyển đổi nhị phân sang thập phânMáy tính căn bậc haiMáy tính phân số tối giảnTrình Tạo Mã MorseXóa dấu cáchMáy tính HEXCông cụ chuyển đổi centimet sang inchMáy tính Cạnh huyềnBộ chuyển đổi nhị phân sang hexmáy-tính-số-mũ-độ-chính-xác-caoSắp xếp sốBộ chuyển đổi hex sang thập phânđảo ngược văn bảnCông cụ chuyển đổi kPa sang psiTrình chuyển đổi SRT sang TXTTrình tạo tên ngẫu nhiênCông cụ chuyển đổi hệ thập lục phân sang nhị phân📅 Máy tính ngàyBộ chuyển đổi RGB sang HexTrình tạo Mê cungMáy Tính Độ Lệch Chuẩn Tương ĐốiMáy tính So sánh Phân sốCon số may mắn của tôi là gì?So sánh hai chuỗiSắp xếp theo thứ tự bảng chữ cáiBộ chuyển đổi HEXGhép VideoBộ chuyển đổi Feet và Inch sang Cmbộ chuyển đổi thập phân sang thập lục phânMáy tính Định lý PythagoreCông cụ chuyển đổi gam sang poundTrình nén VideoMáy tính ModuloCông cụ chuyển đổi thập phân sang BCDchuyển đổi nhị phân sang bát phânBộ Chuyển Đổi Mã Nhị Phân Sang Mã XámMáy tính giai thừaCông cụ Chia ảnhtra-cứu-địa-chỉ-macĐây có phải là Số Nguyên Tố?Công cụ tạo nhóm ngẫu nhiênMáy tính BitwiseTrình tạo ngày sinh ngẫu nhiêncông cụ chuyển đổi cm sang feet và inchCông cụ chuyển đổi thập phân sang bát phânCông cụ chuyển đổi bát phân sang nhị phânMáy tính Logaritmáy tính BSAmáy tính độ lệch chuẩn (Độ chính xác cao)Máy tính Cung Mặt trời, Mặt trăng & Cung mọc 🌞🌙✨Máy tính nhânMáy tính tăng trưởng theo cấp số nhân (Độ chính xác cao)Danh sách dãy số FibonacciMáy tính thời gianMáy Tính Chia Đa ThứcMáy tính CAGRBộ lặp MP3máy tính giảm giáMáy Tính Giờ Làm ViệcMáy Tính Chu Vi Hình Elipmáy tính kiểm tra chia hếtParaphraser AICông cụ chuyển đổi pound sang gamCông cụ đếm từMáy tính Gạch 🔲Công cụ chuyển đổi Phần trăm sang PPMMáy Tính Hoa HồngMáy tính One Rep Max (1RM)Trình tạo mã vạchTrình Tạo Số Xổ SốBộ chuyển đổi Hex sang RGBCông cụ chuyển đổi bát phân sang thập phânMáy tính tương hợp tình yêuxóa dòng mớiBộ chuyển đổi FPSBộ chuyển đổi số sang chữTrình trích xuất âm thanhDanh sách các số nguyên tốMáy Tính Biến Đổi LaplaceMáy tính CosMáy tính chuyển đổi phân số sang số thập phânCông cụ chuyển đổi psi sang kPaMáy Tính Hệ Số Tương QuanCông cụ chuyển đổi Hex sang bát phânn chữ số đầu tiên của piMáy Tính Lợi Nhuận Quyền ChọnMáy Tính Biến Động Ngầm ĐịnhMáy tính Greek Quyền chọnMáy tính Định giá Quyền chọn Black-ScholesMáy tính rủi ro phá sảnMáy tính lợi nhuận bán khốngMáy tính Margin CallMáy Tính Kích Thước Vị Thếmáy tính giá trung bình cổ phiếuCông cụ xóa ký tự vô hìnhCông cụ Chuyển đổi Văn bản sang Danh sách SQLCông cụ trích xuất cột văn bảnMáy tính sự khác biệt danh sáchCông cụ tạo văn bản ZalgoCông cụ tạo nghệ thuật ASCIICông cụ tạo văn bản vô hìnhcông-cụ-tạo-văn-bản-ngược-đầuCông cụ tạo văn bản ZalgoCông Cụ Tạo Chữ ĐẹpTrình đọc văn bản thành giọng nóiCông cụ Chuyển đổi Đọc BionicCông cụ kiểm tra mật độ từ khóaMáy tính điểm dễ đọcTrình tạo Lorem IpsumMáy tính Tiết kiệm Thời gian Hàng ngàyCông Cụ Xóa Dấu Ngoặc Kép Thông MinhTrình tạo bảng MarkdownEscape Unescape Chuỗi JSONTrình Tạo Slug URLCông cụ Mã hóa/Giải mã Thực thể HTMLMáy tính Tìm Giao điểm X và YMáy Tính Đỉnh và Trục Đối XứngMáy tính hợp hàmMáy Tính Hàm NgượcMáy Tính Miền Xác Định và Miền Giá TrịCông cụ vẽ đồ thị hàm sốCông Cụ Vẽ Đồ Thị Hệ Bất Phương TrìnhCông cụ giải bất phương trình trị tuyệt đốiCông cụ giải bất phương trìnhCông cụ Giải Hệ Phương Trình Tuyến TínhCông cụ giải phương trình căn thứcCông cụ giải phương trình trị tuyệt đốiCông cụ giải phương trình tuyến tínhMáy Tính Phép Chia Tổng HợpMáy Tính Mở Rộng Đa ThứcMáy Tính Phân Tích Thừa Số Đa ThứcMáy tính biểu thức hữu tỉCông Cụ Rút Gọn Căn ThứcCông cụ Đơn giản hóa Biểu thức Đại sốCông cụ vẽ đồ thị hàm lượng giácMáy tính đẳng thức lượng giácCông cụ Trực quan hóa Vòng tròn Đơn vị Tương tácCông cụ chuyển đổi tọa độ Descartes sang CựcCông Cụ Chuyển Đổi Tọa Độ Cực Sang Tọa Độ Đề Các Độ Chính Xác CaoCông cụ chuyển đổi Độ thập phân sang Độ Phút GiâyCông cụ chuyển đổi DMS sang độ thập phânMáy tính Định lý CosinMáy tính Định lý SinCông cụ giải tam giác tổng quátMáy tính Tam giác VuôngHigh-Precision Hyperbolic Functions CalculatorMáy tính Cosec/Sec/CotangMáy tính Arctan2Máy tính arctanMáy tính Arccos (Cosin Nghịch đảo)Máy tính ArcsinMáy tính Tang chính xác caoMáy tính Sin Độ chính xác caoMáy tính Độ dốc và Cấp 📐Máy tính góc cắt nghiêng 📐Công cụ kiểm tra góc vuông (Quy tắc 3-4-5) 📐Máy tính board foot 🪵Máy tính sàn thềm 🌳Máy tính Hàng rào 🏡Máy tính lớp phủ, đất và sỏi 🌱Máy tính khung tường 🏗️Máy tính lợp mái 🏠Máy tính độ dốc mái nhà và kèo 🏠Máy tính cầu thang 🪜Máy tính giấy dán tường 🎨Máy Tính Sàn 🏠Máy tính sơn 🎨Máy tính Gạch và Vữa 🧱Máy tính bê tông 🧱Công cụ tìm đá sinh và hoa hoàng đạo 💎🌸Công cụ tính cung hoàng đạo cây Celtic 🌳Máy tính Tương thích Cung Mặt Trăng 🌙Công Cụ Phân Tích Tương Hợp Cung Hoàng Đạo Nâng Cao 💞Lịch Trăng Non và Trăng Tròn 🌑🌕Máy tính Sự trở lại của Sao ThổLịch Sao Thủy Nghịch Hành 🌟Công cụ Tính Cân Bằng Modalities Chiêm TinhMáy tính Cân bằng Nguyên tố Chiêm tinhMáy tính cung Sao Thủy (Giao tiếp) 🗣️Máy tính Cung Sao Hỏa (Động lực & Đam mê) 🔥Máy Tính Cung Sao Kim (Phong Cách Yêu) 💖Trình kiểm tra độ mạnh mật khẩuMáy tính Quyền Unix (chmod)Trình tạo Cron JobMáy tính căn bậc n (độ chính xác cao)Trình chuyển đổi tần số và bước sóng tối ưuTrình xác thực XMLĐiều chỉnh tốc độ videoThêm hoặc Thay thế Âm thanh trong VideoThêm hình mờ vào VideoXoay VideoBộ Chia Âm ThanhTrình cắt videoLặp lại VideoXóa âm thanh khỏi videoTrình Cắt VideoLật VideoLật ảnh GIFLật ảnhBộ chuyển đổi GIF sang MP4Đảo ngược VideoBộ chuyển đổi MP4 sang GIFBộ đảo màuThêm Văn bản vào Hình ảnhTrình nâng cao hình ảnhBộ chọn màu hình ảnhThêm Đường Kẻ vào Ảnh