Máy tính biến đổi Laplace

Q: Biến đổi Laplace là gì?

Biến đổi Laplace là một phép biến đổi tích phân chuyển đổi một hàm thời gian f(t) thành một hàm tần số phức F(s). Nó được định nghĩa là F(s) = tích phân từ 0 đến vô cùng của e^(-st) * f(t) dt. Phép biến đổi này được sử dụng rộng rãi trong kỹ thuật và vật lý để giải các phương trình vi phân và phân tích các hệ thống bất biến theo thời gian tuyến tính.

Q: Khi nào tôi nên sử dụng biến đổi Laplace?

Biến đổi Laplace đặc biệt hữu ích để giải các phương trình vi phân thường tuyến tính với các hệ số hằng số, phân tích hệ thống điều khiển và hành vi của mạch, nghiên cứu xử lý tín hiệu và đáp ứng hệ thống, chuyển đổi các vấn đề miền thời gian phức tạp thành các vấn đề đại số đơn giản hơn trong miền s và phân tích tính ổn định của hệ thống thông qua các vị trí cực.

Q: Miền hội tụ (ROC) là gì?

Miền hội tụ (ROC) là tập hợp các giá trị của s (tần số phức) mà tích phân biến đổi Laplace hội tụ. ROC rất quan trọng để xác định tính ổn định của hệ thống và để xác định duy nhất hàm ban đầu từ phép biến đổi của nó. Nói chung, đối với các tín hiệu nhân quả, ROC mở rộng sang bên phải của cực nằm ngoài cùng bên phải.

Q: Làm thế nào để nhập các hàm trong máy tính này?

Sử dụng ký hiệu toán học tiêu chuẩn với 't' là biến thời gian. Các hàm được hỗ trợ bao gồm: exp(x) cho hàm mũ, sin(x) và cos(x) cho lượng giác, sinh(x) và cosh(x) cho hyperbolic, sqrt(x) cho căn bậc hai, log(x) hoặc ln(x) cho logarit tự nhiên. Sử dụng * để nhân, ^ hoặc ** để lũy thừa và dấu ngoặc đơn để nhóm.

Q: Các tính chất chính của biến đổi Laplace là gì?

Các tính chất chính bao gồm Tuyến tính (L{af + bg} = aF + bG), Dịch thời gian (L{f(t-a)u(t-a)} = e^(-as)F(s)), Dịch tần số (L{e^(at)f(t)} = F(s-a)), Đạo hàm (L{f'(t)} = sF(s) - f(0)), Tích phân (L{tích phân của f} = F(s)/s) và Tích chập (L{f*g} = F(s)G(s)).

Q: Mối quan hệ giữa biến đổi Laplace và Fourier là gì?

Biến đổi Fourier là một trường hợp đặc biệt của biến đổi Laplace khi s = jw (thuần ảo). Biến đổi Laplace tổng quát hơn và có thể xử lý các hàm tăng theo hàm mũ, trong khi biến đổi Fourier yêu cầu các hàm phải tích phân tuyệt đối. Biến đổi Laplace một phía (bắt đầu từ 0) là phổ biến nhất trong các ứng dụng kỹ thuật.

Tính toán phép biến đổi Laplace ngay lập tức với các giải pháp chi tiết từng bước, các cài đặt hàm tương tác và hình ảnh minh họa kép của các hàm miền thời gian và miền tần số.

Máy tính biến đổi Laplace

Embed Máy tính biến đổi Laplace Widget

Giới thiệu về Máy tính biến đổi Laplace

Chào mừng bạn đến với Máy tính biến đổi Laplace, một công cụ toán học mạnh mẽ để tính toán các phép biến đổi Laplace với các giải pháp chi tiết từng bước và phân tích hình ảnh. Cho dù bạn là sinh viên kỹ thuật, nhà vật lý hay nhà nghiên cứu, máy tính này đơn giản hóa các phép biến đổi tích phân phức tạp và giúp bạn hiểu sự chuyển đổi từ miền thời gian sang miền tần số.

Biến đổi Laplace là gì?

Biến đổi Laplace là một phép biến đổi tích phân chuyển đổi một hàm thời gian $ f(t) $ thành một hàm tần số phức $ F(s) $. Được đặt theo tên của Pierre-Simon Laplace, phép toán này là nền tảng trong kỹ thuật, vật lý và toán học ứng dụng để giải các phương trình vi phân và phân tích hệ thống.

Định nghĩa biến đổi Laplace

$$F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_0^\infty e^{-st} f(t) \, dt$$

Phép biến đổi chuyển đổi đạo hàm và tích phân trong miền thời gian thành các phép toán đại số đơn giản trong miền s, làm cho nó trở nên vô giá để giải các vấn đề phức tạp.

Các tính chất chính của biến đổi Laplace

Hiểu các tính chất này giúp bạn làm việc hiệu quả với các phép biến đổi Laplace:

Tính chất	Miền thời gian	Miền s
Tuyến tính	$ af(t) + bg(t) $	$ aF(s) + bG(s) $
Đạo hàm bậc nhất	$ f'(t) $	$ sF(s) - f(0) $
Đạo hàm bậc hai	$ f''(t) $	$ s^2F(s) - sf(0) - f'(0) $
Tích phân	$ \int_0^t f(\tau)d\tau $	$ \frac{F(s)}{s} $
Dịch thời gian	$ f(t-a)u(t-a) $	$ e^{-as}F(s) $
Dịch tần số	$ e^{at}f(t) $	$ F(s-a) $
Tích chập	$ (f * g)(t) $	$ F(s) \cdot G(s) $
Giá trị ban đầu	$ f(0^+) $	$ \lim_{s\to\infty} sF(s) $
Giá trị cuối cùng	$ \lim_{t\to\infty} f(t) $	$ \lim_{s\to 0} sF(s) $

Các cặp biến đổi Laplace phổ biến

Dưới đây là bảng tham khảo các cặp biến đổi thường dùng:

Bảng tham khảo biến đổi

f(t)	F(s)	Mô tả
`1`	`1/s`	Bước đơn vị (hằng số)
`t`	`1/s²`	Hàm dốc (ramp)
`t^n`	`n!/s^(n+1)`	Hàm lũy thừa
`exp(a*t)`	`1/(s-a)`	Hàm mũ
`sin(b*t)`	`b/(s²+b²)`	Hàm sin
`cos(b*t)`	`s/(s²+b²)`	Hàm cos
`exp(-at)sin(b*t)`	`b/((s+a)²+b²)`	Sin tắt dần
`exp(-at)cos(b*t)`	`(s+a)/((s+a)²+b²)`	Cos tắt dần
`texp(at)`	`1/(s-a)²`	t nhân hàm mũ
`sinh(a*t)`	`a/(s²-a²)`	Sin hyperbolic
`cosh(a*t)`	`s/(s²-a²)`	Cos hyperbolic

Cách sử dụng máy tính này

Nhập hàm số: Nhập hàm miền thời gian $ f(t) $ của bạn bằng biến t. Sử dụng ký hiệu tiêu chuẩn như exp(-2*t)*sin(3*t).
Sử dụng các cài đặt sẵn: Nhấp vào bất kỳ nút cài đặt sẵn nào để tải nhanh các hàm phổ biến để kiểm tra hoặc học tập.
Tính toán: Nhấp vào "Tính biến đổi Laplace" để tính toán $ F(s) $ theo biểu tượng.
Xem xét kết quả: Kiểm tra kết quả $ F(s) $, các dẫn giải từng bước và hình ảnh minh họa.
Phân tích: Nghiên cứu các biểu đồ kép hiển thị cả biểu diễn miền thời gian và miền tần số.

Các hàm và cú pháp được hỗ trợ

exp(x) - Hàm mũ $ e^x $
sin(x), cos(x), tan(x) - Các hàm lượng giác
sinh(x), cosh(x), tanh(x) - Các hàm hyperbolic
sqrt(x) - Căn bậc hai $ \sqrt{x} $
log(x) hoặc ln(x) - Logarit tự nhiên
t^n hoặc t**n - Các hàm lũy thừa
* để nhân, / để chia
Dấu ngoặc đơn () để nhóm

Các ứng dụng của biến đổi Laplace

Ứng dụng trong kỹ thuật

Hệ thống điều khiển: Phân tích hàm truyền, tính ổn định và đáp ứng hệ thống
Mạch điện: Giải các mạch RLC và phân tích quá độ
Hệ thống cơ khí: Mô hình hóa rung động, tắt dần và dao động cưỡng bức
Xử lý tín hiệu: Thiết kế bộ lọc và phân tích đáp ứng tần số

Ứng dụng trong vật lý

Truyền nhiệt: Giải các phương trình khuếch tán
Cơ học lượng tử: Giải phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian
Điện từ học: Phân tích sự lan truyền sóng và đường dây truyền tải

Ứng dụng trong toán học

Phương trình vi phân: Chuyển đổi ODE thành phương trình đại số
Phương trình tích phân: Giải các phương trình Volterra và Fredholm
Các hàm đặc biệt: Dẫn giải các tính chất của hàm Bessel, Legendre và các hàm khác

Hiểu về miền hội tụ (ROC)

Miền hội tụ (ROC) là tập hợp các giá trị của $ s $ mà tích phân biến đổi Laplace hội tụ. ROC là thiết yếu cho:

Xác định xem một hệ thống có ổn định hay không (ROC bao gồm trục ảo)
Xác định duy nhất hàm ban đầu từ phép biến đổi của nó
Phân biệt giữa các tín hiệu nhân quả và không nhân quả

Đối với các tín hiệu nhân quả (các hàm bằng 0 khi $ t < 0 $), ROC mở rộng sang bên phải của cực nằm ngoài cùng bên phải trong mặt phẳng s.

Biến đổi Laplace ngược

Biến đổi Laplace ngược khôi phục hàm miền thời gian ban đầu từ biểu diễn miền s của nó:

Biến đổi Laplace ngược

$$f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = \frac{1}{2\pi j}\int_{\sigma-j\infty}^{\sigma+j\infty} e^{st} F(s) \, ds$$

Trong thực tế, các phép biến đổi ngược thường được tính toán bằng cách sử dụng phân tách phân thức đơn giản và bảng tra cứu các cặp biến đổi đã biết.

Câu hỏi thường gặp

Biến đổi Laplace là gì?

Biến đổi Laplace là một phép biến đổi tích phân chuyển đổi một hàm thời gian $ f(t) $ thành một hàm tần số phức $ F(s) $. Nó được định nghĩa là $ F(s) = \int_0^\infty e^{-st} f(t) \, dt $. Phép biến đổi này được sử dụng rộng rãi trong kỹ thuật và vật lý để giải các phương trình vi phân và phân tích các hệ thống bất biến theo thời gian tuyến tính.

Khi nào tôi nên sử dụng biến đổi Laplace?

Biến đổi Laplace đặc biệt hữu ích để giải các phương trình vi phân thường tuyến tính với các hệ số hằng số, phân tích hệ thống điều khiển và hành vi của mạch, nghiên cứu xử lý tín hiệu và đáp ứng hệ thống, chuyển đổi các vấn đề miền thời gian phức tạp thành các vấn đề đại số đơn giản hơn trong miền s và phân tích tính ổn định của hệ thống thông qua các vị trí cực.

Miền hội tụ (ROC) là gì?

Miền hội tụ (ROC) là tập hợp các giá trị của $ s $ mà tích phân biến đổi Laplace hội tụ. ROC rất quan trọng để xác định tính ổn định của hệ thống và để xác định duy nhất hàm ban đầu từ phép biến đổi của nó. Nói chung, đối với các tín hiệu nhân quả, ROC mở rộng sang bên phải của cực nằm ngoài cùng bên phải.

Làm thế nào để nhập các hàm trong máy tính này?

Sử dụng ký hiệu toán học tiêu chuẩn với t là biến thời gian. Các hàm được hỗ trợ bao gồm: exp(x) cho hàm mũ, sin(x) và cos(x) cho lượng giác, sinh(x) và cosh(x) cho hyperbolic, sqrt(x) cho căn bậc hai, log(x) hoặc ln(x) cho logarit tự nhiên. Sử dụng * để nhân, ^ hoặc ** để lũy thừa và dấu ngoặc đơn để nhóm.

Các tính chất chính của biến đổi Laplace là gì?

Các tính chất chính bao gồm Tuyến tính, Dịch thời gian, Dịch tần số, Đạo hàm (chuyển đổi đạo hàm thành nhân với s), Tích phân (chuyển đổi tích phân thành chia cho s) và Tích chập (chuyển đổi tích chập thành phép nhân). Những tính chất này làm cho biến đổi Laplace trở nên mạnh mẽ để giải các phương trình vi phân.

Mối quan hệ giữa biến đổi Laplace và Fourier là gì?

Biến đổi Fourier là một trường hợp đặc biệt của biến đổi Laplace khi $ s = j\omega $ (thuần ảo). Biến đổi Laplace tổng quát hơn và có thể xử lý các hàm tăng theo hàm mũ, trong khi biến đổi Fourier yêu cầu các hàm phải tích phân tuyệt đối. Biến đổi Laplace một phía (bắt đầu từ 0) là phổ biến nhất trong các ứng dụng kỹ thuật.

Tài nguyên bổ sung

Tham khảo nội dung, trang hoặc công cụ này như sau:

"Máy tính biến đổi Laplace" tại https://MiniWebtool.com/vi/máy-tính-biến-đổi-laplace/ từ MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

bởi đội ngũ miniwebtool. Cập nhật: Ngày 19 tháng 1 năm 2026

Bạn cũng có thể thử AI Giải Toán GPT của chúng tôi để giải quyết các vấn đề toán học của bạn thông qua câu hỏi và trả lời bằng ngôn ngữ tự nhiên.

Các công cụ liên quan khác:

Máy tính toán chập

Máy tính biến đổi Laplace ngược

Máy tính chuỗi Taylor

Tính chất	Miền thời gian	Miền s
Tuyến tính	\( af(t) + bg(t) \)	\( aF(s) + bG(s) \)
Đạo hàm bậc nhất	\( f'(t) \)	\( sF(s) - f(0) \)
Đạo hàm bậc hai	\( f''(t) \)	\( s^2F(s) - sf(0) - f'(0) \)
Tích phân	\( \int_0^t f(\tau)d\tau \)	\( \frac{F(s)}{s} \)
Dịch thời gian	\( f(t-a)u(t-a) \)	\( e^{-as}F(s) \)
Dịch tần số	\( e^{at}f(t) \)	\( F(s-a) \)
Tích chập	\( (f * g)(t) \)	\( F(s) \cdot G(s) \)
Giá trị ban đầu	\( f(0^+) \)	\( \lim_{s\to\infty} sF(s) \)
Giá trị cuối cùng	\( \lim_{t\to\infty} f(t) \)	\( \lim_{s\to 0} sF(s) \)

Máy tính biến đổi Laplace

Trình chặn quảng cáo đang ngăn chúng tôi hiển thị quảng cáo

Giới thiệu về Máy tính biến đổi Laplace

Biến đổi Laplace là gì?

Các tính chất chính của biến đổi Laplace

Các cặp biến đổi Laplace phổ biến

Bảng tham khảo biến đổi

Cách sử dụng máy tính này

Các hàm và cú pháp được hỗ trợ

Các ứng dụng của biến đổi Laplace

Ứng dụng trong kỹ thuật

Ứng dụng trong vật lý

Ứng dụng trong toán học

Hiểu về miền hội tụ (ROC)

Biến đổi Laplace ngược

Câu hỏi thường gặp

Biến đổi Laplace là gì?

Khi nào tôi nên sử dụng biến đổi Laplace?

Miền hội tụ (ROC) là gì?

Làm thế nào để nhập các hàm trong máy tính này?

Các tính chất chính của biến đổi Laplace là gì?

Mối quan hệ giữa biến đổi Laplace và Fourier là gì?

Tài nguyên bổ sung

Các công cụ liên quan khác:

Giải tích:

Công cụ nổi bật: