ตั้งแต่ปี 2010 · รองรับการใช้งานเครื่องมือกว่า 2 ล้านครั้งต่อเดือน
ตั้งแต่ปี 2010
เพิ่มใน Chrome

กล่องเครื่องมือของฉัน

โหมดอัตโนมัติ

ยังไม่มีเครื่องมือที่บันทึกไว้

อัปเกรดเป็นเวอร์ชันพรีเมียม
เครื่องมือที่เกี่ยวข้อง
ขั้นตอนถัดไป
ตัวสร้างการแจกแจงเกาส์เซียน
เครื่องมือเพิ่มเติม
เครื่องคำนวณค่า pเครื่องคิดเลขฟังก์ชันข้อผิดพลาดเสริมเครื่องคิดเลขฟังก์ชันเบต้าเครื่องคิดเลขฟังก์ชันแกมมาเครื่องคำนวณอัตราข้อผิดพลาดการเทเลพอร์ตเครื่องคำนวณการอินทิเกรตเชิงตัวเลข
หน้าแรก > คณิตศาสตร์ > การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ขั้นสูง
 

เครื่องคิดเลขฟังก์ชันผิดพลาด

คำนวณ erf, erfc หรือฟังก์ชันผกผันด้วยเครื่องคิดเลขฟังก์ชันข้อผิดพลาดของ MiniWebtool เลือกฟังก์ชันและค่าเพื่อดูผลเชิงตัวเลขตามความละเอียดที่ต้องการ พร้อมเส้นโค้งและคำอธิบายความสัมพันธ์กับความน่าจะเป็น

ไม่แน่ใจว่าใช้อย่างไร? ถาม AI
Gemini (คัดลอกและเปิด)

เมื่อใช้ Gemini ให้วางคำถามที่คัดลอกลงในแชต คุณคัดลอกคำถามด้านล่างได้เช่นกัน

ดูคำถาม

ใช้งานฟรีไม่ต้องสมัครสมาชิกผลลัพธ์ทันที
เครื่องคิดเลขฟังก์ชันผิดพลาดลองใช้เลย — ฟรี ▼
erf(x) คือพื้นที่ใต้ e^(−t²) ตั้งแต่ 0 ถึง x คูณด้วย 2/√π

เลือก erf, erfc หรือฟังก์ชันผกผัน แล้วป้อน x และความแม่นยำ เพื่อดูค่าพร้อมขั้นตอนบนกราฟเกาส์เซียน

ตัวอย่างด่วน:

erf(1) erf(0.5) erfc(1) erf⁻¹(0.5) erf(2) erfc⁻¹(0.1)
ประเภทฟังก์ชัน:
ค่าอินพุต (x):
ความละเอียดทศนิยม:
💡
โดเมนที่ใช้งานได้: erf/erfc ยอมรับจำนวนจริงใดๆ erf ผกผัน ต้องใช้ -1 < x < 1 erfc ผกผัน ต้องใช้ 0 < x < 2

Embed เครื่องคิดเลขฟังก์ชันผิดพลาด Widget

เกี่ยวกับ เครื่องคิดเลขฟังก์ชันผิดพลาด

ยินดีต้อนรับสู่ เครื่องคิดเลขฟังก์ชันความผิดพลาด เครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่ครอบคลุมสำหรับการคำนวณฟังก์ชันความผิดพลาด erf(x), ฟังก์ชันความผิดพลาดส่วนเติมเต็ม erfc(x) และฟังก์ชันผกผัน เครื่องคิดเลขนี้ให้ผลลัพธ์ที่แม่นยำสูงสุด 15 ตำแหน่งทศนิยม พร้อมการแสดงภาพประกอบแบบโต้ตอบ และคำอธิบายทีละขั้นตอนเพื่อช่วยให้คุณเข้าใจฟังก์ชันพิเศษพื้นฐานที่ใช้ในสถิติ ทฤษฎีความน่าจะเป็น ฟิสิกส์ และวิศวกรรมศาสตร์

สรุปภาพรวม

เครื่องคิดเลขฟังก์ชันผิดพลาดคำนวณ erf(x), erfc(x), inverse erf และ inverse erfc สำหรับค่าที่คุณกรอก แสดงผลที่ทศนิยม 6, 10 หรือ 15 ตำแหน่ง พร้อมเส้นโค้งเกาส์เซียนและขั้นตอนการคำนวณ

เครื่องคิดเลขฟังก์ชันผิดพลาด: ฟีเจอร์โดยสรุป
ฟีเจอร์สิ่งที่ได้รับเหมาะสำหรับ
สี่ฟังก์ชันเลือก erf(x), erfc(x), inverse erf หรือ inverse erfc โดย erf และ erfc รับจำนวนจริงใดก็ได้โจทย์สถิติ ฟิสิกส์ และการประมวลผลสัญญาณ
โดเมนของค่าผกผันinverse erf ต้องการค่าที่อยู่ระหว่าง -1 ถึง 1 โดยไม่รวมขอบ inverse erfc ต้องการค่าที่อยู่ระหว่าง 0 ถึง 2 โดยไม่รวมขอบหลีกเลี่ยงค่าที่อยู่นอกช่วง
ความละเอียดเลือก 6, 10 หรือ 15 ตำแหน่งทศนิยมสำหรับผลลัพธ์ให้ตรงกับความละเอียดที่หลักสูตรหรือโปรแกรมต้องการ
การเชื่อมกับการแจกแจงปกติอธิบายความสัมพันธ์ Phi(x) = 1/2 [1 + erf(x / sqrt(2))] ระหว่าง erf กับ CDF ของการแจกแจงปกติมาตรฐานแปลงระหว่าง erf กับความน่าจะเป็นแบบปกติ
กราฟและขั้นตอนกราฟเกาส์เซียนและฟังก์ชันผิดพลาดแบบโต้ตอบ พร้อมคำอธิบายการคำนวณทีละขั้นเข้าใจรูปร่างและพฤติกรรมของฟังก์ชัน
ปุ่มตัวอย่างปุ่มตัวอย่างด่วนกรอกค่าที่ใช้บ่อย และตารางอ้างอิงแสดง erf และ erfc ตั้งแต่ x = 0 ถึง 3ตรวจผลลัพธ์กับค่าที่รู้อยู่แล้ว

ฟังก์ชันความผิดพลาดคืออะไร?

ฟังก์ชันความผิดพลาด หรือเขียนแทนด้วย erf(x) เป็นฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์พิเศษที่มีรูปร่างเป็นรูปตัวเอส (Sigmoid) ซึ่งเกิดขึ้นบ่อยครั้งในความน่าจะเป็น สถิติ และสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย หรือที่รู้จักกันในชื่อ ฟังก์ชันความผิดพลาดของเกาส์ (Gauss error function) โดยนิยามจากอินทิกรัลของการแจกแจงแบบเกาส์เซียน (ปกติ):

นิยามของฟังก์ชันความผิดพลาด
$$erf(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^x e^{-t^2} dt$$

ฟังก์ชันความผิดพลาดมีคุณสมบัติที่สำคัญหลายประการ:

เรนจ์ (Range)
-1 < erf(x) < 1
ที่จุดศูนย์
erf(0) = 0
ฟังก์ชันคี่
erf(-x) = -erf(x)
ขีดจำกัด (Limits)
lim erf(x) = +1 เมื่อ x เข้าใกล้ +อินฟินิตี้ และ -1 เมื่อ x เข้าใกล้ -อินฟินิตี้

ทำไมถึงเรียกว่าฟังก์ชันความผิดพลาด?

ชื่อ "ฟังก์ชันความผิดพลาด" มีต้นกำเนิดมาจากทฤษฎีความผิดพลาดในทางสถิติในช่วงคริสต์ศตวรรษที่ 18 และ 19 เมื่อนักวิทยาศาสตร์และนักคณิตศาสตร์ศึกษาเรื่องความผิดพลาดในการวัด พวกเขาพบว่าความผิดพลาดแบบสุ่มมักจะเป็นไปตามการแจกแจงปกติ (Gaussian) ฟังก์ชันความผิดพลาดแสดงถึงความน่าจะเป็นที่ความผิดพลาดในการวัดจะตกอยู่ในช่วงที่กำหนด ทำให้เป็นพื้นฐานสำหรับการวิเคราะห์ทางสถิติและการควบคุมคุณภาพ

ฟังก์ชันความผิดพลาดส่วนเติมเต็ม (erfc)

ฟังก์ชันความผิดพลาดส่วนเติมเต็ม erfc(x) ถูกกำหนดให้เป็นหนึ่งลบด้วยฟังก์ชันความผิดพลาด:

ฟังก์ชันความผิดพลาดส่วนเติมเต็ม
$$erfc(x) = 1 - erf(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_x^{\infty} e^{-t^2} dt$$

ฟังก์ชันความผิดพลาดส่วนเติมเต็มมีประโยชน์อย่างยิ่งในการคำนวณความน่าจะเป็นในช่วงปลาย (Tail) ของการแจกแจงปกติ สำหรับค่า x ขนาดใหญ่ erfc(x) จะให้ความแม่นยำเชิงตัวเลขที่ดีกว่าการคำนวณ 1 - erf(x) โดยตรง เนื่องจาก erf(x) เข้าใกล้ 1 และการลบจะทำให้สูญเสียตัวเลขที่มีนัยสำคัญ

ฟังก์ชันความผิดพลาดผกผัน

ฟังก์ชันความผิดพลาดผกผัน erf-1(x) จะหาค่า y ที่ทำให้ erf(y) = x โดยกำหนดขึ้นสำหรับอินพุตในช่วง (-1, 1) เท่านั้น ในทำนองเดียวกัน ฟังก์ชันความผิดพลาดส่วนเติมเต็มผกผัน erfc-1(x) จะกำหนดขึ้นสำหรับอินพุตในช่วง (0, 2)

ฟังก์ชันความผิดพลาดผกผัน
$$erf^{-1}(x): \text{หาค่า } y \text{ ที่ทำให้ } erf(y) = x$$

ฟังก์ชันความผิดพลาดผกผันมีความจำเป็นสำหรับ:

ความสัมพันธ์กับการแจกแจงปกติ

ฟังก์ชันความผิดพลาดมีความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับการแจกแจงปกติมาตรฐาน หากคุณมีตัวแปรสุ่ม Z ที่มีการแจกแจงปกติมาตรฐาน N(0,1) ความน่าจะเป็นที่ Z จะอยู่ระหว่าง -x และ x จะเกี่ยวข้องกับ erf ดังนี้:

ความเชื่อมโยงกับการแจกแจงปกติ
$$P(-x\sqrt{2} \leq Z \leq x\sqrt{2}) = erf(x)$$

ฟังก์ชันการแจกแจงสะสม (CDF) ของการแจกแจงปกติมาตรฐานสามารถแสดงได้ดังนี้:

CDF ของการแจกแจงปกติมาตรฐาน
$$\Phi(x) = \frac{1}{2}\left[1 + erf\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right]$$

วิธีใช้เครื่องคิดเลขนี้

  1. เลือกประเภทฟังก์ชัน: เลือกจาก erf(x), erfc(x), erf ผกผัน หรือ erfc ผกผัน ตามความต้องการในการคำนวณของคุณ
  2. ป้อนค่าอินพุต: พิมพ์ค่า x ที่คุณต้องการคำนวณฟังก์ชัน สำหรับฟังก์ชันผกผัน ตรวจสอบให้แน่ใจว่าอินพุตของคุณอยู่ในโดเมนที่ถูกต้อง
  3. เลือกความแม่นยำ: เลือกทศนิยม 6, 10 หรือ 15 ตำแหน่งตามความต้องการความถูกต้องแม่นยำของคุณ
  4. คลิกคำนวณ: ดูผลลัพธ์ของคุณพร้อมคำอธิบายทีละขั้นตอน กราฟแบบโต้ตอบ และค่าที่เกี่ยวข้อง

โดเมนอินพุต (Input Domains)

ตารางค่าฟังก์ชันความผิดพลาด

นี่คือค่าของฟังก์ชันความผิดพลาดที่ใช้บ่อยบางส่วน:

เครื่องคิดเลขฟังก์ชันผิดพลาด: ตารางค่าฟังก์ชันความผิดพลาด
xerf(x)erfc(x)
0.00.000000001.00000000
0.10.112462920.88753708
0.20.222702590.77729741
0.30.328626760.67137324
0.40.428392360.57160764
0.50.520499880.47950012
0.60.603856090.39614391
0.70.677801190.32219881
0.80.742100960.25789904
0.90.796908210.20309179
1.00.842700790.15729921
1.50.966105150.03389485
2.00.995322270.00467773
2.50.999593050.00040695
3.00.999977910.00002209

การประยุกต์ใช้ฟังก์ชันความผิดพลาด

สถิติและความน่าจะเป็น

ฟังก์ชันความผิดพลาดเป็นพื้นฐานของทฤษฎีความน่าจะเป็น โดยปรากฏในฟังก์ชันการแจกแจงสะสมของการแจกแจงปกติ การคำนวณช่วงความเชื่อมั่น การทดสอบสมมติฐาน และกระบวนการควบคุมคุณภาพโดยใช้แผนภูมิควบคุม

ฟิสิกส์และวิศวกรรม

ในทางฟิสิกส์ ฟังก์ชันความผิดพลาดจะปรากฏในสมการการแพร่กระจายความร้อน (การวิเคราะห์ฟูริเยร์) การแพร่กระจายมวลในวัสดุ การแพร่กระจายของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า และกลศาสตร์ควอนตัม (ฟังก์ชันคลื่น)

การประมวลผลสัญญาณ

วิศวกรสัญญาณใช้ฟังก์ชันความผิดพลาดในการคำนวณอัตราความผิดพลาดบิตในการสื่อสารดิจิทัล การวิเคราะห์สัญญาณรบกวนในระบบไฟฟ้า การออกแบบฟิลเตอร์ และการวิเคราะห์การมอดูเลต

คณิตศาสตร์การเงิน

ในการเงินเชิงปริมาณ ฟังก์ชันความผิดพลาดจะปรากฏในแบบจำลองราคาออปชัน (Black-Scholes) การคำนวณการประเมินความเสี่ยง การเพิ่มประสิทธิภาพพอร์ตโฟลิโอ และการจำลองมอนเตคาร์โล

คุณสมบัติทางคณิตศาสตร์

การขยายอนุกรม (Series Expansion)

ฟังก์ชันความผิดพลาดสามารถแสดงเป็นอนุกรมเทย์เลอร์ได้:

อนุกรมเทย์เลอร์
$$erf(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{n!(2n+1)}$$

การขยายเชิงเส้นกำกับ (Asymptotic Expansion)

สำหรับค่า x ขนาดใหญ่ ฟังก์ชันความผิดพลาดส่วนเติมเต็มสามารถประมาณได้ด้วย:

การประมาณค่าเชิงเส้นกำกับ
$$erfc(x) \approx \frac{e^{-x^2}}{x\sqrt{\pi}} \text{ เมื่อ } x \to \infty$$

อนุพันธ์

อนุพันธ์ของฟังก์ชันความผิดพลาดคือฟังก์ชันเกาส์เซียน:

อนุพันธ์
$$\frac{d}{dx}erf(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-x^2}$$

คำถามที่พบบ่อย

ฟังก์ชันความผิดพลาด (erf) คืออะไร?

ฟังก์ชันความผิดพลาด หรือเขียนแทนด้วย erf(x) คือฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์พิเศษที่พบบ่อยในเรื่องความน่าจะเป็น สถิติ และการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย กำหนดโดย erf(x) = (2/√π) ∫₀ˣ e^(-t²) dt ฟังก์ชันนี้จะให้ค่าระหว่าง -1 ถึง 1 โดยที่ erf(0) = 0 และมีค่าเข้าใกล้ ±1 เมื่อ x เข้าใกล้ ±

ฟังก์ชันความผิดพลาดเกี่ยวข้องกับการแจกแจงปกติอย่างไร?

ฟังก์ชันความผิดพลาดมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับฟังก์ชันการแจกแจงสะสม (CDF) ของการแจกแจงปกติมาตรฐาน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐานจะมีค่าระหว่าง -x√2 และ x√2 จะได้จาก erf(x) ความสัมพันธ์คือ: Φ(x) = (1/2)[1 + erf(x/√2)] โดยที่ Φ(x) คือ CDF ของการแจกแจงปกติมาตรฐาน

ฟังก์ชันความผิดพลาดส่วนเติมเต็ม (erfc) คืออะไร?

ฟังก์ชันความผิดพลาดส่วนเติมเต็ม erfc(x) ถูกกำหนดเป็น erfc(x) = 1 - erf(x) ซึ่งแสดงถึงความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐานจะมีค่าสัมบูรณ์เกิน x√2 สำหรับค่า x ที่มีขนาดใหญ่ การคำนวณ erfc(x) โดยตรงจะมีความแม่นยำมากกว่าการคำนวณ 1 - erf(x) เนื่องจาก erf(x) เข้าใกล้ 1 ซึ่งทำให้สูญเสียความละเอียดจากการลบ

ฟังก์ชันความผิดพลาดผกผันคืออะไร?

ฟังก์ชันความผิดพลาดผกผัน erf⁻¹(x) คือส่วนกลับของฟังก์ชันความผิดพลาด โดยจะหาค่า y ที่ทำให้ erf(y) = x ฟังก์ชันนี้กำหนดขึ้นสำหรับอินพุตที่อยู่ระหว่าง -1 และ 1 เท่านั้น (ไม่รวมจุดสิ้นสุด) ฟังก์ชันความผิดพลาดผกผันมีประโยชน์ในการสร้างตัวเลขสุ่มที่มีการแจกแจงปกติและในการแก้สมการที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันความผิดพลาด

ทำไมถึงเรียกว่าฟังก์ชันความผิดพลาด?

ชื่อ 'ฟังก์ชันความผิดพลาด' มาจากความเชื่อมโยงกับทฤษฎีความผิดพลาดในทางสถิติ ในคริสต์ศตวรรษที่ 18 นักคณิตศาสตร์ที่ศึกษาเรื่องความผิดพลาดในการวัดพบว่าความผิดพลาดมักจะเป็นไปตามการแจกแจงปกติ (Gaussian) ฟังก์ชันความผิดพลาดแสดงถึงความน่าจะเป็นที่ความผิดพลาดในการวัดจะตกอยู่ในช่วงที่กำหนด จึงเป็นที่มาของชื่อนี้

แหล่งข้อมูลที่เกี่ยวข้อง

อ้างอิงเนื้อหา หน้าหรือเครื่องมือนี้ว่า:

"เครื่องคิดเลขฟังก์ชันผิดพลาด" ที่ https://MiniWebtool.com/th/เครื่องคิดเลขฟังก์ชันผิดพลาด/ จาก MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

โดยทีม miniwebtool อัปเดตล่าสุด: 10 ม.ค. 2026

มี Developer API ให้ใช้งาน: เรียกใช้เครื่องมือนี้จากแอป ระบบอัตโนมัติ หรือเอเจนต์ของคุณด้วยคำขอ JSON HTTP หนึ่งครั้ง ดูเอกสาร API

พูดคุยกับ AI ที่คุณชื่นชอบ

Gemini (คัดลอกและเปิด)

เมื่อใช้ Gemini ให้วางคำถามที่คัดลอกลงในแชต คุณคัดลอกคำถามด้านล่างได้เช่นกัน

ดูคำถาม

การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ขั้นสูง:

ตัวช่วยแก้โจทย์คณิตศาสตร์คุณต้องการคำนวณอะไร?

ตัวช่วยแก้โจทย์คณิตศาสตร์

ตัวอย่าง
ดูตัวอย่างนิพจน์เพิ่มเติม

เลือกตัวอย่าง แก้ไขตัวเลข แล้วคำนวณ log ใช้ฐาน 10 ส่วน ln คือลอการิทึมธรรมชาติ

จำนวนและตัวประกอบ

เศษส่วนและการหาร

เลขยกกำลัง ราก และลอการิทึม

พีชคณิตและสมการ

แคลคูลัส

เรขาคณิตและตรีโกณมิติ

เครื่องมือยอดนิยมและอัปเดตล่าสุด:

เครื่องคิดเลขฟังก์ชันโทเชียนต์ออยเลอร์เครื่องตรวจสอบฟังก์ชันคู่คี่เครื่องคำนวณฟังก์ชันผกผันดูทั้งหมด →
หน้าแรก > คณิตศาสตร์ > การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ขั้นสูง > เครื่องคิดเลขฟังก์ชันผิดพลาด