จะคำนวณอินเวอร์สการคูณแบบโมดูลาร์ได้อย่างไร?

วิธีที่มีประสิทธิภาพที่สุดคือขั้นตอนวิธีแบบยุคลิดส่วนขยาย (Extended Euclidean Algorithm) ซึ่งจะหาจำนวนเต็ม x และ y ที่ทำให้ ax + my = gcd(a, m) เมื่อ gcd(a, m) = 1 ค่า x จะเป็นอินเวอร์สการคูณแบบโมดูลาร์ หรือหาก m เป็นจำนวนเฉพาะ สามารถใช้ทฤษฎีบทน้อยของแฟร์มาต์จะได้ a⁻¹ ≡ a^(m-2) (mod m)

เมื่อใดที่ไม่มีอินเวอร์สการคูณแบบโมดูลาร์?

อินเวอร์สการคูณแบบโมดูลาร์ของ a (mod m) จะไม่มีอยู่เมื่อ gcd(a, m) > 1 ตัวอย่างเช่น อินเวอร์สของ 6 (mod 9) ไม่มีอยู่เพราะ gcd(6, 9) = 3 ซึ่งไม่เท่ากับ 1

การใช้งานจริงของอินเวอร์สการคูณแบบโมดูลาร์มีอะไรบ้าง?

อินเวอร์สการคูณแบบโมดูลาร์เป็นพื้นฐานสำคัญของการเข้ารหัส RSA, การแลกเปลี่ยนคีย์ Diffie-Hellman, การเข้ารหัสแบบเส้นโค้งรี (Elliptic Curve Cryptography), การแก้สมการคอนกรูเอนซ์เชิงเส้น, การคำนวณทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน และการคำนวณเศษส่วนในระบบโมดูลาร์

เครื่องคำนวณอินเวอร์สการคูณแบบโมดูลาร์

Q: อินเวอร์สการคูณแบบโมดูลาร์คืออะไร?

อินเวอร์สการคูณแบบโมดูลาร์ของจำนวนเต็ม a โมดูโล m คือจำนวนเต็ม x ที่ทำให้ a·x ≡ 1 (mod m) เขียนแทนด้วย a⁻¹ (mod m) และจะมีคำตอบก็ต่อเมื่อ gcd(a, m) = 1 (a และ m เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน)

คำนวณอินเวอร์สการคูณแบบโมดูลาร์ของจำนวนเต็ม a ภายใต้โมดูโล m โดยใช้ Extended Euclidean Algorithm พร้อมตารางแสดงขั้นตอนการคำนวณ การตรวจสอบความถูกต้อง และการแสดงภาพแบบนาฬิกา

Embed เครื่องคำนวณอินเวอร์สการคูณแบบโมดูลาร์ Widget

เกี่ยวกับ เครื่องคำนวณอินเวอร์สการคูณแบบโมดูลาร์

อินเวอร์สการคูณแบบโมดูลาร์คืออะไร?

อินเวอร์สการคูณแบบโมดูลาร์ ของจำนวนเต็ม a เทียบกับโมดูโล m คือจำนวนเต็ม x ในช่วง [0, m-1] ที่ทำให้:

\( a \cdot x \equiv 1 \pmod{m} \)

เขียนแทนด้วย a⁻¹ (mod m) ซึ่งคล้ายกับอินเวอร์สการคูณในเลขคณิตทั่วไป (คือ 1/a) แต่ทำในระบบเลขคณิตมอดุลาร์

เงื่อนไขสำคัญ: อินเวอร์สจะมีอยู่ ก็ต่อเมื่อ gcd(a, m) = 1 — นั่นคือ a และ m ต้องเป็น จำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ กัน

วิธีการคำนวณ: ขั้นตอนวิธีแบบยุคลิดส่วนขยาย

วิธีที่มีประสิทธิภาพที่สุดคือการใช้ ขั้นตอนวิธีแบบยุคลิดส่วนขยาย (Extended Euclidean Algorithm) ซึ่งจะหาจำนวนเต็ม x และ y ที่สอดคล้องกับเอกลักษณ์ของเบซู (Bézout's identity):

\( a \cdot x + m \cdot y = \gcd(a, m) = 1 \)

เมื่อ gcd(a, m) = 1 การคิดทั้งสองข้างแบบ mod m จะได้ a·x ≡ 1 (mod m) ดังนั้น x จึงเป็นอินเวอร์สแบบโมดูลาร์

ตัวอย่าง: หา 3⁻¹ (mod 7):

Extended GCD จะได้: 3·(5) + 7·(-2) = 15 − 14 = 1 ดังนั้น 3⁻¹ ≡ 5 (mod 7) ตรวจสอบ: 3 × 5 = 15 = 2×7 + 1 ≡ 1 (mod 7) ✓

การประยุกต์ใช้ในวิทยาการรหัสลับและคณิตศาสตร์

🔐

การเข้ารหัส RSA

การหาคีย์ส่วนตัว d = e⁻¹ (mod φ(n)) จากเลขชี้กำลังสาธารณะ e

📈

Diffie-Hellman

โปรโตคอลการแลกเปลี่ยนคีย์ที่ใช้ลอการิทึมแบบไม่ต่อเนื่องในเลขคณิตมอดุลาร์

🇮

Affine Cipher

การถอดรหัสที่ต้องใช้ a⁻¹ (mod 26) เพื่อย้อนกลับคีย์การเข้ารหัส

🔢

CRT และทฤษฎีจำนวน

ใช้ในทฤษฎีบทเศษเหลือของจีนและการแก้สมการคอนกรูเอนซ์เชิงเส้น ax ≡ b (mod m)

👑

เส้นโค้งรี (ECC)

สูตรการบวกจุดใน ECC ต้องใช้อินเวอร์สแบบโมดูลาร์สำหรับการคำนวณความชัน

📋

เศษส่วนโมดูลาร์

การคำนวณ a/b (mod m) ในรูปของ a · b⁻¹ (mod m) เมื่อ gcd(b, m) = 1

คำถามที่พบบ่อย

ถาม: ทำไมอินเวอร์สถึงไม่ได้มีอยู่เสมอไป?

เพราะเลขคณิตมอดุลาร์มีลักษณะเป็นวงรอบ (wrap around) ผลคูณบางค่าของ a อาจไม่มีทางวนมาตกที่ 1 mod m ซึ่งจะเกิดขึ้นเมื่อ a และ m มีตัวหารร่วมกัน หรือ gcd(a, m) > 1

ถาม: มีสูตรสำหรับโมดูโลที่เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่?

มี! หาก m เป็นจำนวนเฉพาะและ a ไม่ใช่พหุคูณของ m ทฤษฎีบทน้อยของแฟร์มาต์ระบุว่า: a⁻¹ ≡ a^m-2 (mod m) ซึ่งมักใช้ในการเขียนโปรแกรมแข่งขัน

ถาม: ผลลัพธ์ที่ได้มีเพียงค่าเดียวหรือไม่?

ใช่ ผลลัพธ์จะเป็นค่าเฉพาะตัวในระบบโมดูโล m เราจะแสดงผลลัพธ์มาตรฐานในช่วง [0, m-1] เสมอ ส่วนอินเวอร์สอื่นๆ ที่ใช้ได้คือ x + km สำหรับจำนวนเต็ม k ใดๆ ซึ่งทั้งหมดมีค่าเทียบเท่ากันใน mod m

ถาม: จะเกิดอะไรขึ้นถ้า a เป็นค่าลบ?

ขั้นตอนวิธีสามารถจัดการจำนวนเต็มลบได้ โดยภายในระบบจะคำนวณ a (mod m) เพื่อให้ได้ค่าตัวแทนที่เป็นบวกก่อน แล้วจึงหาอินเวอร์ส ผลลัพธ์จะอยู่ในช่วง [0, m-1] เสมอ

อ้างอิงเนื้อหา หน้าหรือเครื่องมือนี้ว่า:

"เครื่องคำนวณอินเวอร์สการคูณแบบโมดูลาร์" ที่ https://MiniWebtool.com/th/เครื่องคำนวณอินเวอร์สการคูณแบบโมดูลาร์/ จาก MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

โดยทีมงาน miniwebtool อัปเดตเมื่อ: 18 ก.พ. 2026

คุณสามารถลองใช้ AI แก้ปัญหาคณิตศาสตร์ GPT ของเรา เพื่อแก้ไขปัญหาทางคณิตศาสตร์ของคุณผ่านคำถามและคำตอบด้วยภาษาธรรมชาติ.