เครื่องคำนวณรูปแบบปกติของจอร์แดน

เกี่ยวกับ เครื่องคำนวณรูปแบบปกติของจอร์แดน

เครื่องคำนวณรูปแบบปกติของจอร์แดน จะสร้าง รูปแบบปกติของจอร์แดน J ของเมทริกซ์จัตุรัส A พร้อมกับเมทริกซ์การเปลี่ยนสถานะผกผัน P ที่สอดคล้องกับความสัมพันธ์ความคล้ายคลึง P⁻¹AP = J ต่างจากการทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมซึ่งล้มเหลวสำหรับเมทริกซ์บกพร่อง รูปแบบจอร์แดนมีอยู่สำหรับ ทุก เมทริกซ์จัตุรัสเหนือฟีลด์ที่ปิดทางพีชคณิต — มันแทนที่การแสดงผลแบบแนวทแยงด้วยลำดับของ บล็อกจอร์แดน ซึ่งแต่ละบล็อกเป็นเมทริกซ์ที่เกือบเป็นแนวทแยงซึ่งมีค่าไอเกนบนแนวทแยงและมีเลข 1 บนแนวทแยงเหนือแนวทแยงหลัก เครื่องมือนี้คำนวณทุกอย่างด้วยเลขคณิตตรรกยะที่แม่นยำ ดังนั้น J และ P ที่ได้จึงถูกต้องตามหลักการพิสูจน์ — ไม่มีการปัดเศษทศนิยมเข้ามาเกี่ยวข้อง

รูปแบบปกติของจอร์แดนคืออะไร?

กำหนดให้เมทริกซ์ A ขนาด n × n เหนือจำนวนเชิงซ้อน รูปแบบปกติของจอร์แดน J คือเมทริกซ์บล็อกทแยงมุม

โดยที่แต่ละ บล็อกจอร์แดน J_k(λ) เป็นเมทริกซ์ขนาด k × k ที่มี λ บนแนวทแยง, มี 1 บนแนวทแยงเหนือแนวทแยงหลัก (Superdiagonal) และที่อื่นเป็นศูนย์:

ค่าไอเกน λ_i อาจซ้ำกันในแต่ละบล็อก สิ่งที่สำคัญคือ รูปแบบของขนาดบล็อก ซึ่งเป็นตัวแปรไม่เปลี่ยนรูปความคล้ายคลึง (Similarity Invariant) ที่สมบูรณ์ของ A

เหตุใดเราจึงต้องการรูปแบบจอร์แดนในเมื่อมีการทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมอยู่แล้ว?

ไม่ใช่ทุกเมทริกซ์จัตุรัสจะสามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้ เมทริกซ์จะไม่สามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้เมื่อค่าไอเกนบางค่ามีไอเกนเวกเตอร์ที่เป็นอิสระเชิงเส้นน้อยกว่าภาวะพหุคูณทางพีชคณิต — เราเรียกเมทริกซ์นั้นว่า เมทริกซ์บกพร่อง (Defective) รูปแบบจอร์แดนช่วยซ่อมแซมช่องว่างนี้โดยการนำ ไอเกนเวกเตอร์ทั่วไป เข้ามาใช้ ทำให้ได้รูปแบบเชิงบัญญัติที่ใช้ได้กับทุกเมทริกซ์

แนวคิดหลัก

ภาวะพหุคูณทางพีชคณิตเทียบกับเรขาคณิต

ภาวะพหุคูณทางพีชคณิต ของค่าไอเกน λ คือพหุคูณของ λ ในฐานะที่เป็นรากของพหุนามลักษณะเฉพาะ p_A(λ) = det(λI − A) ภาวะพหุคูณทางเรขาคณิต คือมิติของปริภูมิไอเกน หรือเรียกอีกอย่างว่า dim ker(A − λI) จำนวนบล็อกจอร์แดนที่เกี่ยวข้องกับ λ จะเท่ากับภาวะพหุคูณทางเรขาคณิต และขนาดรวมของบล็อกเหล่านั้นจะเท่ากับภาวะพหุคูณทางพีชคณิต

ไอเกนเวกเตอร์ทั่วไปและสายโซ่

เวกเตอร์ v คือ ไอเกนเวกเตอร์ทั่วไปอันดับ k สำหรับค่าไอเกน λ หาก (A − λI)^kv = 0 แต่ (A − λI)^k−1v ≠ 0 การใช้ N = (A − λI) กับไอเกนเวกเตอร์ทั่วไปอันดับ k จะได้อันดับ k−1 ดังนั้นเราจึงได้ สายโซ่จอร์แดน (Jordan chain):

การวางสายโซ่ในลำดับ v₁, v₂, …, v_k เป็นคอลัมน์ของ P จะทำให้เกิดบล็อกจอร์แดนขนาด k ในแถว/คอลัมน์ที่สอดคล้องกันของ J

บันไดเคอร์เนลและการนับบล็อก

สำหรับแต่ละค่าไอเกน λ ให้กำหนดลำดับที่เพิ่มขึ้น d_k = dim ker((A − λI)^k) ลำดับนี้จะไม่ลดลงและจะคงที่ที่ภาวะพหุคูณทางพีชคณิตของ λ จำนวนบล็อกจอร์แดนในแต่ละขนาดจะถูกแยกออกมาจากบันไดนี้:

นี่คือ การนับแบบ Young-diagram และเป็นค่าที่แม่นยำ — ไม่ต้องมีการคาดเดา เครื่องคำนวณจะพิมพ์บันไดนี้สำหรับทุกค่าไอเกนเพื่อให้คุณสามารถติดตามขั้นตอนการแยกย่อยได้ทีละขั้นตอน

พหุนามขั้นต่ำ

พหุนามขั้นต่ำ m_A(λ) คือพหุนามโมนิกที่มีดีกรีน้อยที่สุดที่เป็นไปตาม m_A(A) = 0 เมื่อคุณได้รูปแบบจอร์แดนแล้ว การอ่านค่านี้จะง่ายมาก:

เมทริกซ์จะสามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้ก็ต่อเมื่อพหุนามขั้นต่ำไม่มีรากซ้ำ กล่าวคือ ทุกบล็อกจอร์แดนมีขนาด 1

เครื่องคำนวณนี้ทำงานอย่างไร

1. วิเคราะห์เมทริกซ์ — รองรับข้อมูลป้อนเข้าแบบจำนวนเต็ม, เศษส่วน (เช่น 1/2) หรือทศนิยม ซึ่งทั้งหมดจะถูกแปลงเป็นตรรกยะที่แม่นยำ (fractions.Fraction)
2. คำนวณพหุนามลักษณะเฉพาะ โดยใช้อัลกอริทึม Faddeev–LeVerrier ซึ่งหลีกเลี่ยงการขยายดีเทอร์มิแนนต์เชิงสัญลักษณ์และทำงานในเวลา O(n⁴) ด้วยเลขคณิตที่แม่นยำ
3. หาค่าไอเกนตรรกยะ ผ่าน ทฤษฎีบทรากตรรกยะ (Rational Root Theorem) — ทุกรากตรรกยะ p/q ของพหุนามจำนวนเต็มพื้นฐานจะเป็นไปตาม p หารพจน์คงที่ลงตัว และ q หารสัมประสิทธิ์นำลงตัว แต่ละรากที่พบจะถูกหารออกและการค้นหาจะดำเนินต่อไป
4. สร้างบันไดเคอร์เนล สำหรับทุกค่าไอเกน λ โดยการคำนวณ dim ker((A − λI)^k) ด้วย RREF แบบตรรกยะจนกว่าลำดับจะคงที่ที่ภาวะพหุคูณทางพีชคณิต
5. เลือกเวกเตอร์ยอดสายโซ่ (Chain-top vectors) จากเคอร์เนลที่ใหญ่ที่สุดลงไปถึงเล็กที่สุด โดยขยายฐานเมื่อจำเป็นต้องมีบล็อกจอร์แดนใหม่ จากนั้นยอดสายโซ่แต่ละอันจะถูกคูณซ้ำๆ ด้วย (A − λI) เพื่อให้ได้เวกเตอร์ในสายโซ่
6. ประกอบ J และ P โดยจัดกลุ่มสายโซ่ตามค่าไอเกน (บล็อกที่มีขนาดใหญ่ที่สุดก่อน) วางเวกเตอร์สายโซ่เป็นคอลัมน์ของ P และเติม J ด้วยค่าไอเกนและเลข 1 ในแนวทแยงเหนือแนวทแยงหลัก
7. ตรวจสอบ อย่างแม่นยำว่า P⁻¹ A P = J โดยใช้เลขคณิตจำนวนเต็ม — รับประกันผลลัพธ์เนื่องจากการคำนวณระหว่างทางทั้งหมดเป็นจำนวนตรรกยะ

ตัวอย่างการคำนวณ

พิจารณาเมทริกซ์บกพร่องขนาด 3 × 3

• พหุนามลักษณะเฉพาะ: \(p_A(\lambda) = (\lambda - 5)^3\) มีค่าไอเกนเดียวคือ λ = 5 พร้อมภาวะพหุคูณทางพีชคณิต 3
• บันไดเคอร์เนลสำหรับ λ = 5: \(d_1 = 1\), \(d_2 = 2\), \(d_3 = 3\) การเพิ่มขึ้นคือ 1, 1, 1 → บล็อกจอร์แดนขนาด 3 เพียงบล็อกเดียว
• รูปแบบจอร์แดน: \(J = \begin{bmatrix} 5 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}\) พร้อมภาวะพหุคูณทางเรขาคณิต 1 และดัชนี 3
• พหุนามขั้นต่ำ: \(m_A(\lambda) = (\lambda - 5)^3\) — เหมือนกับพหุนามลักษณะเฉพาะเนื่องจากมีบล็อกจอร์แดนเพียงบล็อกเดียว

การประยุกต์ใช้รูปแบบปกติของจอร์แดน

• เมทริกซ์เอกซ์โพเนนเชียลและ ODE เชิงเส้น — สำหรับระบบสัมประสิทธิ์คงที่ x′ = Ax คำตอบในรูปแบบปิดคือ \(e^{tA}x_0\) และ \(e^{tA}\) สามารถคำนวณได้ง่ายเมื่อ A เขียนอยู่ในรูปแบบจอร์แดน
• กำลังของเมทริกซ์ — \(A^k = P J^k P^{-1}\) และบล็อกจอร์แดนมีสูตรที่ชัดเจนสำหรับการยกกำลัง
• แคลคูลัสเชิงฟังก์ชัน (Functional calculus) — \(f(A) = P f(J) P^{-1}\) ใช้ได้กับ f ที่เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ใดๆ โดยมีเงื่อนไขว่า f ต้องถูกกำหนดบนย่านใกล้เคียงของสเปกตรัม
• ทฤษฎีการควบคุม — ความเสถียรของระบบเชิงเส้นถูกควบคุมโดยค่าไอเกน และ ขนาดของบล็อกจอร์แดน (กรณีคาบเกี่ยวจำเป็นต้องดูบล็อกที่ใหญ่ที่สุดสำหรับค่าไอเกนวิกฤต)
• การจำแนกประเภทของตัวดำเนินการเชิงเส้น — เมทริกซ์สองตัวจะคล้ายกันก็ต่อเมื่อมีรูปแบบจอร์แดนเดียวกัน ดังนั้นรูปแบบนี้จึงเป็นตัวแปรไม่เปลี่ยนรูปที่สมบูรณ์

คำถามที่พบบ่อย

รูปแบบปกติของจอร์แดนของเมทริกซ์คืออะไร?

รูปแบบปกติของจอร์แดน (หรือเรียกอีกอย่างว่ารูปแบบบัญญัติของจอร์แดน) คือเมทริกซ์ J ที่เกือบเป็นแนวทแยงซึ่งคล้ายกับเมทริกซ์เดิม A หมายความว่ามีเมทริกซ์ผกผัน P ที่ทำให้ P⁻¹AP = J แนวทแยงของ J ประกอบด้วยค่าไอเกนของ A และเหนือแนวทแยงจะมีเลข 1 ปรากฏอยู่ในบล็อกจอร์แดนเมื่อ A ไม่สามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้ ทุกเมทริกซ์จัตุรัสเหนือจำนวนเชิงซ้อนมีรูปแบบปกติของจอร์แดนที่เฉพาะตัว ยกเว้นลำดับของบล็อก

เมื่อใดที่เมทริกซ์ไม่สามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้?

เมทริกซ์ไม่สามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้เมื่อมีค่าไอเกนอย่างน้อยหนึ่งค่าที่มีไอเกนเวกเตอร์ที่เป็นอิสระเชิงเส้นน้อยกว่าภาวะพหุคูณทางพีชคณิต — ช่องว่างนี้จะถูกเติมด้วยบล็อกจอร์แดนขนาด 2 หรือใหญ่กว่า หรืออีกนัยหนึ่ง เมทริกซ์จะไม่สามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้เมื่อพหุนามขั้นต่ำมีรากซ้ำ เมทริกซ์ดังกล่าวเรียกว่าเมทริกซ์บกพร่อง

ไอเกนเวกเตอร์ทั่วไปถูกกำหนดไว้อย่างไร?

ไอเกนเวกเตอร์ทั่วไปอันดับ k สำหรับค่าไอเกน λ คือเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ v ที่ทำให้ (A − λI)^kv = 0 แต่ (A − λI)^k−1v ไม่เป็นศูนย์ การใช้ (A − λI) กับไอเกนเวกเตอร์ทั่วไปอันดับ k จะได้อันดับ k−1 ทำให้เกิดสายโซ่ สายโซ่เหล่านี้จะเป็นคอลัมน์ของเมทริกซ์การเปลี่ยนสถานะ P ในการแยกย่อยจอร์แดน

ความแตกต่างระหว่างภาวะพหุคูณทางพีชคณิตและเรขาคณิตคืออะไร?

ภาวะพหุคูณทางพีชคณิตของค่าไอเกน λ คือจำนวนครั้งที่มันปรากฏเป็นรากของพหุนามลักษณะเฉพาะ ภาวะพหุคูณทางเรขาคณิตคือมิติของปริภูมิไอเกน — จำนวนไอเกนเวกเตอร์ที่เป็นอิสระเชิงเส้น ภาวะพหุคูณทางเรขาคณิตเท่ากับจำนวนบล็อกจอร์แดนสำหรับ λ ในขณะที่ภาวะพหุคูณทางพีชคณิตเท่ากับขนาดรวมของบล็อกเหล่านั้นทั้งหมด ภาวะพหุคูณที่เท่ากันหมายความว่าค่าไอเกนนั้นมีเพียงบล็อกขนาด 1 เท่านั้น

เครื่องคำนวณนี้หาขนาดของบล็อกจอร์แดนได้อย่างไร?

สำหรับแต่ละค่าไอเกน λ เครื่องคำนวณจะคำนวณมิติ d_k = dim ker((A − λI)^k) สำหรับ k = 1, 2, … จนกระทั่งลำดับคงที่ที่ภาวะพหุคูณทางพีชคณิต จำนวนบล็อกจอร์แดนที่มีขนาดอย่างน้อย k เท่ากับ d_k − d_k−1 การลบพจน์ที่ต่อเนื่องกันจะได้จำนวนบล็อกที่แน่นอนในแต่ละขนาด การคำนวณแบบ Young-diagram นี้แม่นยำและใช้เลขคณิตตรรกยะตลอดกระบวนการ

เครื่องคำนวณรองรับเมทริกซ์ที่มีค่าไอเกนเป็นจำนวนอตรรกยะหรือจำนวนเชิงซ้อนหรือไม่?

เครื่องคำนวณใช้เลขคณิตตรรกยะที่แม่นยำ ซึ่งกำหนดให้ค่าไอเกนต้องเป็นจำนวนตรรกยะ เมื่อพหุนามลักษณะเฉพาะมีตัวประกอบที่ไม่สามารถแยกเหนือจำนวนตรรกยะ เครื่องมือจะแสดงค่าไอเกนเชิงซ้อนโดยประมาณทางตัวเลขสำหรับตัวประกอบที่เหลือ แต่จะไม่สร้างรูปแบบจอร์แดนแบบเต็ม เนื่องจากเลขคณิตที่แม่นยำเป็นสิ่งจำเป็นในการกำหนดขนาดบล็อกอย่างถูกต้อง ให้ปรับขนาดหรือแก้ไขเมทริกซ์ของคุณเพื่อให้ค่าไอเกนทั้งหมดเป็นจำนวนตรรกยะเพื่อให้ได้การแยกย่อยจอร์แดนที่สมบูรณ์

พหุนามขั้นต่ำคืออะไรและคำนวณอย่างไรที่นี่?

พหุนามขั้นต่ำ m(λ) คือพหุนามโมนิกที่มีดีกรีน้อยที่สุดที่ทำให้ m(A) = 0 มันเท่ากับผลคูณเหนือค่าไอเกน λ ที่แตกต่างกันของ (λ − λ_i)^index_i โดยที่ดัชนีคือขนาดของบล็อกจอร์แดนที่ใหญ่ที่สุดสำหรับค่าไอเกน λ_i เครื่องคำนวณนี้อ่านดัชนีโดยตรงจากโครงสร้างบล็อกที่คำนวณได้ ดังนั้นพหุนามขั้นต่ำจึงเป็นผลพลอยได้จากการแยกย่อยจอร์แดน

อ่านเพิ่มเติม

• Jordan normal form — Wikipedia
• Generalized eigenvector — Wikipedia
• Minimal polynomial — Wikipedia
• Faddeev–LeVerrier algorithm — Wikipedia