สูตรการประมาณค่าแบบอะซิมโทติกของ Hardy-Ramanujan สำหรับ p(n) คืออะไร?

สูตรการประมาณค่าแบบอะซิมโทติกของ Hardy-Ramanujan ระบุว่า p(n) มีค่าประมาณเท่ากับ exp(pi คูณรากที่สองของ 2n หารด้วย 3) หารด้วย 4n คูณรากที่สองของ 3 เมื่อ n เข้าสู่ค่าอนันต์ สูตรนี้ถูกค้นพบโดย G.H. Hardy และ Srinivasa Ramanujan ในปี 1918 เป็นสูตรแรกที่ให้อันดับการเติบโตที่แท้จริงของฟังก์ชันการแบ่งส่วน ต่อมา Hans Rademacher ได้ขยายสูตรนี้ให้เป็นอนุกรมที่ลู่เข้าแบบแม่นยำ

เครื่องคำนวณฟังก์ชันการแบ่งส่วน

Q: ฟังก์ชันการแบ่งส่วน p(n) คืออะไร?

ฟังก์ชันการแบ่งส่วน p(n) คือการนับจำนวนวิธีในการเขียนจำนวนเต็มบวก n ในรูปของผลรวมของจำนวนเต็มบวก โดยที่ลำดับของตัวบวกไม่มีความสำคัญ ตัวอย่างเช่น p(4) เท่ากับ 5 เพราะ 4 สามารถเขียนได้เป็น 4, 3+1, 2+2, 2+1+1 หรือ 1+1+1+1 โดยข้อกำหนด p(0) จะเท่ากับ 1 (การแบ่งส่วนว่าง)

Q: แผนภาพ Young หรือ Ferrers คืออะไร?

แผนภาพ Young (หรือเรียกว่าแผนภาพ Ferrers) เป็นการแสดงภาพของการแบ่งส่วน โดยที่แต่ละส่วนจะถูกวาดเป็นแถวของกล่อง ส่วนต่างๆ จะถูกจัดเรียงจากมากที่สุดไปหาน้อยที่สุดจากบนลงล่าง สำหรับการแบ่งส่วน 4+2+1 ของ 7 แผนภาพจะมีแถว 4 กล่อง แถว 2 กล่อง และแถว 1 กล่อง แผนภาพ Young ช่วยให้เห็นคุณสมบัติทางโครงสร้างของการแบ่งส่วนและกำหนดการดำเนินการต่างๆ เช่น การสังยุค (conjugation) ได้ง่ายขึ้น

Q: ทฤษฎีบทการแบ่งส่วนของ Euler กล่าวว่าอย่างไร?

ทฤษฎีบทการแบ่งส่วนของ Euler ระบุว่าสำหรับจำนวนเต็มบวก n ใดๆ จำนวนการแบ่งส่วนของ n เป็นส่วนที่ต่างกัน (distinct parts) จะเท่ากับจำนวนการแบ่งส่วนของ n เป็นส่วนที่เป็นเลขคี่ (odd parts) ตัวอย่างเช่น สำหรับ n = 5 การแบ่งส่วนแบบส่วนต่างกันคือ {5}, {4+1}, {3+2} (มีสามวิธี) และการแบ่งส่วนแบบส่วนคี่คือ {5}, {3+1+1}, {1+1+1+1+1} (มีสามวิธีเช่นกัน) เครื่องคำนวณนี้จะรายงานทั้งสองจำนวนเพื่อให้คุณสามารถตรวจสอบความเท่ากันได้ทันที

Q: ความสอดคล้องของการแบ่งส่วนของ Ramanujan คืออะไร?

Ramanujan ค้นพบความสอดคล้อง (congruences) ที่น่าทึ่งสามประการสำหรับฟังก์ชันการแบ่งส่วน: p(5k+4) หารด้วย 5 ลงตัว, p(7k+5) หารด้วย 7 ลงตัว และ p(11k+6) หารด้วย 11 ลงตัว สำหรับทุกจำนวนเต็ม k ที่ไม่เป็นลบ ตัวอย่าง: p(4)=5, p(9)=30, p(14)=135 ล้วนหารด้วย 5 ลงตัว เครื่องคำนวณจะติดธงแจ้งเตือนเมื่อ n ที่คุณเลือกตรงกับรูปแบบใดรูปแบบหนึ่งในสามรูปแบบนี้

Q: p(n) เติบโตเร็วแค่ไหน?

p(n) เติบโตแบบกึ่งเอกซ์โพเนนเชียล (sub-exponentially) แต่เร็วกว่าพหุนามใดๆ สูตร Hardy-Ramanujan แสดงให้เห็นว่า p(n) เติบโตประมาณ exp(pi คูณรากที่สองของ 2n หารด้วย 3) สำหรับการเปรียบเทียบ: p(10)=42, p(50)=204,226, p(100)=190,569,292 และ p(200) มีค่าเข้าใกล้ 4 ล้านล้าน แผนภูมิการเติบโตในหน้านี้จะพล็อต p(n) ในสเกล Log เพื่อให้คุณเห็นเส้นโค้งลักษณะเฉพาะ

คำนวณฟังก์ชันการแบ่งส่วน p(n) ซึ่งเป็นจำนวนวิธีในการเขียน n ในรูปผลบวกของจำนวนเต็มบวก แสดงรายการการแบ่งส่วนทั้งหมดสำหรับค่า n น้อยๆ พร้อมแผนภาพ Young (Ferrers) แบบเคลื่อนไหว เปรียบเทียบส่วนที่แตกต่างกัน q(n) กับส่วนที่เป็นจำนวนคี่ o(n) (ทฤษฎีบทของ Euler) พล็อตกราฟการเติบโต และเปรียบเทียบกับค่าประมาณเชิงเส้นกำกับของ Hardy-Ramanujan

เครื่องคำนวณฟังก์ชันการแบ่งส่วน

Embed เครื่องคำนวณฟังก์ชันการแบ่งส่วน Widget

เกี่ยวกับ เครื่องคำนวณฟังก์ชันการแบ่งส่วน

ยินดีต้อนรับสู่ เครื่องคำนวณฟังก์ชันการแบ่งส่วน เครื่องมือสำรวจคุณสมบัติที่น่าสนใจที่สุดอย่างหนึ่งของคณิตศาสตร์เชิงการจัด เพียงป้อนจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ $n$ เครื่องมือนี้จะคำนวณ $p(n)$ ซึ่งก็คือจำนวนวิธีในการเขียน $n$ ในรูปผลรวมของจำนวนเต็มบวกโดยไม่คำนึงถึงลำดับ พร้อมด้วยจำนวนการแบ่งส่วนเป็นส่วนที่ต่างกัน $q(n)$, จำนวนการแบ่งส่วนเป็นส่วนคี่ $o(n)$, ค่าประมาณอะซิมโทติกของ Hardy-Ramanujan, ความสอดคล้องของ Ramanujan ที่ตรงกัน และ (สำหรับค่า $n$ น้อยๆ) จะแสดงผลการแบ่งส่วนทุกรูปแบบในรูปแบบแผนภาพ Young แบบเคลื่อนไหว

ฟังก์ชันการแบ่งส่วน p(n) คืออะไร?

ฟังก์ชันการแบ่งส่วน $p(n)$ นับ จำนวนวิธีในการเขียน $n$ เป็นผลรวมของจำนวนเต็มบวก โดยไม่คำนึงถึงลำดับ ผลรวมสองชุดที่แตกต่างกันเพียงแค่ลำดับของตัวบวกจะถือว่าเป็นรูปแบบการแบ่งส่วนเดียวกัน ตัวอย่างเช่น การแบ่งส่วนของ 4 คือ:

4
3 + 1
2 + 2
2 + 1 + 1
1 + 1 + 1 + 1

นั่นทำให้ได้ค่า $p(4) = 5$ โดยข้อกำหนดทั่วไป $p(0) = 1$ ซึ่งนับเป็น "การแบ่งส่วนว่าง" ตัวอย่างค่าอื่นๆ: $p(1) = 1,\ p(5) = 7,\ p(10) = 42,\ p(50) = 204{,}226,\ p(100) = 190{,}569{,}292.$

ฟังก์ชันก่อกำเนิด

Leonhard Euler ค้นพบว่าฟังก์ชันก่อกำเนิด (generating function) สำหรับ $p(n)$ มีรูปแบบผลคูณที่กะทัดรัดและสวยงาม:

ฟังก์ชันก่อกำเนิดของ Euler สำหรับ p(n)

$$\sum_{n=0}^{\infty} p(n)\, x^n \;=\; \prod_{k=1}^{\infty} \frac{1}{1 - x^k}$$

แต่ละพจน์ $1/(1 - x^k) = 1 + x^k + x^{2k} + \ldots$ มีส่วนช่วยในการเลือกว่าส่วน $k$ จะปรากฏในการแบ่งส่วนกี่ครั้ง การคูณพจน์เหล่านี้เข้าด้วยกันจะสร้างการแบ่งส่วนทุกรูปแบบออกมาอย่างแม่นยำเพียงครั้งเดียว

แผนภาพ Young (Ferrers)

แผนภาพ Young (หรือเรียกว่า แผนภาพ Ferrers) แทนการแบ่งส่วนด้วยภาพเป็นตารางของกล่องที่ชิดซ้าย แต่ละแถวสอดคล้องกับส่วนหนึ่ง และแถวต่างๆ จะถูกเรียงจากใหญ่ที่สุดไปหาเล็กที่สุด ตัวอย่างเช่น การแบ่งส่วน $4 + 2 + 1$ ของ 7 จะกลายเป็น:

แผนภาพ Young ช่วยให้คุณ "เห็น" เอกลักษณ์ของการแบ่งส่วน การสะท้อนแผนภาพข้ามเส้นทแยงมุมหลักจะเปลี่ยนแถวเป็นคอลัมน์ ซึ่งสอดคล้องกับ การแบ่งส่วนสังยุค (conjugate partition) เครื่องคำนวณนี้จะแสดงแผนภาพ Young สำหรับทุกการแบ่งส่วนของ $n$ เมื่อ $n \le 15$

ทฤษฎีบทการแบ่งส่วนของ Euler

หนึ่งในผลลัพธ์ที่สง่างามที่สุดของ Euler ระบุว่า:

ทฤษฎีบทของ Euler (ส่วนต่างกัน = ส่วนคี่)

$$\#\{\text{การแบ่งส่วนของ } n \text{ เป็นส่วนที่ต่างกัน}\} \;=\; \#\{\text{การแบ่งส่วนของ } n \text{ เป็นส่วนที่เป็นเลขคี่}\}$$

ตัวอย่างเช่น การแบ่งส่วนของ 7 เป็นส่วนที่ ต่างกัน คือ $\{7\}, \{6+1\}, \{5+2\}, \{4+3\}, \{4+2+1\}$ ซึ่งมี 5 วิธี ส่วนการแบ่งส่วนของ 7 เป็นส่วนที่ เป็นเลขคี่ คือ $\{7\}, \{5+1+1\}, \{3+3+1\}, \{3+1+1+1+1\}, \{1+1+1+1+1+1+1\}$ ซึ่งมี 5 วิธีเช่นกัน แผงสรุปผลของเครื่องคำนวณจะรายงานทั้ง $q(n)$ และ $o(n)$ เพื่อให้คุณตรวจสอบเอกลักษณ์นี้สำหรับค่า $n$ ที่คุณเลือก

การประมาณค่าแบบอะซิมโทติกของ Hardy-Ramanujan

ในปี 1918 G.H. Hardy และ Srinivasa Ramanujan ได้พิสูจน์สูตรแรกที่จับอัตราการเติบโตที่แท้จริงของ $p(n)$ สำหรับค่า $n$ ขนาดใหญ่:

สูตรการประมาณค่าอะซิมโทติกของ Hardy-Ramanujan (1918)

$$p(n) \;\sim\; \frac{1}{4n\sqrt{3}} \, \exp\!\left( \pi \sqrt{\tfrac{2n}{3}} \right)$$

ผลลัพธ์นี้เกิดจาก วิธีการวงกลม (circle method) ของ Hardy-Ramanujan ซึ่งรวมฟังก์ชันก่อกำเนิดรอบจุดเอกฐานบนวงกลมหนึ่งหน่วย ต่อมา Hans Rademacher ได้ปรับปรุงสูตรนี้ในปี 1937 ให้เป็น อนุกรมลู่เข้าแบบแม่นยำ ซึ่งถือเป็นหนึ่งในสูตรที่มีชื่อเสียงที่สุดในทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์

ความสอดคล้องของการแบ่งส่วนของ Ramanujan

ในขณะที่ศึกษาตารางค่าการแบ่งส่วน Ramanujan สังเกตรูปแบบการหารลงตัวที่น่าทึ่งสามประการ:

ความสอดคล้องของ Ramanujan

$$p(5k+4) \equiv 0 \pmod{5}, \quad p(7k+5) \equiv 0 \pmod{7}, \quad p(11k+6) \equiv 0 \pmod{11}$$

ตัวอย่างเช่น $p(4)=5,\ p(9)=30,\ p(14)=135,\ p(19)=490,\ p(24)=1575$ ล้วนหารด้วย 5 ลงตัว เครื่องคำนวณจะติดธงแจ้งเตือนโดยอัตโนมัติเมื่อค่า $n$ ที่คุณเลือกอยู่ในกลุ่มเหล่านี้

วิธีใช้งานเครื่องคำนวณนี้

ป้อนจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ สูงสุด 500 ในช่องป้อนข้อมูล หรือคลิกที่ตัวอย่างด่วน (0, 4, 10, 42, 100, 200)
คลิก "คำนวณการแบ่งส่วน" เครื่องมือจะคำนวณ $p(n)$, $q(n)$, $o(n)$ และค่าประมาณของ Hardy-Ramanujan
ตรวจสอบแผงฮีโร่ ซึ่งแสดงค่า $p(n)$ เป็นตัวเลขพาดหัวขนาดใหญ่ จากนั้นสแกนตารางสรุปสำหรับส่วนต่างกัน, ส่วนคี่, ค่าประมาณอะซิมโทติก และเปอร์เซ็นต์ความคลาดเคลื่อน
ตรวจสอบแผนภาพ Young — หาก $n \le 15$ การแบ่งส่วนทุกรูปแบบจะถูกวาดเป็นแผนภาพ Young แบบเคลื่อนไหวในตารางที่รองรับการแสดงผลบนมือถือ
สำรวจแผนภูมิการเติบโต — พล็อตกราฟ $p(k)$, $q(k)$ และเส้นโค้ง Hardy-Ramanujan สำหรับ $k = 0, 1, \ldots, n$ สามารถสลับระหว่างสเกล Linear และ Log เพื่อดูรูปทรงอะซิมโทติกได้
อ่านตารางการเติบโต — มุมมองแบบบรรทัดต่อบรรทัดของ $p(k), q(k), o(k)$ สำหรับค่า $k$ น้อยๆ ใช้เพื่อหาจุดเริ่มต้นของความสอดคล้องของ Ramanujan แต่ละแบบ

ตัวอย่างการคำนวณ: การแบ่งส่วนของ 5

ลองพิจารณา $n = 5$ การแบ่งส่วนทั้งหมดคือ:

$5$
$4 + 1$
$3 + 2$
$3 + 1 + 1$
$2 + 2 + 1$
$2 + 1 + 1 + 1$
$1 + 1 + 1 + 1 + 1$

ดังนั้น $p(5) = 7$ การแบ่งส่วนเป็นส่วนที่ ต่างกัน: $\{5\}, \{4+1\}, \{3+2\}$ มี 3 วิธี ดังนั้น $q(5) = 3$ การแบ่งส่วนเป็นส่วนที่ เป็นเลขคี่: $\{5\}, \{3+1+1\}, \{1+1+1+1+1\}$ มี 3 วิธีเช่นกัน ดังนั้น $o(5) = 3$ ทฤษฎีบทของ Euler เป็นจริง สุดท้าย $n = 5 \equiv 0 \pmod 5$ ไม่ได้อยู่ในรูปแบบ $5k+4$ ดังนั้นความสอดคล้องฐาน 5 จึงไม่ถูกนำมาใช้ อย่างไรก็ตาม $p(4) = 5$ สอดคล้องกับ $p(5k+4) \equiv 0 \pmod 5$

ค่าคลาสสิกของ p(n)

n	p(n)	หมายเหตุ
0	1	การแบ่งส่วนว่าง (ตามข้อตกลง)
1	1	การแบ่งส่วนเดียว: {1}
5	7	ตัวอย่างแรกที่มีดัชนีเป็นจำนวนเฉพาะ
10	42	"คำตอบของทุกสรรพสิ่ง"
20	627
50	204,226
100	190,569,292	คำนวณด้วยมือโดย MacMahon ในปี 1915
200	3,972,999,029,388
500	2,300,165,032,574,323,995,027	ประมาณ $2.3 \times 10^{21}$

ประวัติศาสตร์

ทศวรรษที่ 1750: Leonhard Euler ศึกษาการแบ่งส่วนและค้นพบเอกลักษณ์ของฟังก์ชันก่อกำเนิดและทฤษฎีบท "ส่วนต่างกัน = ส่วนคี่"
1915: Major Percy MacMahon ตีพิมพ์ตารางค่า $p(n)$ สำหรับ $n$ สูงสุด 200 — ซึ่งคำนวณด้วยมือ
1918: Hardy และ Ramanujan พิสูจน์สูตรอะซิมโทติกโดยใช้วิธีการวงกลม
1919: Ramanujan ตีพิมพ์ความสอดคล้องที่มีชื่อเสียง $p(5k+4),\ p(7k+5),\ p(11k+6)$
1937: Hans Rademacher ปรับปรุงสูตร Hardy-Ramanujan ให้เป็นอนุกรมลู่เข้าแบบแม่นยำ
2011: Ken Ono และ Jan Bruinier พิสูจน์ว่า $p(n)$ สามารถแสดงเป็นผลรวมพีชคณิตจำกัดได้ในทุกจำนวนเต็มบวก

การประยุกต์ใช้งาน

คณิตศาสตร์เชิงการจัดและทฤษฎีการแทนค่า — การแบ่งส่วนเป็นดัชนีสำหรับการแทนค่าแบบลดรูปไม่ได้ของกลุ่มสมมาตร $S_n$
กลศาสตร์สถิติ — การนับการแบ่งส่วนปรากฏในเอนโทรปีของก๊าซควอนตัมในอุดมคติและในฟังก์ชันการแบ่งส่วนของทฤษฎีสตริง
รูปแบบมอดุลาร์ — ฟังก์ชันก่อกำเนิดสำหรับ $p(n)$ มีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับฟังก์ชันเอตาของ Dedekind
วิทยาการคอมพิวเตอร์ — การทดสอบมาตรฐานสำหรับการแจกแจงผลรวมย่อย (subset-sum) และการโปรแกรมจำนวนเต็มมักใช้การนับการแบ่งส่วน

คำถามที่พบบ่อย

ฟังก์ชันการแบ่งส่วน p(n) คืออะไร?

$p(n)$ นับจำนวนวิธีในการแสดง $n$ เป็นผลรวมของจำนวนเต็มบวกโดยที่ลำดับไม่สำคัญ $p(4) = 5$ เพราะ 4 สามารถเขียนได้เป็น $4$, $3+1$, $2+2$, $2+1+1$, หรือ $1+1+1+1$ ตามข้อตกลง $p(0) = 1$

แผนภาพ Young หรือ Ferrers คืออะไร?

แผนภาพ Young เป็นการแสดงภาพของการแบ่งส่วน: แต่ละส่วนจะกลายเป็นแถวของกล่องที่ชิดซ้าย โดยส่วนต่างๆ จะเรียงจากใหญ่ที่สุดไปหาเล็กที่สุดจากบนลงล่าง สำหรับ $4+2+1$ ให้วาดแถวที่มี 4 กล่อง, 2 กล่อง และ 1 กล่อง เครื่องคำนวณนี้จะแสดงแผนภาพ Young สำหรับทุกการแบ่งส่วนเมื่อ $n \le 15$

ทฤษฎีบทการแบ่งส่วนของ Euler กล่าวว่าอย่างไร?

สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก $n$ จำนวนการแบ่งส่วนของ $n$ เป็นส่วนที่ต่างกันจะเท่ากับจำนวนการแบ่งส่วนของ $n$ เป็นส่วนที่เป็นเลขคี่ สำหรับ $n = 5$: ส่วนที่ต่างกันให้ $\{5\}, \{4+1\}, \{3+2\}$; ส่วนที่เป็นเลขคี่ให้ $\{5\}, \{3+1+1\}, \{1+1+1+1+1\}$ ซึ่งทั้งสองจำนวนเท่ากับ 3

สูตรอะซิมโทติกของ Hardy-Ramanujan คืออะไร?

ระบุว่า $p(n) \sim \frac{1}{4n\sqrt{3}} \exp\!\left(\pi \sqrt{2n/3}\right)$ เมื่อ $n \to \infty$ นี่เป็นสูตรแรกที่อธิบายอัตราการเติบโตที่แม่นยำของ $p(n)$ ค้นพบในปี 1918 โดย G.H. Hardy และ Srinivasa Ramanujan

ความสอดคล้องของการแบ่งส่วนของ Ramanujan คืออะไร?

รูปแบบการหารลงตัวที่น่าทึ่งสามประการ: $p(5k+4) \equiv 0 \pmod 5$, $p(7k+5) \equiv 0 \pmod 7$ และ $p(11k+6) \equiv 0 \pmod{11}$ ตัวอย่างเช่น $p(4)=5, p(9)=30, p(14)=135$ ล้วนหารด้วย 5 ลงตัว

p(n) เติบโตเร็วแค่ไหน?

p(n) เติบโตแบบกึ่งเอกซ์โพเนนเชียลแต่เร็วกว่าพหุนามใดๆ ประมาณ $\exp(\pi \sqrt{2n/3})$ สำหรับการเปรียบเทียบ: $p(10)=42$, $p(50)=204{,}226$, $p(100)=190{,}569{,}292$ และ $p(200) \approx 4 \times 10^{12}$ ใช้ตัวสลับสเกล Log ของแผนภูมิเพื่อดูเส้นโค้งการเติบโตนี้